Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

Tadqiqot obyekti.
Haqiqiy sonlar maydonida berilgan ratsional funksiyalar.


Tadqiqot predmeti.
Funktsional analiz, nochiziqli diskret dinamik sistemalar.


Tadqiqot maqsad va vazifalari.
Ratsional funksiyalar orqali hosil qilingan trayektoriyalarning assimptotik xarakterini oʻrganishdir.


Tadqiqot muammosi va farazlari.
Matematik biologiya, fizika va boshqa tabiiy fanlarda quyidagi muammolar qaraladi:
- tegishli biologik (yoki fizik) sistemaning turgʻun holatini, ratsional funksiyaning qoʻzgʻalmas nuqtalari va davriy nuqtalarini topish;
- biologik sistemadagi barcha turdagi holatlarni tavsiflovchi trayektoriyalarining limit nuqtalarini oʻrganish.
- Sistemaning holatlarinini turgʻun yoki turgʻunmas sinflarga ajratish.


Tadqiqot mavzusining ishlanganlik darajasi.
Fizikaviy yoki biologik sistemalarda matematik modellarni tushunishga qaratilgan harakatlar diskret-vaqtli nochiziqli dinamik sistemalarning nazariyasini rivojlantirishga qiziqish uygʻotdi. Muayyan populyatsiya uchun asosiy matematik muammo bu populyatsiya evolyutsiyasini (holatlarning vaqtga bogʻliq dinamikasi) oʻrganishdir. Ushbu muammoni oʻrganishda foydalaniladigan matematik usullar ehtimollar nazariyasiga, stoxastik jarayonga, dinamik sistemalarga, chiziqli boʻlmagan matematik va funktsional tahlillarga, differentsial va farq tenglamalariga asoslangan.
2022 yil fevral oyida MathSciNet ma’lumotlar bazasida "populyatsiya" uchun 42500 dan ortiq ilmiy ishlarni topdi. Shuning uchun populyatsiyalar nazariyasi matematikada juda ommabop mavzulardan biridir.
Populyatsiya dinamikasi - bu ikki yuz yildan ziyod tarixga ega boʻlgan matematik biologiyaning rivojlanayotgan boʻlimilaridan biridir.
Yaqinda nashr etilgan [Rozikov U. A., Population dynamics—algebraic and probabilistic approach. World Scientific, 2020] kitobda yaqinda ishlab chiqilgan (erkin va ikki jinsli) populyatsiya nazariyasi batafsil ravishda tavsiflangan boʻlib, asosan 2010 yildan beri olingan natijalar keltirilgan. Unda populyatsiya dinamikasi nazariyasidagi algebraik va ehtimollik yondashuvlari keltirilgan. Bundan tashqari, kubik stoxastik matritsalarning Markov jarayonlari natijasida hosil boʻlgan dinamikalar kabi biologik modellarning bir nechta dinamik sistemalari; ikki jinsli populyatsiya dinamikasi; gonosomal evolyutsion operatori hosil qilgan dinamik sistemalar; chivin populyatsiyasining dinamik sistemasi va evolyutsion algebrasi va okean ekotizimlari dinamikasi berilgan. Undan tashqari [N. Bacaer, A short history of mathematical population dynamics.Springer-Verlag London, Ltd., London, 2011] kitobda matematikaning populyatsiya dinamikasidagi turli muammolarni hal qilishda qoʻllanilishining qisqacha tarixi keltirilgan.
Populyatsiya dinamikasining soʻnggi rivojlanishi birinchi boʻlib Jon Maynard-Smit tomonidan ishlab chiqilgan evolyutsion oʻyin nazariyasi bilan toʻldirildi. Ushbu dinamikada evolyutsion biologiya tushunchasi deterministik matematik shakl sifatida berilishi mumkin.
Nochiziqli dinamik sistemalar haqida toʻlaroq ma’lumotlarni [R.L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical system, Westview Press, 2003] hamda [U.A. Rozikov, An introduction to mathematical billiards. World Scientific, 2019] kitob- lardan oʻrganish mumkin.