O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
6.1.
 
F
(
x
)  funksiyaning 
f
(
x
)  funksiya  uchun  bîshlàng‘ich
funksiya bo‘lishini isbît qiling:
1) 
6
5
6
( )
2 cos 3 ,   ( )
6 sin 3
x
F x
x f x
x
x
=
+
=
-
;
2) 
2
2
4 arctg 2
1 4
( ) arctg 2 ,   ( )
x
x
F x
x f x
+
=
=
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

246
3) 
2
3
2
9 tg 3
cos 3
( ) tg 3
sin 5 ,   ( )
5 cos 5
x
x
F x
x
x f x
x
=
-
=
-
;
4) 
7
8
16
8
1
( ) arcsin(
),   ( )
x
x
F x
x
f x
-
=
=
;
5) 
2
2
cos
2
( ) sin
cos(
),   ( )
2 sin(
)
x
x
F x
x
x
f x
x
x
=
-
=
+
;
6) 
5
4
5
2
8
8 cos
sin
sin
( )
cos
,   ( ) 5
cos
sin
x
x
x
F x
x
x
f x
x
x x
x
=
-
=
-
+
.
6.2.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
6
x dx
ò
;
2) 
2 5
x
xdx
ò
;
3) 
4
2
2
2
1
x
x
x
x
x
dx
-
-
+
ò
;
4) 
6
3
9
3
x
x
dx
-
+
ò
.
6.3.
 
f 
(
x
) funksiya uchun 
A
(
x
0
; 
y
0
) nuqtàdàn o‘tuvchi bîsh-
làng‘ich funksiyani tîping:
1) 
f
(
x
)
 = 
3
x 
- 
1, 
A
(1,  3);
       2) 
f 
(
x
)
 = 
4
x
 + 
3, 
 A
(1, 2);
3) 
( )
f x
x
=
, 
A
(9,  10).
2. Intågràllàsh fîrmulàlàri.
  Funksiyalàrni intågràllàshdà ulàrning
diffårånsiàllàsh nàtijàlàrigà àsîslànilàdi. Diffårånsiàllàshning hàr
bir 
( )
( )
F x
f x
¢
=
fîrmulàsidàn  intågràllàshning  ungà  mîs
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
ò
 fîrmulàsi hîsil bo‘làdi. Intågràllàsh jàdvàlini
kåltiràmiz:
¹
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
ò
F x
f x
( )
( )
¢
=
1
1
1
, 
1
x
x dx
C
a+
a
a+
=
+
a ¹ -
ò
x
C
x
x
1
1
1
1
, 
1
a+
a
a
a+
a+
a+
¢
æ
ö
+
=
=
a ¹ -
ç
÷
è
ø
2
cos
sin
xdx
x C
=
+
ò
(sin
)
cos
x C
x
+
¢ =
3
sin
cos
xdx
x C
= -
+
ò
( cos
)
( sin )
sin
-
+
¢ = - -
+ =
x C
x
x
0
4
2
cos
tg
dx
x
x C
=
+
ò
x
x C
x
k
k Z
2
1
2
cos
(tg
)
, 
2 , 
p
¢
+
=
¹ +
p
Î
5
2
sin
ctg
dx
x
x C
= -
+
ò
x
x
x C
x
k k
Z
2
2
1
1
,
sin
sin
( ctg
)
, 
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
¢
-
+
= -
=
¹ p
Î
6
2
1
arcsin
dx
x
x C
-
=
+
ò
x
x C
x
2
1
1
(arcsin
)
,  
1
-
¢
+
=
<
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

247
7
2
1
arctg
dx
x
x C
+
=
+
ò
x
x C
2
1
1
(arctg
)
+
¢
+
=
8
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
x
a
x
a
a
x dx
a x
C
-
=
- +
+
+
ò
(
)
x
a
x
a
a
x
C
a
x
a
x
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
, 
¢
-
+
+
=
=
-
³
9
x
x
e dx
e
C
=
+
ò
x
x
e
C
e
(
)
¢
+
=
10
ln
x
x
a
a
a dx
C
=
+
ò
x
x
a
C
a
a
(
)
ln
¢
+
=
11       
ln
dx
x
x
C
=
+
ò
              
 
1 ;
 
1
1
0 da
ln
, (ln
)
0 da
ln(
)
(ln(
)
)
( 1)
dx
x
dx
x
x
x
x
x
x C
x C
x
x
C
x C
¢
>
=
+
+
=
=
<
=
-
+
¢
- +
=- × - =
ò
ò
1 - m i s î l .  
2
2
3
2
2(1
)
1
(1
) 1
x
x
x
x
I
dx
+
- -
+
-
=
ò
    intågràlni  hisîblàymiz,
1
x
<
.
Y e c h i s h . Dàstlàb intågràl îstidàgi ifîdàni sîddàlàshtiràmiz:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2(1
)
1
2(1
)
1
(1
) 1
(1
) 1
(1
) 1
2
1
1
1
( )
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
+
- -
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
=
-
=
=
-
Jàdvàldàgi 6, 7- fîrmulàlàr bo‘yichà:
2
2
1
1
2
2 arcsin
arctg
dx
dx
x
x
I
x
x C
+
-
=
-
=
-
+
ò
ò
.
2 - m i s î l .  
2
2
5
6
sin
cos
x
x
I
dx
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
ò
  ni  hisîblàymiz,  bundà
2
,  
2
,  
x
k x
k k Z
p
¹ p
¹ + p
Î
.
Y e c h i s h .  Jàdvàldàgi 5, 4 - fîrmulàlàr bo‘yichà:
2
2
sin
cos
5
6
5ctg
6tg
dx
dx
x
x
I
x
x C
=
+
= -
+
+
ò
ò
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

248
3 - m i s î l .  
(7 cos
6 sin )
I
x
x dx
=
-
ò
  ni hisîblàymiz:
Y e c h i s h . Jàdvàldàgi 2, 3 - fîrmulàlàr bo‘yichà:
7 cos
6 sin
7 sin
6 cos
I
xdx
xdx
x
x C
=
-
=
+
+
ò
ò
.
4 - m i s î l .  
( )
( )
2
2
2
2
1
1
1
1
1
arctg
x
d
a
dx
du
a
a
a
a
x
u
x
a
u C
+
+
+
=
=
=
+
=
ò
ò
ò
1
arctg
x
a
a
C
=
+
,  (
x
a
u
=
  àlmàshtirish và jàdvàldàgi 7- fîrmulàdàn
fîydàlàndik).
5 - m i s î l .  
3
x
e dx
ò
 ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
3
3
3
1
1
3
3
(3 )
x
x
x
e dx
e d
x
e
C
=
= ×
+
ò
ò
.
6 - m i s î l .  
2
 (
2)
dx
x
x
+
¹ -
ò
 ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
(
2)
2
2
ln(
2)
d x
dx
x
x
x
C
+
+
+
=
=
+
+
ò
ò
.
Ì à s h q l à r
6.4.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
3
(4
2 )
x
x dx
+
ò
;     2)
2
10
sin
(7 cos
)
,  
,  
x
x
dx x
k k Z
-
¹ p
Î
ò
;
3) 
2
2
3
4
1
1
,  
1
x
x
dx
x
+
-
æ
ö
-
<
ç
÷
è
ø
ò
;
4) 
2
3
1
4 sin
x
x
dx
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
ò
;
5)
2
2
3
2
cos
1
,
1
x
x
dx x
-
æ
ö
-
<
ç
÷
è
ø
ò
;  6)
3
2
sin
1
sin
, 
,  
x
x
dx x
k k Z
+
¹ p
Î
ò
;
7) 
5
2
(
1)
1
x
dx
x
-
+
ò
;       8) 
4
3
1
1
,  
1
x
x
x
x
dx x
-
+ -
-
¹
ò
;    9) 
2
tg 3
xdx
ò
.
6.5.
 
y 
= 
å
-
3
õ
 funksiya 
y
¢
 
= -
3
å
-
3
õ
  tånglikni qànîàtlàntiràdimi?
6.6.
 
y 
= 
å
õ
/3
  funksiya  
1
3
y
y
¢ =
 tånglàmàni qànîàtlàntirishini
isbît qiling.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

249
6.7.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
3
x
dx
ò
;
2) 
2
x
e
dx
ò
;  3) 
5
x
e
dx
-
ò
;    4)
cos(
)
x
x
e
e
dx
ò
.
6.8.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
6
dx
x
+
ò
;
2) 
6
7
dx
x
-
ò
;
3) 
4
5
1
x dx
x
+
ò
;
4) 
3
2
1
x dx
x
+
ò
;
5) 
tg5
xdx
ò
;
6) 
tg(4
2)
x
dx
-
ò
;
7) 
2
(1
)arctg
dx
x
x
+
ò
;
8) 
2
1
arctg
dx
x
x
+
ò
.
3.  O‘zgàruvchini  àlmàshtirish  usuli.
  Ushbu  usul  (bîshqàchà
àytgàndà,  o‘rnigà  qo‘yish  usuli)  jàdvàldà  ko‘rsàtilmàgàn
intågràllàrni  jàdvàldàgi  birîr  ko‘rinishgà  kåltirib  hisîblàsh
màqsàdidà  qo‘llànilàdi.  Usulning  àsîsidà  muràkkàb  funksiyani
diffårånsiàllàsh  qîidàsi  yotàdi: 
F
(
j
(
t
))  funksiya  bårilgàn  và
x 
= j
(
t
) àlmàshtirish kiritilgàn bo‘lsin. U hîldà:
( ( ( ))
( ) ( )
( ) ( )
( ( )) ( )
F
t
F x
t
f x
t
f
t
t
¢
¢
¢
¢
¢
j
=
j
=
j
=
j
j
 và
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
ò
bo‘lgànidàn quyidàgigà egà bo‘làmiz:
( ( )) ( )
( ( ))
f
t
t dt
F
t
C
¢
j
j
=
j
+
ò
                              (1)
yoki
( ( ))
( )
( ( ))
f
t d
t
F
t
C
j
j
=
j
+
ò
.                                (2)
Dåmàk, 
F
(
j
(
t
))  funksiya 
( ( )) ( )
f
t
t
¢
j
j
  funksiyaning  bîsh-
làng‘ich funksiyasi ekàn. Õususàn, 
( )
t
kt b
j
=
+
  bo‘lsin. U hîldà:
( )
t
k
¢
j
=
 yoki 
d
j
(
t
)
 
= 
kdt
 và (2) bo‘yichà
(
)
(
)
f kt b kdt
F kt b
C
+
=
+
+
ò
yoki
1
(
)
(
)
k
f kt b dt
F kt b
C
+
= ×
+
+
ò
.                              (3)
1 - m i s î l .  
1
sin(10
8)
I
x
dx
=
+
ò
  và 
4
2
(7
8)
I
x
dx
=
-
ò
intågràllàrni hisîblàymiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

250
Y e c h i s h . Intågràllàsh jàdvàlidàgi 1 và 3- fîrmulàlàrgà muvîfiq:
5
5
1
2
1
1
1
10
5 7
35
cos(10
8)
,  
(7
8)
(7
8)
I
x
C I
x
C
x
×
= -
+
+
=
-
+
=
-
.
2 - m i s î l .  
3
4
cos(
)
I
x
x
dx
=
ò
 intågràlni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
4
3
(
)
4
x
x
¢ =
  bo‘lgànligidàn, 
4
x
t
=
 àlmàshtirish
kiritàmiz.  U  hîldà 
4
(
)
d x
dt
=
  yoki 
3
4
x dx
dt
=
  và  bundàn
3
4
dt
x dx
=
, u hîldà
4
1
1
1
4
4
4
cos
sin
sin(
)
I
tdt
t C
x
C
=
=
+
=
+
ò
.
3 - m i s î l .  
3
cos
sin
I
x
xdx
=
ò
 intågràlni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  (cos
x
)
¢
 
= -
sin
x
 bo‘lgànligidàn cos
x 
= 
t
 àlmàshtirish
kiritàmiz. U hîldà 
dt 
= 
d
(cos
x
)
 
= 
(cos
x
)
¢
dx 
= -
sin
xdx
 và
4
4
3
cos
4
4
(
)
t
x
I
t
dt
C
C
=
-
= -
+
= -
+
ò
.
4 - m i s î l .  
4
sin
cos
xdx
x
ò
 intågràlni hisîblàymiz 
2
(
,  
)
x
k
k Z
p
¹ + p
Î
.
Y e c h i s h .  sin
xdx 
= -
d
(cos
x
);  cos
x 
= 
t
  àlmàshtirish kiritàmiz.
3
4
4
4
4
3
(cos )
sin
1
1
3
3
cos
cos
cos
d
x
xdx
dt
t
x
x
t
x
t dt
C
C
-
-
= -
= -
= -
= -
+
= ×
+
ò
ò
ò
ò
.
5 - m i s î l .  
2
2
a
x dx
-
ò
 ni hisîblàymiz, bundà 
a 
> 
x
.
Y e c h i s h .  
x 
= j
(
t
)
 
= 
a 
sin
t
  bo‘lsin,bundà 
2
2
;  
t
p
p
é
ù
Π-
ë
û
.  U
hîldà:
j
 
¢
(
t
)
 
= 
a
cos
t
, 
 dx 
= 
a
cos
tdt
 và
2
2
2
2
2
2
1 sin
cos
cos
a
x dx
a
t
tdt
a
tdt
-
=
-
=
ò
ò
ò
.
Låkin 
2
1 cos 2
2
cos
t
t
+
=
. Shungà ko‘rà
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sin 2
2
2 2
2
2
(1 cos 2 )
cos 2
sin cos
.
a
a
a
a t
a
t
a t
a
a
x dx
t dt
dt
tdt
C
t
t C
×
-
=
+
=
+
=
=
+
+
=
+
+
ò
ò
ò
ò
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

251
Bizdà 
a 
sin
t 
= 
x
, 
sin
x
a
t
=
, 
2
2
2
cos
1 sin
1
x
a
t
t
=
-
=
-
=
2
2
2
a
x
a
-
=
,  
arcsin
x
a
t
=
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
arcsin
.
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
x
x
a
a
x dx
C
a
x
C
-
-
=
+
× ×
+
=
=
+
-
+
ò
6 - m i s î l .  
2
3
6
2
1
x dx
x
-
ò
 intågràlni hisîblàymiz, bundà 
3
1
2
x
>
.
Y e c h i s h
.  (2
õ
3
 
- 
1)
¢
 
= 
6
õ
2
 bo‘làdi.  2
õ
3
 
- 
1
 
= 
t
 àlmàshtirish
kiritàmiz. U hîldà 6
õ
2
dx 
= 
dt
,
2
3
3
6
2
1
ln
ln(2
1)
x
dt
t
x
dx
t C
x
C
-
=
=
+
=
-
+
ò
ò
.
Ìisîl  nàtijàsigà  ko‘rà  iõtiyoriy  diffårånsiàllànuvchi  funksiya
uchun ushbu tånglik o‘rinli bo‘làdi: 
( )
( )
ln ( )
f x dx
f x
f x
C
¢
=
+
ò
.