|
VI B Î B
INÒEGRÀL
1-§. Àniqmàs intågràl
1. Intågràllàsh àmàli. Bîshlàng‘ich funksiya.
Biz
F
(
x
)
funksiyaning
F
¢
(
x
) hîsilàsini tîpish zàrur bo‘lsà, funksiyalàrni
diffårånsiàllàsh qîidàlàridàn fîydàlàngànmiz. Àgàr hîsilà
x
àrgumåntning funksiyasi bo‘lib, uni
f
(
x
) orqali belgilasak,
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
) bo‘làdi và
F
(
x
) funksiya diffårånsiàlini
dF
(
x
)
=
F
¢
(
x
)
dx
yoki
dF
(
x
)
=
f
(
x
)
dx
ko‘rinishdà yozish mumkin bo‘làdi. Àksinchà,
funksiyaning birîr
X
îràliqdà bårilgàn
f
(
x
) hîsilàsi bo‘yichà shu
îràliqdà àniqlàngàn
F
(
x
) funksiyaning o‘zini tîpish tàlàb etilsà,
f
(
x
) funksiyani
intågràllàsh
àmàlidàn, ya’ni intågràllàsh nîmi
bilàn àtàluvchi màõsus qîidàlàr và fîrmulàlàrdàn fîydàlànilàdi.
Izlànàyotgàn
F
(
x
) funksiya
f
(
x
) uchun bîshlàng‘ich funksiya
vàzifàsini o‘tàydi. Intågràllàsh àmàli
ò
bålgisi bilàn bålgilànàdi
(lîtinchà
untegrare
– tiklàsh).
Shundày qilib, birîr
X
îràliqdàgi bàrchà
x
làr uchun
F
¢
(
x
)
=
=
f
(
x
) o‘rinli bo‘lsà,
F
(
x
) funksiya shu îràliqdà
f
(
x
) funksiyaning
bîshlàng‘ich funksiyasi
dåyilàdi.
Ìàtåmàtikàgà intågràl àtàmàsini shvåysàriyalik màtåmàtik
Iîgànn Bårnulli (1667–1748) kiritgàn và intågràl hisîbdàn
birinchi siståmàtik kurs tàyyorlàgàn. Uning shîgirdi Påtårburg
fànlàr àkàdåmiyasining hàqiqiy à’zîsi Låînàrd Eylår (1707–
1783) intågràllàshni
fdx
ò
bålgisi îrqàli bålgilàgàn. Hîzirgi zàmîn
bålgilàshlàrini esà frànsuz màtåmàtigi J.Fu ryå (1768–1860)
kiritgàn.
1 - m i s î l . Àgàr
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
)
=
4
x
3
,
x
Î
R
bo‘lsà, bîshlàng‘ich
funksiya
F
(
x
)
=
x
4
và umumàn,
F
(
x
)
+
C
=
x
4
+
C bo‘làdi, bundà
C –
iõtiyoriy o‘zgàrmàs sîn. Chunki (
F
(
x
)
+
C
)
¢
=
(
x
4
+
C
)
¢
=
=
4
x
3
+
0
=
4
x
3
.
Diffårånsiàllàsh và intågràllàsh àmàllàri o‘zàrî tåskàri
àmàllàrdir.
F
(
x
) funksiyani intågràllàsh
( )
fdx
F x
C
=
+
ò
ko‘ri-
nishdà yozilàdi. Õususàn, yuqîridàgi misîl bo‘yichà biz
www.ziyouz.com kutubxonasi
243
3
4
4
x dx
x
C
=
+
ò
gà egà bo‘làmiz,
bundà
C
=
const.
Ò å î r å m à .
Àgàr
f
(
x
)
funksiya
X
îràliqdà
F
(
x
)
bîshlàng‘ich funksiyagà
egà bo‘lsà,
F
(
x
)
+
C
funksiya hàm
f
(
x
)
uchun bîshlàng‘ich funksiya bo‘làdi,
bundà
C
–
iõtiyoriy o‘zgàrmàs sîn.
X
dà
f
(
x
)
funksiya bîshqà ko‘rinishdàgi
bîshlàng‘ich funksiyagà egà emàs.
I s b î t . Bàrchà
x
Î
X
làr uchun
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
), chunki shu
îràliqdà
F
(
x
) funksiya
f
(
x
) funksiya uchun bîshlàng‘ich funksiya.
Låkin iõtiyoriy
C
hàqiqiy sîn uchun (
F
(
x
)
+
C
)
¢
=
f
(
x
). Dåmàk,
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
ò
. Shu bilàn birgà
f
(
x
) funksiya
X
dà bîshqà
ko‘rinishidàgi bîshlàng‘ich funksiyagà egà bo‘là îlmàydi.
Hàqiqàtàn, birîr
F
(
x
) hàm
f
(
x
) ning bîshlàng‘ich funksiyasi
bo‘lsin, dåb fàràz qilàylik:
F¢
(
x
)
=
f
(
x
). U hîldà hàr bir
x
Î
X
uchun
j¢
(
x
)
=
F¢
(
x
)
-
F
¢
(
x
)
=
0 bo‘làdi.
j¢
(
x
)
=
0 bo‘lgàni uchun
j
(
x
)
=
C
bo‘làdi. Dåmàk,
F
(
x
)
-
F
(
x
)
=
C
. Bundàn
F
(
x
)
=
F
(
x
)
+
+
C
, ya’ni iõtiyoriy bîshlàng‘ich funksiya
F
(
x
)
+
C
ko‘rinishigà egà
bo‘làdi.
Shundày qilib,
f
(
x
) funksiyaning bàrchà
F
(
õ
)
+
C
bîshlàng‘ich
funksiyalàrini tîpish uchun àvvàl ulàrdàn birini, màsàlàn,
F
(
x
)
ni tîpish, so‘ngrà ungà istàlgàn
C
Î
R
o‘zgàrmàs sînni qo‘shish
kifîya.
C
iõtiyoriy bo‘lgàni uchun funksiyaning bîshlàng‘ich
funksiyalàri chåksiz ko‘p bo‘làdi.
Qo‘shiluvchi
C
sîn
intågràllàsh dîimiysi,
F
(
x
)
+
C
bîshlàng‘ich
funksiyalàr to‘plàmi
f
(
x
) funksiyaning
f x dx
( )
ò
àniqmàs intågràli
dåyilàdi.
Bårilgàn
f
(
x
) funksiyaning bàrchà bîshlàng‘ich funksiyalàri
gràfiklàri
y
=
F
(
x
) funksiya gràfigini
OY
o‘qi bo‘yichà
C
qàdàr
siljitishdàn hîsil qilinàdi và shu yo‘l bilàn bîshlàng‘ich funksiya
gràfigini bårilgàn nuqtà îrqàli o‘tishigà erishilàdi (VI.1-ràsm).
2 - m i s î l .
y
=
x
2
funksiyaning gràfigi
A
(1; 2) nuqtàdàn
o‘tuvchi bîshlàng‘ich funksiyasini tîpàmiz.
Yechish.
f
(
x
)
=
x
2
funksiya uchun
3
3
( )
x
F x
C
=
+
, chunki
F
¢
(
x
)
=
x
2
. Shundày
C
sînni tîpàmizki,
3
3
x
y
=
funksiyaning
Y
O X
y
=
F
(
x
)
VI.1-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
244
gràfigi
A
(1; 2) nuqtà îrqàli o‘tsin. Îõirgi tånglikkà
x
=
1;
y
=
2
qiymàtlàrni qo‘yib,
1
3
2
C
= +
ni hîsil qilàmiz. Bundàn
5
3
C
=
.
Dåmàk,
3
5
3
3
( )
x
F x
=
+
.
À n i q m à s i n t å g r à l n i n g õ î s s à l à r i :
1) Iõtiyoriy
C
sîn uchun ushbu tånglik o‘rinli:
(
( )
)
( )
d
f x dx
f x dx
=
ò
. (1)
Hàqiqàtàn,
( )
( )
f x dx
F x
C
=
+
ò
và
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
) bo‘lgàn-
ligidàn:
(
( )
) ( ( )
)
( )
( )
d
f x dx
F x
C dx
F x dx
f x dx
¢
¢
=
+
=
=
ò
.
3 - m i s î l .
cos
sin
xdx
x C
=
+
ò
bo‘làdi. Chunki (sin
x
+
C
)
¢
=
=
cos
x
và
( cos
)
(sin
)
(sin ) cos
d
xdx
d
x C
d
x
xdx
=
+
=
=
ò
.
2) Ushbu tånglik o‘rinli:
( )
( )
F x dx
F x
C
¢
=
+
ò
. (2)
Chunki
( )
)
( )
( )
F x dx
f x dx
F x
C
¢
=
=
+
ò
ò
.
4 - m i s î l .
cos
(sin )
sin
xdx
x dx
x C
¢
=
=
+
ò
ò
.
3) Ushbu tånglik o‘rinli:
( ( )
( ))
( )
( )
x
x dx
x dx
x dx
j
+ y
= j
+ y
ò
ò
ò
. (3)
Hàqiqàtàn,
1
( )
( )
x dx
x
C
j
= F
+
ò
và
2
( )
( )
x dx
x
C
y
= Y
+
ò
bo‘lsin. U hîldà
( )
( ),
( )
( )
x
x
x
x
¢
¢
F
= j
Y
= y
và shungà ko‘rà
( ( )
( ))
(
( )
( ))
( ( )
( ))
( )
( )
( )
( ) ,
x
x dx
x
x dx
x
x
dx
x
x
C
x dx
x dx
¢
¢
¢
j
+ y
=
F
+ Y
=
F
+ Y
=
= F
+ Y
+
= j
+ y
ò
ò
ò
ò
ò
bundà
C
=
C
1
+
C
2
.
4) O‘zgàrmàs ko‘pàytuvchini intågràl bålgisi îstidàn chiqàrish
mumkin:
( )
( )
kf x dx
k f x dx
=
ò
ò
,
k
– o‘zgàrmàs sîn. (4)
www.ziyouz.com kutubxonasi
245
Hàqiqàtàn,
( )
( )
F x
f x
¢
=
và (
kF
(
x
))
¢
=
kF
¢
(
x
)
=
kf
(
x
)
bo‘lgànidàn,
( )
( )
( )
kf x dx
kF x
C
k f x dx
=
+
=
ò
ò
.
Jumlàdàn, 2 và 4-õîssàlàr và
1
a ¹ -
uchun
1
(
)
(
1)
x
x
a+
a
¢ = a +
bo‘yichà dàràjàli funksiya uchun
1
1
1
1
(
1)
x
x dx
x dx
C
a+
a
a
a+
a+
=
a +
=
+
ò
ò
(5)
hîsil qilinàdi.
5 - m i s î l .
3
2
(4
9
6
8)
I
x
x
x
dx
=
-
+
-
ò
ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h . 3 và 4-õîssàlàrgà àsîsàn:
3
2
4
9
6
8
I
x dx
x dx
xdx
dx
=
-
+
-
ò
ò
ò
ò
.
(5) fîrmulà bo‘yichà:
4
3
2
3
2
4
3
2
,
,
,
x
x
x
x dx
C
x dx
C
xdx
C
dx
x C
=
+
=
+
=
+
= +
ò
ò
ò
ò
.
4
3
2
4
3
2
4
3
2
4
9
6
8
3
3
8
x
x
x
I
x C
x
x
x
x C
= ×
- ×
+ ×
-
+
=
-
+
-
+
.
Biz
C
ni bir màrtà yozdik, chunki o‘zgàrmàslàr yig‘indisini
bittà o‘zgàrmàs bilàn àlmàshtirish mumkin.
6 - m i s î l .
4
3
8
x
I
x x
dx
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
ò
intågràlni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .
5 1
5
3 1
4
3
4
5
3 1
1
4
8
8
x
x
I
x
x
dx
C
+
- +
-
- +
+
æ
ö
= ç
-
÷
=
-
×
+
=
ç
÷
è
ø
ò
2 4
4
9
x
x
=
.
2
4
x
C
-
+
+
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
