O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
5.94.
 Hisîblàng:
1) 
1
2
1
3
4
1
5
1
2
,
,  
,  
,
3
3
4
4
5
6
6
 
,  
,  
,  
,  
 
n
n
n
C
C
C
C
C
C
C
C
C
−
;
2) 
1
1
995
996
,
1000
1000
1000
1000
 
,  
,  
C
C
C
C
.
5.95. 
3
997
1000
1000
C
C
=
 bo‘lishini tåkshiring.
5.96.
 (4) fîrmulàdàn fîydàlànib, binîmlàrni yoying:
1) (
a 
+ 
x
)
4
;
2)  (3
 
− 
m
)
4
;
3) (
x 
− 
1)
5
;
4) (
x 
+ 
2)
5
;
5) (
a 
− 
36)
4
;
6) 
(
)
6
1
3
2
a
+
;
7) 
(
)
6
2
a
−
;
8) 
(
)
m
n
−
3
;
9) 
5
1
1
3
2
x
y



+





;
10) 
5
1
2
4
x






−
;
11) 
(
)
6
5
6
−
;
12) 
7
( 3 1)
−
.
5.97.
  5.96-  màshqdà  kåltirilgàn  binîmlàr  yoyilmàlàridà
qànchàdàn hàd bîr?
5.98.
 (4) fîrmulàni màtåmàtik induksiya måtîdi yordàmidà isbît
qiling.
5.99.
 Hisîblàng:
1) 
3
3
3
10
11
12
C
C
C
+
+
; 2) 
0
3
1
2
2
1
3
0
10
8
10
8
10
8
10
8
C
C
C
C
C
C
C
C
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
;
3) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
0
1
2
3
4
4
4
4
4
4
C
C
C
C
C
+
+
+
+
.
9. Nyutîn binîmidàn tàqribiy hisîblàshlàrdà fîydàlànish.
Bu  hàqdà  qismàn  ushbu  dàrslikning  1-qismi,  V  bîbidà
mà’lumît  bårilgàn  edi.  Endi  hisîblàshlàrni  bàjàrishdà  îldingi
bàndlàrdà bårilgàn yangi mà’lumîtlàrdàn hàm fîydàlànàmiz.
õ
2
 sîn yetàrlichà kichik bo‘lgànidàn, u tàshlàngàn và (1
 
+ 
õ
)
2
 
=
= 
1
 
+ 
2
õ 
+ 
õ
2
 bo‘yichà (1
 
+ 
õ
)
2
 
≈ 
1
 
+ 
2
õ
 tàqribiy fîrmulà tuzilgàn
bo‘lsin.  Vujudgà  kålàdigàn  chåtlànish  (fîrmulà  õàtîligi) 
ε
 
= 
õ
2
bo‘làdi.
 ε
  õàtîlik 
õ
  ning  kàttàligigà  bîg‘liq.  Hisîblàshlàrdà  bu
e’tibîrgà îlinishi kåràk. Ìàsàlàn, 
õ
 ning qàndày qiymàtlàridà 
ε
õàtîlik 0,005 dàn îrtmàsligini bilish tàlàb qilinsin. 
ε
 
= 
õ 
2 
≤
 0,005
tångsizlikni yechish kåràk bo‘làdi. Undàn 
|
õ
|
 
≤
 0,07 ni tîpàmiz.
Dåmàk, 
|
õ
|
 ning 0,07 dàn kichik qiymàtlàridà fîrmulà båràdigàn
õàtîlik 0,005 dàn îrtmàydi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

236
Shu kàbi fîrmulà yordàmidà tîpilàdigàn tàqribiy sîn õàtîligi
ε ≤ 
0,0005 chågàràsidà  bo‘lishi uchun 
õ
2 
≤
  0,0005, ya’ni 
|
õ
|
 
≤
≤
0,022 bo‘lishi, àksinchà, binîmdà 
|
õ
|
 
≤
 0,022 bo‘lsà, (1
 
+ 
õ
)
2
 
≈
1
 
+ 
2
õ
 tàqribiy fîrmulà bo‘yichà tîpilgàn nàtijàdàgi õàtîlik 0,0005
dàn îrtmàydi. Shu tàrtibdà àmàldà ko‘p ishlàtilàdigàn (1
 
+ 
õ
)
3
 
≈
≈ 
1
 
+ 
3
õ
  và  bîshqà  fîrmulàlàrni  tuzib  îlish  mumkin  (jàdvàlgà
qàràng; ichki kàtàklàrdà 
|
õ
|
 qiymàtlàri kåltirilgàn).
Fîrmulà
ε =
 
0,005
ε =
 
0,0005
ε =
 
0,00005
(1
 +
 
x
)
2
 ≈
 
1
 +
 
2
x
0,07
0,022
0,007
(1
 +
 
x
)
3
 ≈
 
1
 +
 
3
x
0,04
0,012
0,004
1
1
1
+
≈ −
x
x
0,06
0,022
0,007
1
1
1
2
+ ≈ +
x
x
0,19
0,062
0,020
1
1
3
1
3
+ ≈ +
x
x
0,20
0,065
0,021
1 - m i s î l .  1,038
3
 ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  (1
 
+ 
õ
)
3
 
≈ 
1
 
+ 
3
õ
 fîrmulà bo‘yichà:
1,038
3
 
≈ 
1
 
+ 
3
 ⋅ 
0,038
 
= 
0,114.
Bizdà 
õ 
= 
0,038 
< 
0,04. Jàdvàldàn 
ε
 
< 
0,005 bo‘lishini o‘qib
îlàmiz. Dåmàk, 1,038
3
 
≈ 
0,114, 
ε
 
< 
0,005.
2 - m i s î l .  1,0018
8
 ni 
ε
 
= 
0,0001 gàchà àniqlikdà hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  Nyutîn binîmi fîrmulàsidàn fîydàlànàylik:
8
8
2
8
8 7
1 2
1,0018
(1 0,0018)
1 8 0,0018
0,0018
... 0,0018 .
⋅
⋅
= +
= + ⋅
+
⋅
+ +
Yoyilmàdà  shundày  hàdni  tîpishimiz  kåràkki,  u  và  undàn
kåyingi  bàrchà hàdlàr  birgàlikdà 
ε
  dàn kichik  bo‘lsin.  Ikkinchi
hàdning 
ε
  dàn  kàttà  ekàni  uning  yozuvidàn  ko‘rinib  turibdi.
Uchinchi hàd:
2
8 7
1 2
0,0018
28 0,00000324 0,000091 0,0001
⋅
⋅
⋅
=
⋅
≈
<
.
Êåyingi hàdlàr yanàdà kichràyib bîràdi. Uchinchi và kåyingi
hàdlàrni tàshlàymiz. Nàtijàdà: 1,0018
8
 
≈ 
1
 
+ 
8
 ⋅ 
0,0018
 
= 
1,0144.
Yuqîridà  kåltirilgàn  misîllàrdà  nàturàl  ko‘rsàtkichli  binîm
fîrmulàlàridàn  fîydàlànildi.  Låkin  bu  fîrmulà  istàlgàn  hàqiqiy
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

237
ko‘rsàtkichli dàràjà uchun bàjàrilàdi. Fàqàt 
|
x
|
 
< |
a
|
 bo‘lishi shàrt.
Yoyilmàdà chåksiz ko‘p qo‘shiluvchilàrdàn ibîràt yig‘indi hîsil
bo‘lishi mumkin. Yoyilmàdà qànchà hàd qîldirilgàndà izlànàyotgàn
nàtijàdà zàrur àniqlikdà bo‘lishini bilish uchun qo‘shimchà tåk-
shirishlàr  bàjàrilishi  zàrur.
3 - m i s î l .  
3
0,98
 ni 
ε = 
0,001 àniqlikdà hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
1 3
3
3
0,98
1 ( 0,02) (1 ( 0,02))
,
=
+ −
= + −
bundà
1
3
n
=
, 
a 
= 
1, 
x 
= −
0,02  bo‘lmîqdà.  Nyutîn  binîmi  fîrmulàsi
bo‘yichà:
( )
( )( )
1 3
2
2
1 1
1 1
1
1
1
2
3 3
3 3
3
1
3
1 2
1 2 3
1 ( 0,02))
1
( 0, 02)
( 0,02)
( 0,02)
... 1 0,07 0, 004 0,000044 ....
⋅ −
⋅ − ⋅ −
⋅
⋅ ⋅
+ −
= + ⋅ −
+
⋅ −
+
⋅
⋅ −
+ = −
−
−
−
Òàlàb etilàyotgàn àniqlikni îldingi ikki hàd tà’minlày îlàdi.
J à v î b :  
3
0,98 0,993
≈
.
Ì à s h q l à r
5.100. 
Yuqîridà kåltirilgàn jàdvàldàgi bàrchà fîrmulàlàrning
àniqligini tåkshiring.
5.101.
 
x
 ning kichik qiymàtlàri uchun
2
(
1)
2
(1
)
1
n
n n
x
nx
x
−
+
≈ +
+
⋅
fîrmulàning o‘rinli bo‘lishini tåkshiring.
5.102.
  1)  (1
 + 
0,05)
6
;    2)  1,003
4
;    3)  0,995
7
;    4)  1,0003
0,8
;
5) 
5
1,005
 ni 0,001; 0,0005; 0,0001 gàchà àniqlikdà hisîblàng.
10.  Òånglàmàlàrni  tàqribiy  yechish  (Vàtàrlàr  và  urinmàlàr
usullàri).
 Biz tånglàmàlàrni tàqribiy yechishning ikki usuli – ildiz
yotgàn îràliqni kåtmà-kåt ikkigà bo‘lish và àl-Êîshiy usuli bilàn
tànishmiz. Ulàrdà 
[
a
;
 b
] kåsmàdà qàràlàyotgàn 
f 
(
x
) funksiyaning
uzluksiz, mînîtîn bo‘lishi và 
f
(
a
)
 ⋅
f
(
b
)
 < 
0 tångsizlikning bàjàri-
lishi  tàlàb etilàdi,  chunki  shu hîldàginà 
[
à
;
  b
]  dà  yagînà  ildiz
màvjud bo‘làdi. Shu shàrtlàrning bàjàrilishi tàlàb qilinàdigàn yanà
ikki muhim usul bilàn tànishàmiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

238
1) V à t à r l à r   u s u l i .  
f
(
x
)
 = 
0
tånglàmàning  shu îràliqdà  yotgàn
x
*
 ildizini 
ε
 àniqlikdà tîpish kåràk
bo‘lsin. 
À
(
à
; 
f
(
a
))  và 
B
(
b
; 
f
(
b
))
nuqtàlàrdàn o‘tkàzilgàn 
ÀB
 vàtàr 
ÎX
o‘qini 
õ
1
  nuqtàdà  kåssin, 
y
1
  = 
0
(V.23-ràsm).
à
  nuqtàdà 
f
 
(
a
)
  ⋅ 
f 
′′
(
a
)
  < 
0
bo‘lsà, 
õ
0
 = 
à
 và
 
õ
1
 nuqtàlàr izlànàyotgàn 
õ
*
 ildizgà bîshlàng‘ich
và birinchi yaqinlàshish bo‘làdi (àks hîldà, 
f
(
b
)
 ⋅ 
f
′′
(
b
)
 < 
0 bo‘lsà,
õ
0
  = 
b
, 
x
1
  làr  yaqinlàshish  bo‘làdi).  Àgàr 
ε  ≤  |
õ
1
  − 
õ
0
|
  bo‘lsà,
màsàlà hàl qilindi và 
õ
*
 ≈ 
x
1
 dåb qàbul qilinàdi. Àks hîldà shu
kàbi  hisîblàshlàr 
[
õ
1
; 
b
]  kåsmà  và 
À
1
B
  vàtàrgà  nisbàtàn
tàkrîrlànàdi  và  hîkàzî. 
õ
1
  yaqinlàshishni  àniqlàsh  uchun 
ÀB
vàtàrning 
( )
( )
( )
(
)
f b
f a
b a
y
f a
x a
−
−
=
+
⋅
−
 tånglàmàsigà 
õ
 = 
õ
1
, 
y 
= 
0
qo‘yilib, 
õ
1
 tîpilàdi:
1
( )
( )
( )
b a
f b
f a
x
a
f a
−
−
= −
⋅
.                                  (1)
Shu  kàbi, 
õ
2
  yaqinlàshishni  tîpishdà  (1)  dàgi 
à
  o‘rnigà 
õ
1
qo‘yilàdi:
1
2
1
1
1
( )
(
)
(
)
b x
f b
f x
x
x
f x
−
−
=
−
⋅
và hîkàzî, hàr qàysi 
õ
k
 yaqinlàshish îldin tîpilgàn 
õ
k
−
1
 bo‘yichà
àniqlànàdi:
1
1
1
1
( )
(
)
(
)
k
k
k
k
k
b x
f b
f x
x
x
f x
−
−
−
−
−
−
=
−
⋅
.                              (2)
Bu jàràyondà 
B
 nuqtà qo‘zg‘àlmàs bo‘lishini, 
õ
k
 yaqinlàshishlàr
õ
*
 àniq yechimgà quyi tîmîndàn yaqinlàshib bîrishini ko‘ràmiz.
Àgàr
  f
(
b
)
⋅
f
′′
(
b
)
 < 
0 bo‘lsà, 
À
 nuqtà qo‘zg‘àlmàs bo‘làdi và 
õ
*
 gà
yaqinlàshishlàr
1
1
1
1
(
)
( )
(
)
k
k
k
k
k
x
a
f x
f a
x
x
f x
−
−
−
−
−
−
=
−
⋅
                          (3)
munîsàbàt bo‘yichà àniqlànàdi. Bu hîldà 
õ
k
 yaqinlàshishlàr 
x
*
 gà
o‘ng tîmîndàn yaqinlàshàdi.
1 - m i s î l .  
õ
4
 
− 
5
õ
2 
+ 
8
õ 
− 
8 
= 
0 tånglàmàni 
ε
 
= 
0,0001 gàchà
àniqlikdà yechàmiz.
Y
B
A
A
1
O
  a   x
1  
     x
2
x
*
X
b
f
 
(
x
)
V.23- rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

239
Y e c h i s h .   Iõtiyoriy  tàrtibdà 
à
 
=  −
3, 
b 
= −
2,9  nuqtàlàrni
tànlàymiz.  Ulàrdà 
f
(
−
2,9) 
= −
2,52... 
< 
0, 
f
(
−
3) 
= 
4 
> 
0,  dåmàk,
f
(
−
2,9)
 ⋅ 
f
(
−
3) 
< 
0 bo‘lishini ko‘ràmiz. Funksiya (
−
3; 
−
2,9) intårvàldà
uzluksiz,  mînîtîn,  dåmàk,  yagînà  ildizgà  egà.  Uni  tîpishdà
vàtàrlàr usuli qo‘llànilgàndà, îldin 
õ
0
 bîshlàng‘ich yaqinlàshish
àniqlànàdi.
f
′′ = 
(4
x
3
 − 
5
x
 + 
8)
′= −
12
x
2
 − 
5,  
f
′′
(
−
2,9)
 > 
0,  
f
′′
(
−
3)
 > 
0;
f
(
−
2,9)
 ⋅ 
f
′′
(
− 
2,9)
 < 
0.
Dåmàk, 
õ
0
 = −
2,9. U hîldà:
1
1
2,9 ( 3)
2,5219 4
2,9
( 2,5219)
2,93867,   (
)
0,11166
x
f x
−
− −
−
−
= −
−
⋅ −
≈ −
≈ −
.
|
x
1
 − 
x
0
| = 
0,0386
 > ε
, ya’ni hàli tàlàb qilingàn àniqlik tà’minlàngàn
emàs và hisîblàshlàr dàvîm ettirilishi kåràk:
2
2
2,93867 ( 3)
0,11166 4
2,93867
( 0,11166)
2,94033,   (
)
x
f x
−
− −
−
−
= −
−
⋅ −
≈ −
≈
0, 0473
≈ −
.
Låkin 
|
õ
2
 − 
õ
1
| = 
0,0017
 > ε
; hisîblàshlàr yanà dàvîm ettirilàdi:
3
2,94033 ( 3)
0,00473 4
2,94033
( 0,00473)
2,94040
x
−
− −
−
−
= −
−
⋅ −
≈ −
,
|
x
3
 − 
x
2
| = |−
2,94040
 − 
(
−
2,94033)
| = 
0,00007
 < ε
.
Òàlàb qilingàn àniqlikkà erishildi. J à v î b :  
x
* 
≈ −
2,94040.
2) U r i n m à l à r   u s u l i .  Àgàr 
f
(
x
) funksiya 
[
a
;
 b
] kåsmàdà
uzluksiz, diffårånsiàllànuvchi và 
f
(
a
)
⋅
f
(
b
)
 < 
0 bo‘lsà, kåsmàning
uchlàridàn biridà 
f
(
x
) gràfigigà o‘tkàzilàdigàn urinmà 
ÎX
 o‘qini
àlbàttà kåsàdi (V.24-ràsm). Êåsishish nuqtàsi 
f
(
x
)
 = 
0 tånglàmà
Y
A
O
x
1
x
2
a
B
b
B
1
x
*
X
f 
′′ > 
0
f
 
(
b
)
 > 
0
Y
X
x
*
A
1
B
b
x
1
a
A
f 
′′ < 
0
V.24-rasm.
f
 
(
a
)
 < 
0
a)
b)
O
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

240
ildizining birîr yaqinlàshishini båràdi. Bîshlàng‘ich yaqinlàshish
sifàtidà [
a
;
 b
] kåsmàning shundày uchi (V.24-
à
 ràsmdà 
B
 nuqtà,
V.24-
b
 chizmàdà 
À
 nuqtà) tànlànàdiki, undà 
f
funksiya và uning
f
′′
 hîsilàsi bir õil ishîràgà egà bo‘lsin. Undàn o‘tkàzilàdigàn urinmà
ÎX
 o‘qini àlbàttà kåsàdi và 
õ
1
 yaqinlàshishni båràdi. Bu hîldà
bîshqà uchidàn o‘tkàzilàdigàn urinmà 
ÎX
 o‘qini 
[
a
;
 b
] kåsmàdà
kåsmàsligi mumkin. Bàrchà 
õ
k
 yaqinlàshishlàr uchun yuqîridàgi
kàbi råkurrånt fîrmulàni tuzish màqsàdidà 
À
(
a
; 
f
(
a
)) yoki 
B
(
b
;
f
(
b
)) dàn o‘tuvchi urinmà tånglàmàsigà 
y 
= 
0 qo‘yilàdi. Jumlàdàn,
À
 nuqtàdàn o‘tuvchi urinmàning 
y
= 
f
(
a
)
 + 
f
′
(
a
)(
x 
− 
a
) tånglàmàsi
bo‘yichà
0
 = 
f
(
a
)
 + 
f
′
(
a
)(
x
 − 
a
),
yoki
( )
( )
f a
f a
x a
′
= −
                                                  (4)
råkurrånt munîsàbàtni, 
B
 nuqtà bo‘yichà esà
( )
( )
f b
f b
x b
′
= −
                                                  (5)
ni  hîsil  qilàmiz.  Àgàr  bîshlàng‘ich  yaqinlàshish  sifàtidà 
õ
0
 = 
à
yoki 
   õ
0
 = 
b
 tànlàngàn bo‘lsà, qîlgàn 
õ
k
 yaqinlàshishlàr ushbu
råkurrånt fîrmulà bo‘yichà tîpilàdi:
1
1
1
(
)
(
)
k
k
k
k
f x
f
x
x
x
−
−
−
′
=
−
.                                         (6)
2 - m i s î l .  
õ
4
 
− 
5
õ
2
 
+ 
8
õ 
− 
8
 
= 
0 tånglàmàni urinmàlàr usulini
qo‘llàb yechàmiz. 1-misîldà ko‘rsàtilgànidåk, 
ε
 
= 
0,0001 bo‘lsin.
Y e c h i s h .  
f 
(
x
) funksiya [
−
3; 
−
2,9] kåsmàdà diffårånsiàllànàdi.
Undà
f 
′′
 
= 
(
õ
4
 − 
5
õ 
2
 + 
8
õ 
− 
8)
′′ = 
(4
x
3
 − 
10
x 
+ 
8)
′
 
= 
12
x
2
 
− 
10
 
> 
0,
f 
(
−
3)
 
> 
0,  
f
(
−
2,9)
 
< 
0.
Bu  kåsmàdà 
f 
′′
  và 
f
(
−
3)  làrning  ishîràlàri  bir  õil  musbàt.
Bîshlàng‘ich yaqinlàshish sifàtidà 
õ
0
 
= −
3 ni îlàmiz. (6) fîrmulàdàn
fîydàlànàmiz:
f
(
−
3)
 
= 
(
−
3)
4
 
− 
5 
⋅
 (
−
3)
2
 
+
 8 
⋅
 (
−
3)
 
− 
8
 
= 
4,
f 
′
(
−
3)
 
= 
4 
⋅
 (
−
3)
3 
− 
10 
⋅
 (
−
3)
 
+ 
8
 
= −
70.
U hîldà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

241
1
4
70
3
2,942857...
2,94286,
x
−
= − −
= −
≈ −
1
2, 94286 ( 3)
ε = −
− −
> ε
,
hisîblàshlàr dàvîm ettirilishi kåràk:
f
(
x
1
)
 ≈ 
0,15777, 
f 
 ′
(
x
1
)
 ≈ −
64,5168; 
x
2
 ≈ −
2,94041,
ε
2
 = |−
2,94041
 − 
(
−
2,94286)
| = 
0,00044
 > ε
;
f
(
x
2
)
 ≈ 
0,0002809
 ≈ 
0,00028, 
f
′
(
x
2
)
 ≈ −
64,2873,
x
3
 ≈ −
2,94041; 
  ε
3
 = |
x
3
 − 
x
2
| ≈ 
0
 < ε
bo‘lmîqdà. Zàrur àniqlikkà erishildi, hisîblàshlàr to‘õtàtilàdi. Izlà-
nàyotgàn ildiz: 
−
2,9404.