Oʻzbekiston respublikasi oliy va oʻrta maxsus taʻlim vazirligi

2.2-ta’rif. “siljish” akslantirishini formula orqali aniqlaymiz.
2.8-tasdiq. “siljish” akslantirishi uzluksizdir.
2.9-tasdiq.

1. 
   toʻplamning quvvati ga teng;
   
2. 
   toʻplam da zichdir;
   
3. 
   akslantirishning da zich boʻlgan trayektoriyasi mavjud.
   

2.3-ta’rif. x nuqtaning marshruti deb ketma-ketlikka aytiladi va bu yerda agar va agar boʻlsa boʻladi.
Yuqoridagi taʻrifga koʻra x nuqtaning marshruti bu elamentlari 0 yoki 1 lardan iborat cheksiz ketma-ketlikdir. Boshqacha qilib aytganda ixtiyoriy x nuqtaning marshruti toʻplamga tegishli boʻladi. Demak akslantirishni qaraymiz va uning bir qator xossalari bilan tanishib chiqamiz.
2.2-teorema. Agar boʻlsa u holda akslantirish gomeomorfizmdir.
2.4-ta’rif. va ikkita akslantirish berilgan boʻlsin. Agar tenglikni qanoatlantiruvchi gomeomorfizm mavjud boʻlsa, u holda f va g topologic qoʻshma akslantirishlar va h esa topologik qoʻshmalik deyiladi.
Agar ikkita akslantirishlar topologik qoʻshma boʻlsa, u holda ularning dinamikalari ekvivalaent boʻladi. Misol uchun agar boʻlsa va p-nuqta f-ning qoʻzgʻalmas nuqtasi boʻlsa, u holda nuqta g ning qoʻzgʻalmas nuqtasi boʻladi.
Haqiqatan ham boʻladi. Xuddi shunga oʻxshash lar orasida ham bogʻliqlik bor.
2.3-teorema. Aytaylik boʻlsin, u holda

1. 
   ga teng;
   
2. 
   da zichdir;
   
3. 
   𝛬 zich boʻlgan trayektoriyasi mavjud.
   

2.2. Attraktorlar

Ushbu boʻlimda biz, attraktorlar- tabiatan yuqori oʻlchamli boʻlgan uchinchi turdagi dinamik hodisani kiritamiz. Qo‘polroq aytganda, attraktorlar yaqin atrofdagi barcha orbitalar yaqinlashadigan invariant toʻplamdir. Demak, attaktorlar dinamik sistema komputerda iteratsiya qilinganda “koʻradigan” toʻplamlardir. Attraktorlar koʻp jihatdan taqa chizmasiga va giperbolik toral avtomorfizmlarga oʻxshashligini koʻramiz.

Solenoid “qattiq” torda joylashgan attraktordir. Bu fazo quyidagicha aniqlanadi. birlik aylana va tekislikdagi birlik doira boʻlsin; bunda
.
Quyidagi dekart ko‘paytmaga da qattiq torni beradi. Solenoidni aniqlash uchun biz D ni quyidagi formula boʻyicha qaʻtiy ravishda oʻz ichiga o‘tkazuvchi F akslantirishni qaraymiz:
)
bu yerda va .
Geometrik jihatdan F ni quyidagicha tasvirlash mumkin. boʻlsin. esa orqali berilgan doira hamda p nuqta F akslantirish orqali boshqa bir doiraga o‘tkazilgan nuqta. Ushbu doiraning chizmasi radiusi boʻlgan markazi nuqtada bo‘lgan va ning ichida joylashgan. (2.4-chizmaga qarang). da joylashgan doira ham bilan berilgan doira ichida tasvirlangan, lekin uning tasviri tasviriga diametrik ravishda qarama-qarshi joylashgan va radiusi bo‘lgan kichik doiradir.

2.4-chizma. Solenoidning qurilishi.

Global nuqtai nazardan F akslantirishni quyidagicha talqin qilish mumkin. koordinatasida F- bu doiraning ikkilangan akslantrishidir. yoʻnalishida F- tasviri ga bogʻliq boʻlgan markazli doira bo‘lgan qat’iy qisqartib akslantirish bo‘ladi. Ushbu doiraning tasvirining o‘lchami asl doiraning o‘lchamidan oʻn marta kichik. Shunday qilib, D doiraning tasviri, D atrofida ikki marta oʻralgan D ichidagi qattiq tordir. (2.5-chizmaga qarang).

2.5-chizma. Qattiq torning F orqali tasviri oʻziga ikki marta oʻralgan qattiq tordir.

Boshqacha aytganda, F ustiga akslantirish bo‘lmagani uchun diffeomorfizm emas. Biz D ni kattaroq fazoning bir qismi va F ning D ga ta’sirini dinamikaning bir qismi deb hisoblaymiz. ekanligidan D ga tegishli nuqtalarining barcha musbat orbitalari D da yotadi.