|
Ì à s h q l à r
6.14.
[0; 4] kåsmà nåchà qismgà bo‘linsà,
x
=
0,
x
=
4,
y
=
0,
y
=
x
2
chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn shàkl uchun
S
(
F
2
)
-
S
(
F
1
)
<
<
0,1 bo‘làdi?
6.15.
Dîiràning yuzgà egàligini isbîtlàng.
6.16.
Intågràllàrni hisîblàng:
1)
2
6
0
x dx
ò
;
2)
4
2 5
0
x
x dx
ò
;
3)
3
8
4
0
9
3
x
x
dx
-
+
ò
;
4)
/ 2
sin
xdx
p
p
ò
;
5)
8
3
0
(4
2 )
x
x dx
+
ò
; 6)
/ 3
3
2
/ 6
sin
1
sin
x
x
dx
p
p
+
ò
;
7)
6
2
2
3
x
dx
-
ò
; 8)
( )
8
3
1
4
4
1
x
x
dx
-
ò
;
9)
4
2
6
(2 cos
1)
x
dx
p
p
-
ò
; 10)
9
2
1
x
dx
-
ò
.
6.17.
Intågràllàrni hisîblàng:
1)
3
2
1
(
4 5)
x
dx
-
- +
ò
; 2)
2
1
6
3
x
x
x
dx
-
ò
;
17 Àlgebra, II qism
www.ziyouz.com kutubxonasi
258
3)
3
2
2
(6
2 )
x
x dx
-
-
ò
; 4)
/ 3
0
(sin 2
cos )
x
x dx
p
-
ò
;
5)
/ 2
2
/ 2
sin
xdx
p
- p
ò
; 6)
2
0
(1 cos )
x
dx
p
-
ò
;
7)
2 6
3
1
9
3
x
x
dx
-
+
ò
; 8)
8
3
0
(4
2 )
x
x dx
+
ò
;
9)
/ 3
3
2
/ 4
sin
1
sin
x
x
dx
p
p
+
ò
; 10
1
2
0
1
dx
x
+
ò
;
11)
/ 3
2
0
cos
dx
x
p
ò
.
2. Nyutîn–Låybnis tåîråmàsi.
Ìàtåmàtik ànàlizning muhim
qo‘llànishlàrgà egà bo‘lgàn àsîsiy nàtijàlàridàn biri ingliz màtå-
màtigi Bàrrîu (1630–1677) tîmînidàn gåîmåtrik shàkldà bàyon
qilingàn, Isà àk N y ut în (1643–1727) và L åybnis (1646–
1716) tîmînidàn bir-birlàridàn mustàqil ràvishdà uzil-kåsil
isbîtlàngàn ushbu tåîråmàdir.
Ò å î r å m à .
(Nyutîn–Låybnis tåîråmàsi).
f
(
x
)
funksiya
[
a
;
b
]
kåsmàdà nîmànfiy, uzluksiz và undà chåkli sîndà ekstråmumlàrgà
egà bo‘lsin. Shu a
£
x
£
b kåsmà ustidà jîylàshgàn và yuqîridàn
f
(
x
)
funksiya gràfigi bilàn chågàràlàngàn egri chiziqli tràpåtsiyaning
yuzini
S
(
x
)
îrqàli bålgilàylik. U hîldà
S
(
x
)
funksiya
f
(
x
)
ning
bîshlàng‘ich funksiyasi bo‘làdi, ya’ni
[
a
;
b
]
kåsmàdà
S
¢
(
x
)
=
f
(
x
)
tånglik bàjàrilàdi
(VI.3-ràsm).
Y
A
D
N
P
T
B
C
Q
S
(
x
)
y
=
f
(
x
)
M
D
S
m
O a x x
+
h b X
VI.3-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
259
I s b î t . Biz iõtiyoriy
x
Î
[
a
,
b
] nuqtà uchun
S
¢
(
x
)
=
f
(
x
)
tånglikning bàjàrilishini isbît qilishimiz kåràk, bundà
0
(
)
( )
( ) lim
,
n
S x h S x
h
S x
h
x
®
+ -
¢
=
= D
.
Àniqlik uchun
h
>
0 dåb îlàmiz.
S
(
x
+
h
)
-
S
(
x
) àyirmà
PTQN
egri chiziqli tràpåtsiyaning yuzigà tång.
f
(
x
) funksiyaning [
x
;
x
+
+
h
] dàgi eng kàttà qiymàti
Ì
gà, eng kichik qiymàti
m
gà tång bo‘lsin.
U hîldà
PTQN
egri chiziqli tràpåtsiya umumiy àsîsi [
x
;
x
+
h
],
bàlàndliklàri mîs ràvishdà
m
và
Ì
gà tång ikki to‘g‘ri to‘rtbur-
chàkning o‘rtàsidà jîylàshàdi. Ulàrning yuzlàri:
(
)
( )
,
0
m h S x h
S x
M h h
× £
+
-
£
×
>
(1)
yoki
(
)
( )
S x h S x
h
m
M
+ -
£
£
,
bundà
m
và
M
làr
h
ning tànlànishigà bîg‘liq.
f
(
x
) funksiya
x
nuqtàdà uzluksiz bo‘lgànidàn,
h
®
0 dà uning [
x
;
x
+
h
] kåsmàdàgi
m
và
Ì
qiymàtlàri birgàlikdà umumiy
f
(
x
) limitgà intilàdi:
0
0
0
(
)
( )
lim
lim
( ), ( ) lim
( )
h
h
h
S x h S x
h
m
M
f x
S x
f x
®
®
®
+ -
¢
=
=
=
=
.
Õ u l î s à :
y
=
f
(
x
) (
a
£
x
£
b
)
egri chiziq îstidà jîylàshgàn
egri chiziqli tràpåtsiyaning S
¢
yuzi
f
(
x
)
funksiyaning
[
a
;
b
]
kåsmàdàgi àniq intågràligà tång:
( )
b
a
S
f x dx
=
ò
.
I s b î t .
ÀBCD
shàklning
S
yuzi (VI.3-ràsm)
S
(
x
) funksiyaning
[
a
;
b
] kåsmàdàgi
S
=
S
(
b
)
-
S
(
a
) îrttirmàsigà tång. Låkin
S
(
x
)
ning o‘zi
f
(
x
) ning bîshlàng‘ich funksiyasi. Shundày qilib,
( )
( )
( )
b
a
S
S b
S a
f x dx
=
-
=
ò
.
1 - m i s î l .
OX
o‘qi,
x
=
2,
x
=
6 to‘g‘ri chiziqlàr và
f
(
x
)
=
x
3
funksiyaning gràfigi bilàn chågàràlàngàn egri chiziqli tràpåtsiyaning
S
(
x
) yuzini tîpàmiz.
Y e c h i s h .
x
3
funksiyaning bîshlàng‘ich funksiyalàridàn biri
4
4
( )
x
F x
C
=
+
bo‘lsin. Nyutîn–Låybnits fîrmulàsi bo‘yichà:
www.ziyouz.com kutubxonasi
260
6
4
4
4
3
4
4
2
6
2
1
4
4
4
4
(6
2 ) 320
b
a
x
S
x dx
=
=
=
-
=
-
=
ò
.
2 - m i s î l .
2
2
R
R
R
x dx
-
-
ò
intågràlning qiymàtini hisîblàymiz.
Y e c h i s h .
2
2
y
R
x
=
-
tånglikni
x
2
+
y
2
=
R
2
ko‘rinishdà
yozish mumkin. Bu esà hàr qàndày
M
(
x
;
y
) nuqtà ràdiusi
R
bo‘lgàn và màrkàzi (0; 0) nuqtàdà jîylàshgàn àylànàdà yotishini
bildiràdi. Egri chiziqli tràpåtsiyaning [
-
R
;
R
] kåsmà ustidà
jîylàshgàn qismi yarim dîiràdàn ibîràt và uning yuzi
2
1
2
R
p
gà
tång:
2
2
2
1
2
R
R
R
x dx
R
-
-
= p
ò
.
Intågràllàsh fîrmulàsi hàm shu nàtijàni båràdi:
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
arcsin
(arcsin1 arcsin( 1))
R
R
R
R
R
x
x
R
R
R
R
R
x dx
R
x
-
-
p
p
p
æ
ö
-
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
=
-
-
=
- -
=
ò
.
Àgàr
[
a
;
b
] kåsmàdà
f
(
x
) funksiya musbàt và mànfiy qiymàt-
làrni qàbul qilsà,
( )
b
a
f x dx
ò
ning qiymàti egri chiziqli tràpåtsiya-
ning àbssissàlàr o‘qidàn yuqîridà và quyidà yotgàn qismlàrining
àyirmàsigà tång bo‘làdi. Umumàn,
y
=
f
1
(
x
) và
y
2
=
f
2
(
x
) (
f
2
(
x
)
³
³
f
1
(
x
)) uzluksiz funksiyalàr gràfiklàri và
x
=
a
,
x
=
b
, (
a
<
b
)
to‘g‘ri chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzi
l
(
x
)
=
f
2
(
x
)
-
-
f
1
(
x
) funksiyaning [
a
;
b
] kåsmàdàgi àniq intågràligà tång:
( )
b
a
S
l x dx
=
ò
. (2)
I s b î t . Shàklni
OX
o‘qidàn yuqîrigà jîylàshàdigàn qilib,
k
birlik yuqîrigà pàràllål ko‘chiràmiz (bu bilàn shàklning yuzi
o‘zgàrmàydi).
f
1
(
x
) funksiya
f
1
(
x
)
+
k
gà,
f
2
(
x
) esà
f
2
(
x
)
+
k
gà
àlmàshàdi. U hîldà:
www.ziyouz.com kutubxonasi
261
2
1
2
1
2
1
(
( )
)
( ( )
)
(
( )
( )
( )
( )
( )
.
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
S
f
x
k dx
f x
k dx
f
x dx k dx
f x dx k dx
f
x dx
f x dx
l x dx
=
+
-
+
=
+
-
-
-
=
-
=
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
Òà’kid isbîtlàndi.
Õususàn, àgàr
f
(
x
) uzluksiz funksiya [
a
;
b
] kåsmàdà mànfiy
bo‘lsà,
y
=
f
(
x
) egri chiziq,
OX
o‘qi,
x
=
a
và
x
=
b
(
a
<
b
) to‘g‘ri
chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzi
(
( ))
b
a
f x dx
-
ò
àniq
intågràlgà tång bo‘làdi.
3 - m i s î l .
y
=
x
2
+
2 và
y
=
x
2
+
3
x
pàràbîlàlàr và
x
=
1,
x
=
2
to‘g‘ri chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzini tîpàmiz
(VI.4-ràsm).
Y e c h i s h . [1; 2] kåsmàdà
y
=
x
2
+
3
x
pàràbîlà
y
=
x
2
+
2
pàràbîlàdàn yuqîri jîylàshàdi.
l
(
x
)
=
(
x
2
+
3
x
)
-
(
x
2
+
2)
=
3
x
-
2.
(2) fîrmulà bo‘yichà:
(
)
2
2
2
1
1
3
3
1
2
2
2
(3
2)
2
6 4
2 2
S
x
dx
x
x
=
-
=
-
= - - + =
ò
.
Y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-
1
-
2
-
3
-
5
-
4
-
3
-
2
-
1
O
1 2
X
y
=
x
2
+
3
x
y
=
x
2
+
2
Y
2
1
-
2
-
1
O
1
X
S
-
1
-
2
y
=
x
3
Do'stlaringiz bilan baham: |
