O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

5. Ìuràkkàb funksiya hîsilàsi.
 Îldingi bàndlàrdà funksiyalàrni
diffårånsiàllàsh jàràyonidà biz hîsilàning tà’rifidàn fîydàlàndik.
Àgàr muràkkàb funksiyalàrni diffårånsiàllàsh zàrur bo‘lsà, màõsus
qîidàlàrdàn fîydàlànish qulàyrîq.
Ò å î r å m à .  
f
(
x
) 
funksiya  õ  nuqtàdà,
 
g
(
t
) 
funksiya
 
t 
=
 
f
(
x
)
nuqtàdà diffårånsiàllànsin. U hîldà
 
g
(
f
(
x
)) 
muràkkàb funksiya
hàm õ nuqtàdà diffårånsiàllànàdi và ushbu tånglik o‘rinli bo‘làdi:
(
g
(
f
(
x
)))
′=
g 
′
(
f
(
x
))
 ⋅ 
f 
′
(
x
).                                (1)
I s b î t .  
t
 
=
 
f
(
x
), 
t 
+
 
v
 
=
 
f
(
x
 
+
 
h
) bo‘lsin. 
g
(
t
) funksiya îrttirmàsi:
∆
(
g
(
f
(
x
)))
 
=
 
g
(
f
(
x 
+
 
h
))
 
−
 
g
(
f
(
x
))
 
=
 
g
(
t 
+
 
v
)
 
−
 
g
(
t
).  Shàrt
bo‘yichà 
g
 funksiya 
t
 
=
 
f
(
x
) nuqtàdà diffårånsiàllànàdi. Shungà
ko‘rà:
∆
(
g
(
f
(
x
)))
 
=
 
(
g
′
(
t
)
 
+
 
α
)
v 
= 
(
g
′
(
t
)
 
+
 
α
)(
f
(
x
 
+
 
h
)
 
−
 
f
(
x
)),    (2)
bundà 
α
 miqdîr 
v
→
0 dà chåksiz kichràyadi. Biz 
v 
= 
0 dà 
α
 
= 
0
dåb qàbul qilàmiz. (2) tånglikning ikkàlà qismini 
h
 gà bo‘lib, 
h
→
0
bo‘yichà limitgà o‘tàmiz. U hîldà 
v
→
0 bo‘lgànidàn 
α→
0 bo‘làdi.
Nàtijàdà:
0
0
0
( ( ))
lim
lim ( ( )
) lim
( )
( )
h
h
h
g f x
f
h
h
g t
g t
f x
→
→
→
∆
∆
′
′
′
=
+ α ⋅
=
⋅
=
( ( ))
( )
g f x
f x
′
′
=
⋅
.
Isbît bo‘ldi.
1 - m i s î l .   Àgàr 
g
(
t
)
  =
 
t
n
, 
t
  =
 
f
(
x
)  bo‘lsà, 
g 
′
(
t
)
  =
 
(
t 
n
)
′  =
=
 
nt 
n
−
1
 
⋅ 
t 
′ =
 
n
(
f
(
x
))
n
−
1
 
⋅ 
f
′
(
x
) bo‘làdi.
2 - m i s î l .  cos(
x
3
 −
 
x
2
 −
 
2) funksiyaning hîsilàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
t 
=
 
x
3
 −
 
x
2
 −
 
2, 
g
(
t
)
 =
 
cos
t
 bo‘lsin. U hîldà: 
g 
′
(
t
)
 =
= −
 sin
t
, 
 f 
′
(
x
)
 =
 
3
x
2
 −
 
2
x
. U hîldà: (cos(
x
3
 −
 
x 
2
 −
 
2))
′ = −
sin(
x
3
 −
−
 
x
2
 −
 
2)
 
⋅ 
(3
x
2
 −
 
2
x
).
Ì à s h q l à r
5.51.
 Hîsilàlàri và diffårånsiàllàrini tîping:
1) 
4
cos
x
;
2) 
1
cos
x
;               3) 
tg
ctg
x
x
+
;
4) 
3
3
sin
cos
x
x
−
;
5) 
3
1
cos
x
;             6) 
3
2
(
4) cos
x
x
−
;
7) 
2
3
3
cos
(
5) sin
x
x
x
x
+
+
;                      8) 
1 cos
1 cos
x
x
+
−
;
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

200
9) 
1
1
+
−
sin
sin
x
x
;
10) 
3
5
6 sin
4 tg
x
x
+
.
5.52.
 Hîsilàning tà’rifidàn fîydàlànib isbît qiling:
1) 
2
2
cos 2
(tg2 )
x
x
′ =
;
2) 
2
1
sin
(ctg )
x
x
′ = −
;
3) (cos2
x
)
′ = −
2sin2
x
;
4)(sin3
x
)
′ = 
3cos3
x
.
5.53.
 Ifîdàlàrning tàqribiy qiymàtlàrini tîping:
1) 
(
)
6
sin
0, 02
π
+
;   2) 
(
)
3
cos
0,001
π
+
;   3) 
(
)
3
tg
0, 001
π
+
;
4) 
(
)
3
4
tg
0,02
π
−
;   5) 
(
)
2
3
ctg
0,003
π
−
;  6) 
sin74
o
;
7) 
cos31 30
′
o
;    8) 
ctg59 30
′
o
.
5.54.
 
x
0
 nuqtàdà 
f
funksiya gràfigigà urinuvchi to‘g‘ri chiziq
tånglàmàsini tuzing:
1) 
3
0
2
3
( ) sin
,  
f x
x x
π
=
=
;
    2) 
0
2
3
( )
cos ,  
f x
x
x x
π
=
=
;
3) 
3
0
3
( ) tg
,  
f x
x x
π
=
=
;
     4) 
3
0
5
4
( )
ctg ,  
f x
x x
π
=
=
.
5.55.
 Funksiyaning hîsilàsini tîping:
1) 
(
)
16
5
1
x
−
;
          2) 
(
)
3
sin 5
x
π
+
;
3) 
(
)
3
2
6
sin
7
x
π
−
;           4) 
2
2
1
sin 3
3
x
x
−
;
5) 
2
4 sin
1
x
−
;
          6) 
cos
x
;
7) 
sin 2
x
;
          8) 
3
3
cos 7
sin 7
x
x
+
;
9) 
3
tg
ctg
x
x
−
;
         10) 
1
sin
x
y
=
;
11) 
sin(sin )
y
x
=
;           12) 
2
tg
x
y
=
;
13) 
2
sin 1
y
x
=
+
;          14) 
(
)
1
1
tg
x
y
x
=
+
+
;
15) 
2
1
1
cos
x
x
y
−
+
=
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

201
5.56.
 
x
0
 nuqtàdà 
f
funksiya gràfigigà urinuvchi to‘g‘ri chiziqning
tånglàmàsini tuzing:
1) 
3
0
6
( ) cos ,  
f x
x x
π
=
=
;        2)
2
0
3
( ) sin(
3
1), 
f x
x
x
x
π
=
−
+
=
;
3) 
3
3
0
( ) tg(
),  
f x
x
x
=
= π
;   4)
(
)
4
0
4
6
( ) ctg
,  
f x
x
x
π
π
=
−
=
.
5.57.
 
f
(
a
 
+
 
h
) 
≈
 
f
(
a
)
 
+
 
f
  ′
(
a
)
 
⋅ 
h
  fîrmulàdàn  fîydàlànib,
funksiyalàrning qiymàtini 0,001 gàchà àniqlikdà tîping:
1) 
(
)
3
sin
0, 003
π
−
;  2) 
(
)
6
cos
0,002
π
+
;    3) 
(
)
4
tg
0, 003
π
+
;
4) sin61
°
;    5) cos30
°
30
′
;   6) tg59
°
30
′
.
5.58.
 Quyidàgi funksiyalàrni tåkshiring và gràfigini yasàng:
1) 
1
1
3
5
( ) sin
sin 3
sin 5
f x
x
x
x
=
+
+
;
2) 
1
1
3
5
( ) cos
cos 3
cos 5
f x
x
x
x
=
+
+
.
5.59.
  Òåkislikdà  îlingàn 
O
  và 
À
  nuqtàlàr  îràsidàgi  màsîfà
s
 gà tång. 
À
 nuqtàdàgi 
E
 yoritilgànlik eng kàttà bo‘lishi uchun
B
làmpîchkà shu tåkislikdàn qàndày bàlàndlikdà ilinishi kåràk?
(
ÎB 
– ?) 
À
nuqtàdàgi yoritilgànlik 
2
sin
r
E
I
ϕ
= ⋅
 fîrmulà bo‘yichà
hisîblànàdi,  bundà 
r
 
=
 
AB
, 
ϕ
 
=
 
∠
BAO
;  àrgumånt  sifàtidà 
ϕ
burchàkni îling;
 I
 – yorug‘lik kuchi (V.3-ràsm).
6. Òåskàri trigînîmåtrik funksiyalàrni diffårånsiàllàsh.
Àgàr 
y 
=
 
ϕ
(
õ
)  và 
y 
=
 
ψ
(
õ
)  funksiyalàr  o‘zàrî  tåskàri  bo‘lsà,
ulàrning gràfiklàri 
u 
=
 
õ
 bissåktrisàgà nisbàtàn simmåtrik jîylà-
A
B
O
ϕ
Y
X
O
l
2
l
1
y
 = ψ
(
x
)
y
 = ϕ
(
x
)
y
 = 
(
x
)
B
(
y
0
;
 x
0
)
A
(
x
0
;
 y
0
)
                   V.3-rasm.                                               V.4-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

202
shishini bilàmiz. Shungà ko‘rà, birîr 
À
(
õ
0
; 
y
0
) nuqtàdà 
ϕ
 gràfikkà
urinuvchi 
l
1
 to‘g‘ri chiziqqà 
y 
=
 
x
 to‘g‘ri chiziqqà nisbàtàn simmåtrik
B
(
y
0
; 
õ
0
) nuqtàdà 
ψ
 gràfikkà urinuvchi 
l
2
 
to‘g‘ri chiziq màvjud
(V.4-ràsm).
Dåmàk, 
õ
0
  nuqtàdà 
ϕ
  funksiyaning  diffårånsiàllànishidàn 
y
0
nuqtàdà 
ψ
  funksiyaning  diffårånsiàllànishi  kålib  chiqàdi  (qàt’iy
isbîti  îliy  màtåmàtikàdà  bårilàdi).  Õususàn,  trigînîmåtrik
funksiyalàrning  diffårånsiàllànishidàn  tåskàri  trigînîmåtrik
funksiyalàrning diffårånsiàllànishi kålib chiqàdi. Bundàn fîydà-
lànàmiz:
1) Àgàr 
y 
=
 
arcsin
x
 bo‘lsà, sin
y 
= 
x
 bo‘lishini bilàmiz, bundà
2
2
y
π
π
− < <
. U hîldà (sin
y
)
′
 
=
 
x 
′
 
=
 
1 yoki muràkkàb funksiya hîsilàsi
fîrmulàsi bo‘yichà cos
y 
⋅ 
y 
′
 
=
 
1 yoki 
1
cos
y
y
′ =
 gà egà bo‘làmiz.
Låkin 
2
2
y
π
π
− < <
  dà  cos
y 
>
 
0, 
2
2
cos
1 sin
1
y
y
x
=
−
=
−
,
nàtijàdà:
( (
2
1
1
(arcsin )
,
1
x
x
x
−
′ =
<
,                          (1)
2
1
(arcsin )
,
1
dx
x
d
x
x
−
=
<
.                                  (2)
2) Shu kàbi quyidàgilàrni hîsil qilàmiz (undà |
x
|
 <
 1):
2
1
1
(arccos )
,
x
x
−
′ = −
                                          (3)
2
1
(arccos )
dx
x
d
x
−
= −
.                                          (4)
3) 
y 
= 
arctg
x
 bo‘yichà tg
y 
= 
x
, låkin 
2
1
cos
(tg )
1
y
y
y
′
′
=
⋅
=
 edi.
Bu tånglikkà 
2
2
2
1
1
1 tg
1
cos
y
x
y
+
+
=
=
 qo‘yilsà, nàtijàdà:
2
1
1
(arctg )
,
x
x
+
′ =
                                                (5)
2
1
(arctg )
dx
x
d
x
+
=
.                                                 (6)
4)  Shu  kàbi:
2
1
1
(arcctg )
,
x
x
+
′ = −
                                             (7)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

203
2
1
(arcctg )
dx
x
d
x
+
= −
.                                              (8)
1 - m i s î l .  Quyidàgi funksiyalàrning hîsilàlàrini tîpàmiz:
à) 2
x 
⋅  
arctg
2
4
x
;
b) 
x 
3
 
⋅ 
arcsin3
x
;
d) 
2
arcsin 2
x
.
Y e c h i s h .
à) (2
õ 
⋅ 
arctg
2
4
x
)
′ = 
2
x 
′
 
⋅
 
arctg
2
4
x 
+ 
2
x 
⋅
 
(arctg
2
4
x
)
′
 
=
=
 2(arctg
2
4
x
 
+
 
x
 
⋅ 
2arctg4
x
 ⋅ 
2
1
1 16
x
+
⋅ 
(4
x
)
′
)
 = 
2arctg4
x 
⋅ 
(arctg4
x 
+
+ 
2
8
1 16
x
x
+
);
b) 
3
3
3
2
3
2
2
2
1
1 9
1 9
(
arcsin3 ) (
) arcsin3
(arcsin3 )
3
arcsin3
(3 ) 3
arcsin3
;
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
x
−
−
′
′
′
⋅
=
+
=


′
=
⋅
+
⋅
⋅
=
+






d) 
(
)
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
4
2
1 (2 )
2
1 4
arcsin
arcsin
arcsin
arcsin
2((arcsin 2 ) )
2
(arcsin 2 )
(2 )
.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
⋅ −
′
′
′
=
= − ⋅
⋅
=
′
= −
⋅
⋅
= −
2 - m i s î l .  
0
1
3
x
=
 nuqtàdà 
y 
= 
arcctg3
x
 funksiya gràfigigà uri-
nuvchi to‘g‘ri chiziq tånglàmàsini tuzàmiz.
Y e c h i s h .  Òånglàmàni 
y 
= 
y
0
 
+ 
k
(
x 
− 
x
0
) ko‘rinishdà izlàymiz.
Ìàsàlà  shàrtigà  ko‘rà 
( )
0
0
1
1
3
3
4
,  
arcctg 3
arcctg1
x
y
π
=
=
⋅
=
=
,
(arcctg3 )
k
y
x
′
′
=
=
 
2
3
1 9
x
+
= −
, 
( )
0
2
3
3
2
1
1 9
3
(
)
y x
+ ⋅
′
= −
= −
. Urinmà:
( )
3
1
4
2
3
y
x
π
= −
−
.
3 - m i s î l .  à) arcsin 0,48;   b) arctg 0,96 ifîdàlàr qiymàtlàrini
0,001 gàchà àniqlikdà tîpàmiz.
Y e c h i s h .  à) 
f
(
x 
+ 
h
) 
≈
  f
(
x
)
 
+ 
f
′
(
x
)
h
 tàqribiy fîrmulàdàn
fîydàlànàmiz. Bizdà
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

204
2
1
1 0,5
0,04
6
3
arcsin 0, 48 arcsin(0,5 0,02) arcsin 0,5
( 0, 02)
0,5236 0,0231 0,5005 0,501;
−
π
=
−
≈
+
⋅ −
=
= −
=
−
=
≈
b) 
2
1
1 1
arctg0,96
arctg(1
0,04)
arctg1
( 0,04)
+
=
−
≈
+
⋅ −
=
4
0,02
π
= −
 
0,765.
≈
 
 |
 x 
|
 < 
1 bo‘lgàndà arctg
x
 và arcct
x
 ni àniqrîq
hisîblàsh màqsàdidà quyidàgi tàqribiy tångliklàrdàn fîydàlànish
mumkin:
3
5
2
1
3
5
2
1
arctg
... ( 1)
...,  
n
n
x
x
x
n
x
x
n N
+
+
= −
+
+ + −
⋅
±
∈
.           (9)
2
arcctg
arctg
x
x
π
= −
.                                         (9
′
)
4 - m i s î l .  arctg 0,3 qiymàtini 1
 
⋅ 
10
−
4
 gàchà àniqlikdà tîpàmiz.
Y e c h i s h .   Shundày  nàturàl 
n
  sînni  tîpish  kåràkki,  undà
2
1
0,3
2
1
0,0001
n
n
+
+
<
 bo‘lsin. 
n
 = 
2 dà 
5
0,3
5
0,00048 0, 0001
=
>
, låkin
n 
= 
3 dà 
7
0,3
7
0,00003 0,0001
=
<
.  Shuning  uchun 
n 
= 
3  dåb
îlinishi kifîya. U hîldà:
3
5
7
0,3
0,3
0,3
3
5
7
arctg0,3 0,3
0,2958
≈
−
+
−
≈
.