O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

V.19-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

225
Ì i s î l .  
f x
x
x
( )
=
−
+
1
2
4
2
12
6
  funksiya  gràfigi  bukilishgà
egàligini tåkshiràmiz.
Y e c h i s h .  
′′
=
−
+ ′′ =
−
′ =
−
=
f x
x
x
x
x
x
( ) (
)
(
)
1
2
4
2
3
2
12
6
2
24
6
24 0
.
Òånglàmàning ildizlàri: 
x 
= −
2, 
x 
= 
2. Bu qiymàtlàrdà 
f 
(
−
2)
 
= 
f 
(2)
 
=
= −
34. Gràfik (
−
2;
 
− 
34) và (2;
 
− 
34) nuqtàlàrdà bukilishi mumkin.
õ 
= −
2 nuqtàning 
õ 
> −
2 yaqinidà 
f
′′
 
= 
6
x
2
 
− 
24
 
> 
0, 
x 
< −
2 dà 
f
′′
 
> 
0,
ya’ni 
    õ 
=  −
2  dà 
f
′′
  ning  ishîràsi  o‘zgàrmîqdà.  Dåmàk,
C
1
(
−
2; 34) – bukilish nuqtàsi. Shu kàbi 
C
2
(2; 
−
34) hàm bukilish
nuqtàsi ekàni àniqlànàdi.
Ì à s h q l à r
5.90.
  1)  5.89-màshqdà  kåltirilgàn  funksiyalàr  gràfiklàrining
bukilish nuqtàlàrini tîping;
2) 
y 
= −
x 
1/3
 funksiya gràfigining bukilish nuqtàsini tîping.
6. Funksiya  gràfiklàrini  yasàsh  tàrtibi.
 Funksiya  gràfigini
(
õ
; 
f
(
x
))
  nuqtàlàr
 
bo‘yichà  yasàsh
dàn  îldin  funksiya  và  uning
gràfigining  õususiyatlàri  o‘rgànilishi  kåràk.  Bundà  quyidàgi
mà’lumîtlàr to‘plànàdi:
1) 
f
(
x
)  funksiyaning 
D
(
f
)  àniqlànish  sîhàsi, 
E
(
f
)  qiymàtlàr
sîhàsi,  uzluksizligi;
2)  funksiyaning  juft-tîqligi;
3) gràfigining 
OX
 o‘qi bilàn kåsishish nuqtàlàri (funksiyaning
nîllàri). Buning uchun 
f
(
x
)
 
= 
0 tånglàmà yechilishi kåràk;
4) funksiyaning nîllàri và uzilish nuqtàlàri àbssissàlàr o‘qini
funksiya ishîràlàri sàqlànàdigàn îràliqlàrgà àjràtàdi. Bu îràliqlàrdà
funksiyaning ishîràlàri;
5) uzilish nuqtàlàri yaqinidà và chåksizlikdà funksiyaning hîlàti
và àsimptîtàlàri;
6) funksiyaning  o‘sish và  kàmàyish îràliqlàri;
7) màksimum và minimumi;
8) gràfigining qàvàriqligi, bukilish nuqtàlàri;
9) funksiya và uning hîsilàlàri qiymàtlàri jàdvàli tuzilàdi (bungà
îldin tîpilgàn và bîshqà kåràkli nuqtàlàr hàm kiritilishi mumkin);
10) funksiya gràfigining eskizini chizish và õulîsàlàr.
1 - m i s î l .  
f
(
x
)
 
= 
x 
3
 
+ 
6
x 
2
 
+ 
8
x
funksiyani tåkshiràmiz và
gràfigini yasàymiz.
15 Àlgebra, II qism
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

226
Y e c h i s h .  1) Funksiya 
õ
 ning hàr qàndày qiymàtidà àniqlàn-
gàn, ya’ni 
D
(
f 
)
 
= 
(
−∞
; 
+∞
);
2) 
f
(
−
x
)
 
= 
(
−
x
)
3
 
+ 
6(
−
x
)
2
 
+ 
8(
−
x
)
 
=  −
x 
3
 
+ 
6
x 
2
 
− 
8
x
.  Bungà
qàràgàndà
  f
(
−
x
)
 
≠ 
f
(
x
)  và 
f
(
−
x
)
 
≠  −
f
(
−
x
),  ya’ni  qàràlàyotgàn
f
(
x
) funksiya juft hàm emàs (
ÎY
 o‘qigà nisbàtàn simmåtrik emàs),
tîq hàm emàs (kîîrdinàtàlàr bîshigà nisbàtàn simmåtrik emàs);
3)  gràfikning  àbssissàlàr  o‘qini  kåsish  nuqtàlàrini  tîpàmiz.
Buning  uchun 
x 
3
 
+ 
6
x
2
 
+ 
8
x
 
= 
0  tånglàmàni  yechàmiz.  Uning
ildizlàri:  0; 
−
4; 
−
2.  Êåsishish  nuqtàlàri: 
A
(
−
4;  0); 
B
(
−
2;  0);
O
(0;  0)  (V.20,  V.21-ràsmlàr);
4) 
f 
(
x
)  funksiya  sîn  o‘qining  bàrchà  nuqtàlàridà  uzluksiz.
Uning  nîllàri  sîn  o‘qini  to‘rttà  ishîrà  sàqlànàdigàn  intårvàlgà
àjràtàdi  (V.20-ràsm).  Òàsvir  bo‘yichà  funksiya  (
−
4; 
−
2)  dà
màksimumgà, (
−
2; 0) dà minimumgà egà bo‘lishi kåràk;
5) 
3
2
3
2
3
2
6
8
6
8
lim (
6
8 )
lim
(1
)
lim
lim (1
)
1
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
→+∞
+
+
=
+ +
=
=
⋅
+ +
= +∞ ⋅ = +∞
Shu kàbi 
3
2
lim (
6
8 )
.
x
x
x
x
→−∞
+
+
= −∞
 Dåmàk, àsimptîtàlàrgà
egà emàs, uzilish nuqtàlàri yo‘q;
6)–7) funksiyaning o‘sishi, kàmàyishi và ekstråmum nuqtàlàri:
 f 
′
(
x
)
 = 
(
x
3
 + 
6
x
2
 + 
8
x
)
′ = 
3
x
2
 + 
12
x 
+ 
8
 = 
0.
Bu tånglàmàning ildizlàri 
1,2
2
3
2
3
x
≈ − +
 yoki tàqribàn 
õ
1
 
≈
≈  −
3,155  và 
õ
2
 
≈  −
0,845.  Funksiya 
õ
1
  nuqtàdà  màksimumgà,
Y
        −
4          
−
2   
       O      X
+                        +
 −                           −
2
        
 x
1 
   
 −
2      
 x
2
 
     O           X
−
2
                   V.20-rasm.                                         V.21-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

227
õ
2
 nuqtàdà minimumgà erishàdi, bundà 
õ
1
∈
(
−
4; 
−
2), 
x
2
∈
(
−
2; 0).
Ulàrdà funksiya qiymàtlàri 
f
(
x
1
) 
≈ 
2,996, 
f
(
x
2
) 
≈ −
3,079.
(
−∞
; 
x
1
] kåsmàdà 
f 
′
(
x
)
 ≥ 
0. Dåmàk, undà funksiya o‘sàdi; 
[
x
1
;
x
2
]
 dà 
f
′ ≤ 
0, undà funksiya kàmàyadi;
[
x
2
; 
+∞
) dà 
f 
′ ≥ 
0, funksiya o‘sàdi;
8) 
f
′′
(
x
)
 = 
(
x
3
 + 
6
x
2
 + 
8
x
)
′′ = 
(3
x
2
 + 
12
x 
+ 
8)
′ = 
6
x 
+ 
12. 
f
′′ = 
0
tånglàmàning  ildizi 
õ 
= −
2.  Gràfikning  bukilishini  tåkshiràmiz.
x
 < −
2 dà 
f
′′ < 
0, 
x
 > −
2 dà esà 
f
′′ > 
0, ya’ni 
õ
 = −
2 dàn o‘tishdà
f
′′
  hîsilà  o‘z  ishîràsini  o‘zgàrtirmîqdà.  Dåmàk,  bu  nuqtàdà
f
(
x
)  egri  chiziq  bukilàdi.  Bu  nuqtàdàn  chàp  tîmîndà  gràfik
qàvàriqligi bilàn yuqîrigà, o‘ng tîmîndà esà qàvàriqligi bilàn pàstgà
qàràydi. Bukilish nuqtàsidàn o‘tuvchi urinuvchi to‘g‘ri chiziqning
burchàk kîeffitsiyånti 
k
 = 
f 
′
(
−
2) 
≈ −
1,301;
9) to‘plàngàn mà’lumîtlàrni quyidàgi jàdvàlgà jîylàshtiràmiz:
x
(
−∞
; 
−
4)
−
4
(
−
4; 
x
1
)
x
1
 
≈ −
3,15 (
x
1
; 
−
2)
−
2
(
−
2; 
x
2
)
f 
(
x
)
−
0
+
≈
 2,9
+
0
−
f 
′
(
x
)
+
+
+
0
−
≈ −
1,301
−
f 
′′
(
x
)
−
−
−
−
−
0
+
Funk- mànfiy,
OX
musbàt,
màksi-
musbàt,
ÎÕ
mànfiy,
siya
o‘sàdi, o‘qini
o‘sàdi,
mum
kàmàyadi,
o‘qini
kàmàyadi,
qàvàriqligi kåsàdi qàvàriqligi
qàvàriqligi kåsàdi, qàvàriqligi
yuqîrigà
yuqîrigà
yuqîrigà
bukilish
pàstgà
yo‘nàlgàn
yo‘nàlgàn
yo‘nàlgàn nuqtàsi yo‘nàlgàn
dàvîmi
    
x         x
2
 ≈ −
0,845
(
x
2
; 0)
0
(0; 
+∞
)
f 
(
x
)
             −
3,079
                              −
0
+
f 
′
(
x
)                     0
                             +
+
+
f 
′′
(
x
)
                    +                             +
+
+
Funksiya        minimum             mànfiy,
   ÎÕ
 o‘qini
   musbàt,
                                          o‘sàdi,
  kåsàdi
   o‘sàdi,
                                        qàvàriqligi
     qàvàriqligi
                                  pàstgà yo‘nàlgàn
         pàstgà yo‘nàlgàn
10)  tåkshirish  nàtijàlàri  bo‘yichà  funksiya  gràfigini  yasàymiz
(V.21-ràsm).
2 - m i s î l .  
3
2
(
1)
(
1)
( )
x
x
f x
−
+
=
  funksiya gràfigini yasàymiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

228
Y e c h i s h .  Funksiya ifîdàsini 
2
3
1
(
1)
( )
5 4
x
x
f x
x
+
+
= − +
 sîddà
ifîdàlàr yig‘indisi ko‘rinishigà kåltiràmiz và tåkshirishni bàjàràmiz:
1) funksiya 
õ
 
= −
1 dàn tàshqàri hàmmà jîydà àniqlàngàn, 
õ
 
= −
1
dà 
1
1
lim
( )
,   lim
( )
x
x
f x
f x
→−
→+
= −∞
= −∞
,  ya’ni  bu  nuqtàdà  gràfik
chåksiz uzilishgà egà và 
õ
 
= −
1 to‘g‘ri chiziq – vårtikàl àsimptîtà.
Òàrmîqlàrning  ikkàlàsi  hàm  quyi  tîmîngà  chåksiz  yo‘nàlgàn
(V.22-ràsm);
2) funksiya tîq hàm emàs, juft hàm emàs (tåkshirib ko‘ring);
3) funksiya gràfigi 
ÎX
 o‘qini 
B
(1; 0) nuqtàdà kåsib o‘tàdi;
4) 
x
 
=  −
1  và 
õ 
= 
1  nuqtàlàr 
ÎX
  o‘qini  (
−∞
; 
−
1),  (
−
1;  1),
(1; 
+∞
) intårvàllàrgà àjràtàdi. Funksiya (
−∞
; 
−
1) và (
−
1; 1) dà mànfiy,
(1; 
+∞
) dà musbàt;
5) îg‘mà àsimptîtàlàrini àniqlàymiz:
2
2
1
3
3
1
1
(
1)
(1
)
lim
lim
0
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
+
+
+
+
=
=
,
2
2
3
1
5 4
1
3
( )
(
1)
5
(
1)
lim
lim
lim 1
4
1
x
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
k
→+∞
→+∞
→∞
+
− +
+
+
+




=
=
=
− + ⋅
=




,
2
3
1
(
1)
lim ( ( )
)
lim
5 4
5
x
x
x
x
b
f x
kx
→+∞
→+∞
+
+


=
−
=
− + ⋅
= −




.
V.22-rasm.
Y
F
B
D
X
5
−
1
−
5
−
13
−
14
A
C
Nuqtà
x
y
y 
′
y 
′′
−
1
−∞
uzilish
A
−
5
−
13,5
+
0
−
maksimum
B
1
0
+
0
+ −
0
+
bukilish
Ñ
−
7
−
14,2
D
0
−
1
E
−
0,5
−
13,5
F
5
1,78
−∞
−∞
+∞
+∞
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

229
Dåmàk, îg‘mà àsimptîtà 
í 
=
 
õ 
−
 
5 to‘g‘ri chiziqdàn ibîràt;
6) 
2
3
4
(
1) (
5)
1
(
1)
(
1)
;  
24
x
x
x
x
x
y
y
−
+
−
+
+
′
′′
=
=
⋅
. Ikkàlà hîsilà hàm 
õ 
= −
1
nuqtàdàn bîshqà hàmmà jîydà àniqlàngàn. 
y
′
 
=
 
0 tånglàmà 
õ
1
 
= −
5
và 
   õ
2
 
=
 
1 ildizlàrgà egà. Ulàrdà 
y
1
 
=
 
f
(
−
5)
 
= −
13,5, 
y
2
 
=
 
f
(1)
 
=
 
0.
Birinchi    hîsilà  (
õ
1
; 
y
1
)  nuqtà  àtrîfidà  và  o‘zidà  «
+
»,  0,  «
−
»
tàrtibdà ishîrà àlmàshtiràdi, (
õ
2
; 
y
2
) àtrîfidà «
+
», 0, «
−
» gà, 
y
′′
esà «
−
», 0, «
+
» gà egà. Dåmàk, (
−
5; 
−
13,5) nuqtà funksiyaning
màksimum  nuqtàsi  (chizmàdà 
À
  nuqtà), 
B
(1;  0)  –  bukilish
nuqtàsi. 
B
 nuqtàdàn chàpdà gràfik qàvàriqligi bilàn yuqîrigà, o‘ngdà
esà quyi tîmîngà yo‘nàlgàn;
7) 
lim ( ( ) (
5)) 0,   lim ( ( ) (
5)) 0
x
x
f x
x
f x
x
→+∞
→−∞
−
−
>
−
−
<
. Dåmàk,
gràfikning o‘ng tàrmîg‘ining  
2
3
1
(
1)
4
0
x
x
+
+
⋅
>
 bo‘lgàn, ya’ni 
1
3
x
> −
dàgi  qismi  và  gràfikning  chàp  qismi  shu  àsimptîtàdàn  quyidà
jîylàshàdi. O‘ng tàrmîq 
(
)
1
1
3
3
;   5
−
−
 nuqtàdà 
y 
=
 õ 
−
 5 to‘g‘ri
chiziqni  (àsimptîtàni)  kåsib  o‘tàdi  và  quyi  tîmîngà  chåksiz
yo‘nàlàdi: 
x
→−
1 dà 
y
→−∞
 ;
8) îlingàn nàtijàlàrni jàdvàlgà to‘ldiràmiz và gràfik eskizini
chizàmiz: