O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
5.91.
 Funksiyalàrni tåkshiring và gràfiklàrini yasàng:
1) 
(
) (
)
x
x x
−
+
1
1
2
;     2) 
x
x
x
2
2
4
1
−
−
(
)
;    3) 
x
x
2
2
4
1
−
−
;    4) 
x
x
x
2
2
2
1
+ −
−
;
5) 
4
2
3
−
x
;  6) 
4
3
3
−
x
;   7) 
(
)
(
)
x
x
−
−
+
1
1
2
3
2
3
;   8) 
4
1
2
x x
−
;
9) 
x
x
x
3
2
6
2
4
−
+
−
.
5.92.
  5.69  và  5.89-màshqlàrdà  kåltirilgàn  funksiyalàrning
gràfiklàrini yasàng.
7.  Hîsilà  yordàmidà  tångsizliklàrni  isbîtlàsh. 
õ
 
=
 
à
  nuqtàdà
f
(
x
) funksiya uzluksiz và 
f
(
a
)
 
=
 
0 bo‘lsin. Àgàr [
à
; 
∞
) kåsmàdà
f
′
 
>
 
0  bo‘lsà,  shu  kåsmàdà  funksiya  o‘suvchi  và 
õ
 
>
 
a
  làrdà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

230
f
(
x
)
 
>
 
f
(
a
), ya’ni
 f
(
x
)
 
>
 
0 bo‘làdi. Àksinchà, 
f
′
 
<
 
0 bo‘lsà, funksiya
kàmàyadi và 
õ
 
>
 
a
 làrdà 
f
(
x
)
 
<
 
f
(
a
), ya’ni 
f
(
x
)
 
<
 
0 bo‘làdi. Bu
tà’kidlàr  bizgà  mà’lum.  Ulàrdàn  tångsizliklàrni  isbîtlàshdà
fîydàlànàmiz.
1 - m i s î l .  
x
 
>
 
1 dà 
1
2
x
x
+
>
 tångsizlikning bàjàrilishini isbît
qilàmiz.
I s b î t .  
1
2
( )
x
f x
x
+
=
−
 bo‘lsin. Bundàn: 
1
1
2
2
( )
;
x
f x
′
= −
x
 
= 
1 dà 
f
(1) 
= 
0, (1; 
+∞
) dà 
f
′
 
> 
0. Dåmàk, 
x 
> 
1 dà 
f
(
x
) 
> 
f
(1),
ya’ni 
f
(
x
) 
> 
0. U hîldà
x
 
> 
1 dà 
1
2
x
x
+
>
                                           (1)
bo‘lishi mà’lum bo‘làdi.
Bu misîlni biz Êîshi tångsizligidàn fîydàlànib, îsînrîq hàl
qilishimiz mumkin edi. Låkin hàr vàqt hàm shundày bo‘làvårmàydi.
2 - m i s î l .  Àgàr 
à
 
> 
0, 
x
 
> 
0, 
n
 
> 
1 bo‘lsà, (
à
 
+ 
õ
)
n
 
> 
a
n
 
+
+ 
na
n
−
1
x
 tångsizlikning o‘rinli bo‘lishini isbît qilàmiz.
I s b î t .  
f
(
x
) 
= 
(
a
 
+ 
x
)
n
 
− 
(
a
n
 
+ 
na
n
−
1
x
)
 
bo‘lsin. 
õ
 
= 
0 dà 
f
(0) 
= 
0.
Ikkinchi tîmîndàn, 
f 
′
(
x
) 
= 
n
(
a
 
+ 
x
)
n
−
1
 
− 
na
n
−
1
. Àgàr 
n
 
> 
1, 
x
 
> 
0,
a
 
> 
0 bo‘lsà, 
n
(
a
 
+ 
x
)
n
−
1
 
> 
na
n
−
1
, ya’ni 
f
′
(
x
)
 > 
0 bo‘làdi. Dåmàk,
(0; 
+∞
) dà
 f
(
x
)
 > 
0 và
(
à
 
+ 
õ
)
n
 
> 
a
n
 
+ 
na
n
−
1
x
                                            
(2)
o‘rinli bo‘làr ekàn.
3 - m i s î l .  Àgàr 
a
 
> 
0, 
x
 
> 
0, 
n
 
> 
2 bo‘lsà,
1
2 2
(
1)
1 2
(
)
n
n
n
n
n n
a x
a
na
x
a
x
−
−
−
⋅
+
>
+
+
                 (3)
tångsizlikning o‘rinli bo‘lishini isbît qilàmiz.
I s b î t .  
(
)
1
2 2
( 1)
1 2
( ) (
)
n
n
n
n
n n
f x
a x
a
na
x
a
x
−
−
−
⋅
=
+
−
+
+
 bo‘lsin,
bundà 
f 
(0) 
= 
0.
f
′
(
x
) 
= 
n
(
a
 
+ 
x
)
n
−
1
 
− 
na
n
−
1
 
− 
n
(
n
 
− 
1)
a
n
−
2
x
 
=
= 
n
((
a
 
+ 
x
)
n
−
1
 
− 
a
n
−
1
 
− 
(
n
 
− 
1)
a
n
−
2
x
);
àgàr 
x
 
> 
0 và 
n
 
> 
2 bo‘lsà, 
f
′
(
x
) 
> 
0 bo‘làdi. Bungà qàràgàndà
(0; 
+∞
)  dà 
f
(
x
) 
> 
0,  dåmàk,  (3)  tångsizlik  iõtiyoriy 
a
 
> 
0  và
x
 
> 
0, 
n
 
> 
2 dà o‘rinli.
Endi ikkinchi tàrtibli hîsilàdàn fîydàlànib, muhim tångsizlik-
làrdàn yanà birini isbît qilàmiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

231
Àgàr [
à
;
 b
] kåsmàdà 
f
′′
(
x
) 
≥ 
0 bo‘lsà, hàr qàndày 
λ
, 0
 ≤ λ ≤ 
1
sîn  uchun
f
(
λ
b
 + 
(1
 − λ
)
a
)
 ≤ λ
f
(
b
)
 + 
(1
 − λ
)
f
(
a
)                    (4)
tångsizlik và shu shàrtlàrdà 
f 
′′
(
x
)
 < 
0 bo‘lsà,
f
(
λ
b 
+ 
(1
 − λ
)
a
)
 ≥ λ
f
(
b
)
 + 
(1
 − λ
)
f
(
a
)                    (5)
tångsizlik bàjàrilàdi.
I s b î t .  [
à
; 
b
]  kåsmàdà 
f 
′′
(
x
)
 ≥ 
0  bo‘lsà  (V.18-ràsm), 
f 
(
x
)
gràfikning shu kåsmàdàgi qismi 
ÀB
 vàtàrdàn quyidà jîylàshgàn
bo‘làdi. Shungà ko‘rà iõtiyoriy 
õ 
= 
c
∈
[
à
; 
b
] nuqtàdà 
cC
 îrdinàtà
cC
1
 îrdinàtàdàn kàttà bo‘là îlmàydi: 
cC 
< 
cC
1
. Îrdinàtàlàrni 
f
(
x
)
egri chiziq và 
ÀB
 vàtàr tånglàmàlàridàn fîydàlànib tîpàmiz. Àgàr
vatar
( )
( ( )
( ))
x a
b a
y
f a
f a
f a
−
−
=
+
−
 tånglàmàgà 
õ 
= 
c
và 
c a
b a
−
−
= λ
àlmàshtirish  kiritsàk, 
cC
1
 
= 
f
(
a
)
 
+  λ
(
f
(
b
)
 
− 
f
(
a
))
 
=  λ
  f
(
b
)
 
+
+ 
(1
 
− λ
)
f
(
a
) ni hîsil qilàmiz, bundà 0
 
≤ λ
 
≤ 
1 bo‘làdi.
Shu kàbi 
cC 
= 
f 
(
s
) gà 
c a
b a
−
−
= λ
 bo‘yichà 
c 
= λ
b 
+ 
(1
 
− λ
) tîpib
qo‘yilsà, 
cC 
= 
f
(
λ
b 
+ 
(1
 
− λ
)
a
)  bo‘làdi.  Àgàr  tîpilgàn  nàtijàlàr
cC 
≤ 
cC
1 
gà qo‘yilsà, (4) tångsizlik hîsil qilinàdi.
f
′′
 
< 
0  bo‘lgàn  hîl  hàm  shundày  isbîtlànàdi. 
1
2
λ =
  bo‘lgàn
õususiy  hîl  uchun  (4)  bo‘yichà
( )
( )
( )
2
2
f a
f b
a b
f
+
+
≤
                                              (6)
gà hàm egà bo‘làmiz.
4 - m i s î l .  
( )
5
5
5
2
2
a b
a
b
+
+
≤
 ni isbît qilàmiz, bundà 
a
 
≥ 
0, 
b
 
> 
0.
I s b î t .  Bizdà 
( ) ( )
5
2
1
2
2
2
( )
,  
,
a b a
a b
a b
c a
b a
b a
f c
f
+ −
+
+
−
−
−
=
=
λ =
=
=
0
f
′′ >
.  (6)  munîsàbàtdàn  fîydàlànàmiz. 
f 
(
a
)
 =
 
a
5
, 
f 
(
b
)
 =
 
b
5
bo‘làyotgànidàn,  bulàr  (6)  gà  qo‘yilsà,  bårilgàn  tångsizlik  hîsil
bo‘làdi.
Ì à s h q l à r
5.93.
 Òångsizliklàrni isbît qiling:
1) 
( )
4
4
4
2
2
,  
0,  
0
a b
a
b
a
b
+
+
≤
≥
≥
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

232
2) 
( )
2
2
2
1
1
,  
0,  
0,  
[0;  1]
a
b
a
b
a
b
+λ
+λ
+λ
+λ
≤
≥
≥
∀λ ∈
;
3) 
4
4
4
1
1
,  
0,  
0,  
[0;  1]
a
b
a
b
a
b
+λ
+λ
+λ
+λ
≥
≥
≥
λ ∈
;
4) 
( )
2
2
,  
0,  
0,  
1
p
p
p
a b
a
b
a
b
p
+
+
≤
≥
≥
≥
;
5) 
8
8
1
128
,  
0,  
0,  
1
a
b
a
b
a b
+
≥
≥
≥
+ =
.
8. Nyutîn binîmi.
 (lît. 
bi
 – ikki, yunînchà 
nomos 
– qism,
hàd). Isààk Nyutîn (1643–1727) – buyuk ingliz îlimi. Nyutîn
binîmi  fîrmulàsi  Nyutîn  ijîdidàn  ànchà  îldin,  õususàn,
sàmàrqàndlik  îlimlàr  G‘iyosiddin  Jàmshid  àl-Êîshiy,  Àli  bin
Ìuhàmmàd Qushchining àsàrlàridà uchràydi.
(
à
 
+ 
õ
) binîm o‘z-o‘zigà 
n
 màrtà ko‘pàytirilgàch, nàtijàdà
(
a
 
+ 
x
)
n
 
= 
T
0
 
+ 
T
1
x 
+ 
T
2
x 
2
 
+ 
T
3
x 
3
 
+ 
... 
 
+ 
T
n
x 
n
              (1)
ko‘phàd hîsil bo‘làdi. Òånglikning o‘ng qismini binîm 
yoyilmàsi
dåb àtàymiz. Nîmà’lum 
T
0
,
 T
1
, ... ,
T
n
 làrni tîpàmiz. Shu màqsàddà
(1) tånglikkà 
õ
 
= 
0 ni qo‘yamiz, 
Ò
0
 
= 
à
n
 hîsil bo‘làdi. 
Ò
1
 ni tîpish
uchun (1) tånglikni diffårånsiàllàymiz:
((
a 
+ 
x
)
n
)
′
 
= 
n
(
a 
+ 
x
)
n
−
1
 
⋅ 
(
a 
+ 
x
)
′
 
= 
n
(
a 
+ 
x
)
n
−
1
,
(
T
0
 
+ 
T
1
x 
+ 
T
2
x 
2
 
+ 
...
 
+ 
T
n
x 
n
)
′
 
= 
T
1
 
+ 
2
T
2
x 
+ 
...
 
+ 
nT
n
x 
n
−
1
,
yoki
T
1
 
+ 
2
T
2
x 
+ 
...
 
+ 
nT
n
x 
n
−
1
 
= 
n
(
a 
+ 
x
)
n
−
1
                   (2)
(2) tånglikkà 
õ 
= 
0 qo‘yilsà, 
1
1
1
n
n
T
a
−
=
 hîsil bo‘làdi.
Ò
2
  ni  tîpish  uchun  (2)  tånglikni  diffårånsiàllàymiz  và  hîsil
bo‘làdigàn
2
Ò
2
 
+ 
3
 
⋅ 
2
 
⋅ 
Ò
3
õ 
+ 
...
 
+ 
n
(
n 
− 
1)
⋅
T
n
x
n
−
2
 
= 
n
(
n 
− 
1)(
a 
+ 
x
)
n
−
2
tånglikkà 
õ 
= 
0 ni qo‘yamiz. Nàtijàdà: 
2
2
(
1)
1 2
n
n n
T
a
−
−
⋅
=
.
  Shu  kàbi  tàkrîr  diffårånsiàllàshlàr  và  nàtijàlàrgà 
õ 
= 
0  ni
qo‘yishlàrdàn so‘ng
3
4
3
4
(
1)(
2)
(
1)(
2)(
3)
1 2 3
1 2 3 4
,  
n
n
n n
n
n n
n
n
T
a
T
a
−
−
−
−
−
−
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
=
,
umumàn, 
k
-qàdàmdàn so‘ng
(
1)...(
(
1))
1 2 ...
n k
k
n n
n
k
k
T
a
−
−
− −
⋅ ⋅ ⋅
=
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

233
ni tîpàmiz. 
à
n
−
k
 
ning îldidà turgàn kàsrni 
k
n
C
 îrqàli bålgilàylik, u
hîldà ifîdà
k n k
k
n
T
C a
−
=
                                                   (3)
ko‘rinishgà kålàdi. 
C
n
k
 kàsr sîn (1) binîm yoyilmàsining (
k
 
+ 
1)-
hàdi  kîeffitsiyånti,  qisqàchà, 
binîmiàl  kîeffitsiyånt 
dåyilàdi.  (1)
munîsàbàtni quyidàgi ko‘rinishdà yozàmiz:
0
1
1
(
)
...
...
n
n
n
k n k
k
n n
n
n
n
n
a x
C a
C a
x
C a
x
C x
−
−
+
=
+
+ +
+ +
,    (4)
bundà 
0
1
n
n
n
C
C
=
=
 dåb qàbul qilinàdi. (4) fîrmulà 
Nyutîn binîmi
fîrmulàsi
dàn ibîràt. Àgàr 1
 
⋅ 
2
 
⋅ 
3
 
⋅ 
...
 
⋅ 
n
 ko‘pàytmà 
n
! (
n
-fàktîriàl)
îrqàli àlmàshtirilsà, 
k
n
C
 ni tîpish fîrmulàsi yanàdà iõchàm ko‘ri-
nishgà kålàdi:
( 1) ... (
1)(
)(
1) ... 3 2 1
!
!
1 2 ... (
)(
1) ... 2 1
!(
)!
!(
)!
, 
k
k
n
n
n n
n k
n k n k
n
n
k n k n k
k n k
k n k
C
C
− ⋅ ⋅ − +
−
− − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
− − ⋅ ⋅ ⋅
−
−
=
=
=
. (5)
Hisîblàshlàrdà 0!
 = 
1 dåb qàbul qilinàdi.
Binîmiàl kîeffitsiyåntlàrning àyrim õîssàlàri:
1) kîeffitsiyåntlàrning yuqîri indåkslàri 0 dàn 
n
 gàchà o‘zgàrib
bîràdi; yoyilmàdà jàmi 
n 
+ 
1 tà hàd bîr. Iõtiyoriy (
k 
+ 
1)- hàdi
k n k
k
n
C a
x
−
                                                     (6)
ko‘rinishgà egà;
2) àgàr (4) fîrmulàgà 
à 
= 
õ 
= 
1 qo‘yilsà,
0
1
2
2
n
n
n
n
n
n
C
C
C
... C
=
+
+
+ +
                                    (7)
hîsil bo‘làdi, ya’ni 
n
-dàràjàli binîm yoyilmàsidàgi kîeffitsiyåntlàr
yig‘indisi 2
n
 gà tång;
3) àgàr (4) fîrmulàgà 
à 
= 
1, 
õ 
= −
1 qo‘yilsà:
0
1
2
3
0
...
n
n
n
n
C
C
C
C
=
−
+
−
−
,
ya’ni 
0
2
4
1
3
5
...
...
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
+
+
+
=
+
+
+
. Bungà qàràgàndà tîq
o‘rindà  turgàn  binîmiàl  kîeffitsiyåntlàr  yig‘indisi  juft  o‘rindà
turgàn kîeffitsiyåntlàr yig‘indisigà tång;
4) àgàr (5) fîrmulàdà 
k
 o‘rnigà 
n 
− 
k
 qo‘yilsà,
k
n k
n
n
C
C
−
=
                                                      (8)
fîrmulà hîsil bo‘làdi;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

234
5) 
1
1
1
,
(
1) !
(
1) !
(
1) !(
1 (
1)) !
!(
1
)!
(
)
!
!(
)!
!(
) !
(
1)!
k
k
n
n
k
n
n
n
k
n
k
k n
k
k
n k
n
k n k
k n k
C
C
n
C
−
−
−
−
−
−
− − −
− −
+ −
−
−
+
=
+
=
=
−
=
=
Dåmàk,
1
1
1
k
k
k
n
n
n
C
C
C
−
−
−
+
=
.                                            (9)
1 - m i s î l .  
998
2
1000
1000
1000 999
1 2
499500
C
C
⋅
⋅
=
=
=
.
2 - m i s î l .  (
à 
+ 
õ
)
6
 binîm dàràjàsini yoyamiz.
Y e c h i s h .  Bizdà 
n 
= 
6, binîmiàl kîeffitsiyåntlàr sîni yettità.
Ulàrni tîpàmiz:
0
1
2
3
6
6
6
6
4
2
5
1
6
6
6
6
6
6
6
6 5
6 5 4
1
1 2
1 2 3
1,  
6,  
15,  
20,
15,  
6,  
1.
C
C
C
C
C
C
C
C
C
⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
=
= =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(4)  fîrmulà  bo‘yichà:
(
a 
+ 
x
)
6
 
= 
a 
6
 
+ 
6
a 
5
x 
+ 
15
a 
4
x 
2
 
+ 
20
a 
3
x 
3
 
+ 
15
a 
2
x 
4
 
+ 
6
ax 
5
 
+ 
x 
6
.
3 - m i s î l .  (
à 
− 
õ
)
6
 binîm dàràjàsi yoyilmàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  Ìàsàlà 1-misîldà 
õ
 o‘rnigà 
−
õ
 ni qo‘yish bilàn hàl
qilinàdi:
(
a 
− 
x
)
6
 
= 
a
6
 
− 
6
a 
5
x 
+ 
15
a 
4
x 
2
 
− 
20
a 
3
x 
3
 
+ 
15
a
2
x 
4
 
− 
6
ax 
5
 
+ 
x
6
.
Shu misîlni (
à 
+ 
õ
) binîmni o‘z-o‘zigà îlti màrtà ko‘pàytirish,
so‘ng iõchàmlàshtirishlàrni bàjàrish îrqàli hàm yechgàn bo‘làrdik.
Låkin bu ish nisbàtàn mushkul ekàni tushunàrli.
4 - m i s î l .  
2
5
(
)
a
x
−
+
 
 
binîm dàràjàsini yoyamiz.
Y e c h i s h .  
n 
= 
5. (4) munîsàbàtdà 
à
 o‘rnigà 
à
−
2
 ni, 
õ
 o‘rnigà
x
 ni qo‘yish kåràk. Binîmiàl kîeffitsiyåntlàr:
0
1
2
3
2
5
5
5
5
5
5
5 4
1
1 2
1,  
5,  
10,  
10,
C
C
C
C
C
⋅
⋅
=
= =
=
=
=
=
4
1
5
5
5,
C
C
=
=
 
5
5
1.
C
=
U hîldà:
2
5
2 5
2 4
2 3
2
2 2
3
2
4
5
10
8
6
4
2 2
2
(
)
(
)
5(
)
10(
) (
)
10(
) (
)
5
(
)
(
)
5
10
10
5
.
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
x
x
a
a
x
a x
a x x
a x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
⋅
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

235