Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

Eslatma: Umuman olganda nuqtaning turgʻun va turgʻunmas toʻplamlarini tavsiflash murakkab masala boʻlishi mumkin.
1.9-ta’rif. Agar boʻlsa, nuqta f-akslantirishning kritik nuqtasi deb ataladi.
Agar x kritik nuqta uchun boʻlsa, bu nuqta f-akslantirishning maxsus nuqtasi deb ataladi.
Agar x kritik nuqta uchun boʻlsa, bu nuqta f-akslantirishning maxsusmas nuqtasi deb ataladi.

2. 
   Bir oʻlchovli sistemalar
   

Ushbu paragrafda biz bir oʻlchovli dinamik sistemalarni qaraymiz.

Faraz qilaylik X toʻplam R ning bo‘shmas qism to‘plami va f funksiya X da anqilangan uzluksiz, differesiallanuvchi funksiya boʻlsin.
1.10-ta’rif. Agar nuqta f funksiyaning qo‘zg‘almas nuqtasi bo‘lib bo‘lsa bu nuqtaga giperbolik nuqta deyiladi.
Quyida biz qoʻzgʻalmas nuqtaning turini aniqlash uchun asosiy me’zon hisoblangan teoremani keltiramiz.
1.1-teorema. Aytaylik va f funksiya X da uzluksiz differensiallanuvchi boʻlsin. Agar nuqta f funksiyaning giperbolik qoʻzgʻalmas nuqtasi bo‘lsa quyidagilar o‘rinli:
1) agar boʻlsa, u holda x tortuvchi nuqta,
2) agar boʻlsa, u holda x itaruvchi nuqta bo‘ladi.
1.8-misol. Quyidagi uchun funksiyani qaraylik. Ushbu funksiya uchun bizda Fix(f) mavjud va quyidagicha:

Ravshanki, holati qiziq emas, chunki bu holda Shuning uchun biz holni qaraymiz. Ma’lumki, , shuning uchun 1.1-teoremaga koʻra qo‘zg‘almas nuqta boʻlsa tortuvchi hamda boʻlsa itaruvchi.
funksiyasining chiziqliligidan ning barcha iteratsiyalarini osongina hisoblash mumkin:

f ning p-davrli davriy nuqtalarini topish uchun tenglamani yechishimiz kerak, bu yerda natural son. Bu yerda biz notrivial holatni koʻrib chiqamiz. Yuqoridagi (1.2) munosabatga ko‘ra tenglama quyidagi shaklga ega

Ushbu tenglamadan uchun (eslatib o‘tamiz ) biz yechimni olamiz,ya’ni boʻlsa, faqat yagona qoʻzgʻalmas nuqta p-davriydir. Yuqoridagi tenglama holatda,

kabi soddalashadi. Agar p toq son boʻlsa, uning yagona yechimi (qo‘zg‘almas nuqta) hamda p juft son boʻlsa har qanday son (1.3) ning yechimi bo‘ladi. Misol uchun da tenglamaning ikkita yechimi bor, har qanday uchun
Shunday qilib, juft sonlar uchun quyidagiga ega boʻlamiz:

Ta’kidlash kerakki, uchun to‘plam har bir elementining asosiy davri sondir.
Aytaylik ixtiyoriy boshlang‘ich nuqta (qo‘zg‘almas nuqtadan tashqari) bo‘lsin. Biz (1.2) formuladan foydalanib, quyidagi limitni olamiz (dinamik sistemaning asosiy muammosiga toʻliq javob):

Yuqoridagi (1.2)-misolda f(x) chiziqli funksiya boʻlgani uchun tenglamani yechish oson edi. Biroq, chiziqli boʻlmagan funksiyalar uchun p-davriy nuqtalarni toppish umuman olganda juda qiyin boʻlishi mumkin.
Masalan, funksiyani olaylik, keyin koʻrinishga ega. ni yechish uchun 8-tartibli algebraik tenglamani yechishimiz kerak bo‘ladi. Lekin n tartibli algebraik tenglamani yechish uchun umumiy nazariya mavjud emas.
Shuning uchun, berilgan nochiziqli f funksiya uchun tenglama qaysi larda yechimga ega ekanligini bilish juda muhim (bu yerda asosiy davri p boʻlgan davriy nuqtalar nazarda tutiladi). Bu savolga Sharkovskiyning mashhur teoremasi [1] javob beradi. Endi biz ushbu teoremani isbotsiz berishdan oldin natural sonlar toʻplamining quyidagi tartibini aniqlaymiz (Sharkovskii tartibini):




>…>
Bu tartib oʻsish tartibidagi toq sonlardan, toq sonlarning ikkilanganidan, toq sonlar 4 karra ko‘payishidan, toq sonlar 8 marta ko‘payishidan va h.k. hamda eng oxirida ikkining darajalari kamayish tartibidan iborat. Ravshanki, har bir natural son ushbu kamayuvchi tartibning biron bir joyida bir marta qatnashadi. Bu tartibga Sharkovskiy tartibi deyiladi.
1.2-teorema. (Sharkovskii) Faraz qilaylik uzluksiz funksiya boʻlsin. Agar f funksiya asosiy davri p bo‘lgan davriy nuqtaga ega bo‘lsa hamda yuqoridagi tartib bo‘yicha bo‘lsa u holda f funksiya asosiy davri l bo‘lgan davriy nuqtaga ham ega bo‘ladi.

Ushbu teoremadan quyidagi xulosalarni olamiz.