|
Ì à s h q l à r
5.70.
Funksiyalàrning eng kàttà và eng kichik qiymàtlàrini tîping:
1)
3
x
x
+
,
õ
∈[
0; 9];
2)
x
5
−
6
x
4
+
9
x
3
+
1,
õ
∈[−
3; 3];
3)
x
3
+
x
2
−
x
+
2,
õ
∈[−
1; 1]; 4)
2
1
x
x
+
,
õ
∈[
0; 6].
5.71.
5.53-màshqdà kåltirilgàn trigînîmåtrik ifîdàli funksiya-
làrning eng kàttà và eng kichik qiymàtlàrini tîping.
5.72.
Funksiyalàrning eng kichik qiymàtlàrini tîping:
1)
16
2
,
2
x
y
x
x
−
= +
>
;
2)
180
1
5
,
1
x
y
x
x
−
=
+
>
;
3)
(
1)(
4)
,
0
x
x
x
y
x
+
+
=
>
;
4)
(2
5)(5
14)
,
0
x
x
x
y
x
+
+
=
>
.
y
x
O
R
V.11-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
217
5.73.
Êo‘ndàlàng kåsimi to‘g‘ri
to‘rtburchàk shàklidà kànàl qàzilmîqdà
(V.12-ràsm). Uning
õ
chuqurligi và
y
kångligi 2
õ
+
y
=
3 (m) shàrt bo‘yichà
àniqlànàdi, bundà kåsim pårimåtri
R
bårilgàn.
õ
và
y
ning qàndày qiymàtlàridà
kåsimning yuzi eng kàttà bo‘làdi?
5.74.
Òo‘g‘ri to‘rtburchàkli pàràllålåpiðådning bàlàndligi àsîsi-
ning diàgînàligà tång và àsîsining yuzi 4 m
2
. Àsîsining tîmînlàri
và bàlàndligi qàndày uzunlikdà tànlànsà, pàràllålåpiðådning hàjmi
eng kichik bo‘làdi?
5.75.
O‘tkàzgichning hàr kilîmåtr uzunligigà sàrf bo‘làdigàn
Q
quvvàt
4
9
2
x
Q
x
=
+ +
fîrmulà bo‘yichà hisîblànàdi,
õ
– hàr
kilîmåtrgà to‘g‘ri kålàdigàn qàrshilik.
õ
ning qàndày qiymàtidà
Q
eng kichik qiymàtgà egà bo‘làdi?
5.76.
Elåktr elåmånti båràdigàn enårgiya
2
2
(
)
E x
r x
W
+
=
fîrmulà
bo‘yichà hisîblànàdi, bundà
E
– dîimiy elåktr yurituvchi kuch,
r
– dîimiy ichki qàrshilik.
õ
ning qàndày qiymàtidà
W
enårgiya
eng kàttà qiymàtgà egà bo‘làdi?
5.77.
Òîmîni
à
gà tång kvàdràt shàklidàgi tunukàning burchàk-
làridàn shundày bir õil kvàdràtchàlàr kåsib îlinishi kåràkki,
nàtijàdà chåkkàlàri bukilsà, hàjmi eng kàttà bo‘lgàn quti hîsil bo‘lsin
(V.13-
a
ràsm). Êvàdràtchàlàrning tîmîni qàndày bo‘lishi kåràk?
5.78.
2
16
x
x
− +
−
funksiyaning eng kàttà qiymàtini tîping.
5.79.
Êo‘rsàtilgàn kåsmàdà
f
(
x
) funksiya qàbul qilàdigàn eng
kàttà qiymàtni tîping:
à)
−
7
x
4
+
100
x
3
,
2
7
0; 14
;
b)
−
x
4
+
4
x
3
, [0; 4].
a
C
K
L
A N M B
V.13-rasm.
a)
b)
x
y
V.12-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
218
5.80.
f
(
x
)
=
|
x
−
1|
+
|
x
−
2|
+
|
x
−
3|
+
|
x
−
4| funksiyaning eng
kichik qiymàtini tîping.
5.81.
ÀBC
uchburchàkdà (V.13-
b
ràsm)
ÀB
àsîsgà pàràllål
qilib shundày
KL
to‘g‘ri chiziq o‘tkàzingki, hîsil bo‘làdigàn
KLMN
to‘g‘ri to‘rtburchàkning yuzi eng kàttà bo‘lsin.
5.82.
Ràdiusi
à
gà tång bo‘lgàn yarim shàr àtrîfigà hàjmi eng
kichik bo‘làdigàn kînus chizing.
5.83.
Bàlàndligi
h
gà, àsîsining ràdiusi
r
gà tång bo‘lgàn kînus
ichigà hàjmi eng kàttà bo‘lgàn silindr chizing.
5.84.
Òrànspîrt õàràjàti
f
(
v
)
=
a
+
b
v
3
fîrmulà bo‘yichà hisîb-
lànàdi, bundà
à
và
b
– o‘zgàrmàs sînlàr,
v
– trànspîrt hàràkàt
tåzligi,
à
– àmîrtizàtsiya õàràjàtlàri,
b
v
3
– yonilg‘i hàqi. Qàndày
tåzlik bilàn hàràkàt qilinsà,
s
màsîfàni o‘tishdàgi õàràjàt eng kàm
bo‘làdi?
3. Làgrànj tåîråmàsi. Funksiyaning o‘sishi và kàmàyishi.
(L à g r à n j Jîzåf Lui, 1736–1813, frànsuz màtåmàtigi và
måõànigi). Biz îldingi bàndlàrdà funksiyaning nuqtàdàgi hîlàtini
tåkshirish bilàn shug‘ullàndik. Funksiyaning butun bir îràliqdàgi
hîlàtini o‘rgànishdà bir qàtîr tåîråmàlàrgà tàyanilàdi. Ulàrdàn
biri Làgrànj tåîråmàsi bo‘lib, u ko‘rsàtilgàn îràliqdà funksiya
îrttirmàsi bilàn hîsilàsi o‘rtàsidàgi bîg‘lànishgà bàg‘ishlànàdi.
f
(
x
) funksiya [
à
;
b
] kåsmàdà uzluksiz bo‘lsin.
l
to‘g‘ri chiziq
f
funksiyagà uringàn hîldà
À
nuqtà tîmîn to‘õtîvsiz burilib bîrsin
(dåmàk, funksiya uzluksiz hîsilàgà egà, V.14-ràsm). U hîldà
À
và
B
nuqtàlàr îràsidà shundày
C
nuqtà tîpilàdiki, undà urinmà
ÀB
vàtàrgà pàràllål bo‘lib qîlàdi. Bu hîldà urinmàning
f
′
(
c
)
=
tg
ϕ
burchàk kîeffitsiyånti vàtàrning
f b
f a
b a
( )
( )
−
−
burchàk kîeffitsiyåntigà
Y
l
l
C
A
B
D
O a c b X
ϕ
ϕ
f
(
x
)
V.14-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
219
tång bo‘làdi, bundà
a
<
c
<
b
. Bundày õîssàgà egà bo‘lgàn
C
nuqtàning màvjudligini Làgrànj tåîråmàsi tà’kidlàydi:
1 - t å î r å m à (Làgrànj tåîråmàsi).
f
(
x
)
funksiya
[
à
,
b
]
kåsmàdà
uzluksiz và uning ichki nuqtàlàridà diffårånsiàllànuvchi bo‘lsin.
U hîldà bu kåsmàdà shundày õ
=
c nuqtà tîpilàdiki, undà ushbu
tånglik o‘rinli bo‘làdi:
( )
( )
( )
f b
f a
b a
f c
−
−
′
=
. (1)
1 - õ u l î s à .
Àgàr
f
(
x
)
funksiya
[
a
;
b
]
kåsmàdà uzluksiz,
kåsmàning ichidà funksiya hîsilàsi nîlgà tång bo‘lsà,
f
(
x
)
funksiya
[
a
;
b
]
kåsmàdà o‘zgàrmàs funksiya bo‘làdi.
I s b î t . Shàrt bo‘yichà
f
′
(
c
)
=
0. U hîldà iõtiyoriy
õ
∈
(
a
;
b
)
uchun:
f
(
x
)
−
f
(
a
)
=
f
′
(
c
)(
x
−
a
)
⇒
f
(
x
)
−
f
(
a
)
=
0
⇔
f
(
x
)
=
f
(
a
)
=
const.
2 - õ u l î s à .
[
à
;
b
]
kåsmàdà uzluksiz bo‘lgàn
f
(
x
)
và
g
(
x
)
funk-
siyalàr kåsmàning ichidà bir õil hîsilàgà egà bo‘lsà
(
ya’ni
f
′
(
x
)
=
=
g
′
(
x
)),
bu funksiyalàr o‘zgàrmàs qo‘shiluvchi bilànginà fàrq qilàdi.
Isbît. Istàlgàn
õ
∈
(
a
;
b
) uchun
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
c
)(
x
−
a
) và
g
(
x
)
=
g
(
a
)
+
g
′
(
c
)(
x
−
a
)
bo‘lsin. Shàrtgà ko‘rà
f
′
(
c
)
=
g
′
(
c
). Shungà ko‘rà
f
′
(
c
)(
x
−
a
)
=
g
′
(
c
)(
x
−
a
)
⇒
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
f
(
a
)
−
g
(
a
)
=
A
=
const.
Dåmàk,
f
−
g
=
A
yoki
f
=
g
+
A
.
2 - t å î r å m à .
Àgàr
f
(
x
)
funksiya Õ îràliqdà uzluksiz, hîsilàsi
esà shu îràliqdà musbàt (yoki mànfiy) bo‘lsà, funksiya îràliqning
ichki nuqtàlàridà o‘sàdi (mîs ràvishdà kàmàyadi).
I s b î t .
õ
1
và
õ
2
nuqtàlàr
X
îràliqdàn îlingàn và
x
1
<
x
2
bo‘lsin.
Shàrtgà ko‘rà îràliq ichidà
f
′
>
0, jumlàdàn
c
∈
(
x
1
;
x
2
) nuqtàdà
f
′
(
c
)
>
0. Làgrànj tåîråmàsigà muvîfiq
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
=
f
′
(
c
)(
x
2
−
−
x
1
), bundà
f
′
(
c
)
⋅
(
x
2
−
x
1
)
>
0. Bungà qàràgàndà
f
(
x
2
)
>
f
(
x
1
),
ya’ni
Õ
îràliqdà
f
(
x
) funksiya o‘sàdi.
Õ
dà
f
′
(
x
)
<
0 bo‘lgàn hîl hàm shu kàbi qàràlàdi.
Òåîråmàning kuchàytirilgàn ko‘rinishi:
Àgàr f funksiya
Õ îràliqdà uzluksiz, hîsilàsi nîmànfiy (nîmusbàt) và fàqàt ichki
nuqtàlàrning chåkli to‘plàmidà nîlgà tång bo‘lsà, f funksiya shu
îràliqdà o‘sàdi (kàmàyadi).
www.ziyouz.com kutubxonasi
220
V.5-ràsmdà tàsvirlànishichà
[
õ
0
;
x
3
] kåsmàning ichki
õ
2
nuqtàsi-
dàginà
f
′
nîlgà tång (undà funksiya gràfigi bukilàdi), qîlgàn nuqtà-
làrdà funksiyaning hîsilàsi musbàt và funksiya o‘sàdi.
3 - t å î r å m à .
Àgàr f funksiya õ
0
nuqtàdà uzluksiz, hîsilàsi shu
nuqtàning chàp yaqinidà musbàt (mîs ràvishdà mànfiy), o‘ng
yaqinidà mànfiy (musbàt) bo‘lsà, f funksiya õ
0
nuqtàdà màksimumgà
(minimumgà) erishàdi.
I s b î t .
õ
0
dàn chàpdà
f
′ >
0 bo‘lsà, undà funksiya o‘sàdi,
õ
0
dàn o‘ngdà
f
′ <
0 bo‘lsà, bu tîmîndà funksiya kàmàyadi. U hîldà
funksiya
õ
0
nuqtàning o‘zidà nuqtàning chàp và o‘ng yaqinidàgigà
nisbàtàn kàttàrîq qiymàtni qàbul qilàdi. Dåmàk,
õ
0
nuqtà –
funksiya màksimum nuqtàsining àbssissàsi.
Òåîråmàning funksiya minimumigà îid qismi hàm shu kàbi
isbîtlànàdi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
