Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

1-sodda biologik model: Koʻpgina soda biologik modellar oddiy differensial tenglamalar bilan ifodalanadi. Masalan, eksponensial oʻsish modelini olaylik. Bu modelda populatsiyadagi oʻzgarishlar populatsiyaning hozirgi holatidagi individlar soniga proporsional boʻladi deb faraz qilinadi, ya’ni bilan populatsiyaning t vaqtdagi individlar sonini belgilasak, u holda

tenglamaga ega boʻlamiz.


.
1.1-tasdiq. Qaralayotgan populatsiya uchun quyidagilar oʻrinli:

1. 
   agar boʻlsa, u holda , yaʻni populatsiya yoʻqolib ketadi;
   
2. 
   agar boʻlsa, u holda , yaʻni populatsiya oʻzgarmaydi;
   
3. 
   Agar boʻlsa, u holda , yaʻni poulatsiya cheksiz koʻpayib ketadi.
   

Ushbu modelni diskret holda qaraganda: bilan populatsiyadagi n-chi avloddagi individlar sonini belgilaymiz, bu yerda n-natural son. Populatsiyadagi oʻzgarishlar populatsiyadagi individlar soniga proporsional boʻlishidan quyidagiga ega boʻlamiz:


bu yerda k-o‘zgarmasson ⇒ ,


.
.
.
,
Qaralayotgan populatsiya uchun quyidagilar oʻrinli:

1. 
   agar boʻlsa, u holda
   
2. 
   agar boʻlsa, u holda
   
3. 
   agar boʻlsa, u holda
   

1-sodda biologik model: Yuqoridagi ayirmali tenglamani quyidagicha funksiya sifatida qarash mumkin: va belgilashlarni olsak u holda:



Demak, populyatsiyaning yakuniy xatti-xarakati f funksiya iteratsiyasining xarakteriga chambarchas bog‘liqdir.
2-sodda biologik model: Yuqoridagi modellardan ma’lum bo‘ldiki populyatsiyada ikkita holat kuzatilishi mumkin: cheksiz ko‘payish yoki yo‘qolib ketish. Biologik tajribalar esa tabiatda bundan boshqa holatlar ham kuzatilishini tasdiqladi. Shuning uchun bioliklar yanada hayotiyroq bo‘lishi uchun modelga qo‘shimcha parametrlar kiritshga harakat qilishdi. Ana shunday farazlardan biri populatsiyaga L yuqori chegara mavjud boʻlishidir. Bunda agar populyatsiya L dan oshib ketsa kamayishni boshlaydi (ozuqa yetishmasligi, hududda sigʻmay qolish va h.k. muammolar sababli), aksincha agar P(t) bo‘lsa populyatsiya ko‘payishiga sharoit mavjud va P(t) o‘sib boradi. Ushbu xarakterlarni o‘zida mujassamlashtiradigan sodda biologik model quyidagicha:

Bu yerda biz oldingi modelga L-P ko‘paytuvchini qo‘shdik. Modelda boʻlsin deb faraz qilamiz, hamda ta’kidlash kerakki:

1. 
   agar boʻlsa, u holda ;
   
2. 
   agar boʻlsa, u holda ;
   
3. 
   agar boʻlsa, u holda
   

Ya’ni populyatsiya P=L, P>L, P hollarga qarab mos ravishda o‘zgarmaydi, o‘sadi yoki kamayadi.
Yuqoridagi differensial tenglamaning yechimi o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglama sifatida osongina topiladi va u quyidagi koʻrinishda boʻladi:

Bu model eksponensial modelga qaraganda hayotiy bo‘lgani bilan populyatsiyada siklik yoki boshqa holatlar paydo bo‘lmayapti. Biz bu modelning diskret holida ham shunga o‘xshash xossalarni kutishimiz mumkin, ammo diskret analogida aqlbovar qilmas holdagi dinamika paydo bo‘ladi. Diskret holida eng qiyn dinamik sistemalardan biri hosil bo‘ladi va hali hanuzgacha bu sistema dinamikasi to‘la o‘rganilmagan.

Modelni biroz soddalashtirish uchun chegaraviy qiymatga degan shart qo‘yamiz. Ravshanki, bu holda biz populyatsiya soni emas uning ulushini o‘rganayotgan bo‘lamiz. Shunda P_n-qiymat n-avloddagi ko‘payishning ulushini ifodalaydi. U holda populyatsiya quyidagi ayirmali tenglamani qanoatlantiradi:

Bu yerda ham k musbat o‘zgarmas son. Yuqoridagi singari belgilashlarni olsak,

ketma-ketlikka ega boʻlamiz. Demak, berilgan k o‘zgarmas son uchun populyatsiyani o‘rganish kx(1-x) kvadratik funksiyaning asimptotik xarakterini o‘rganishdan iborat. Bu funksiya logistik funksiya deb ham ataladi hamda uning dinamikasi juda ko‘p matematik tadqiqotlar obyekti hisoblanadi. Uning dinamikasi juda boy dinamika bo‘lib yaqinlashuvchi, davriy va xaotik kabi xossalarni namoyon qiladi.

Bizga biror bo‘sh bo‘lmagan to‘plam va unda aniqlangan funksiya berilgan bo‘lsin. Har bir uchun –orqali 𝑓 ni oʻzini oʻziga n marta kompozitsiyasi quyidagicha belgilanadi:

n marta