|
Ì à s h q l à r
5.21.
Àbssissàsi
õ
0
=
1 bo‘lgàn nuqtàdà
y
=
2
õ
2
egri chiziqqà
urinuvchi to‘g‘ri chiziqning tånglàmàsini tuzing.
5.22.
Îrdinàtàsi
y
0
= −
2 bo‘lgàn nuqtàdà
y
=
õ
2
−
4
õ
+
1 egri
chiziqqà urinuvchi to‘g‘ri chiziqning tånglàmàsini tuzing.
5.23.
y
= −
2
õ
+
6 to‘g‘ri chiziqqà pàràllål bo‘lgàn và
y
=
õ
2
−
6
õ
+
+
5 pàràbîlàgà urinuvchi to‘g‘ri chiziqning tånglàmàsini tuzing.
5.24.
B
(2;
−
5) nuqtàdàn o‘tib,
y
=
õ
2
−
6
õ
+
5 pàràbîlàgà
urinuvchi to‘g‘ri chiziqlàr tånglàmàlàrini tuzing.
5. Diffårånsiàllànuvchi funksiyaning uzluksizligi.
Îldingi
bîblàrdàn funksiyaning uzluksizligi hàqidà bir qàdàr mà’lumîtgà
egàmiz.
f
(
x
) funksiyaning
õ
=
à
nuqtàdà uzluksiz bo‘lishi uchun:
1)
f
(
a
)
=
b
, undà
b
– àniq qiymàt; 2)
lim ( )
x
a
f x
b
→
=
bo‘lishi
kåràk. Bu shàrtlàrdàn àqàlli biri bàjàrilmày qîlsà, funksiya
õ
=
à
Y
O x
0
x
1
X
M
(
a
)
N
∆
x
=
h
(
b
)
f
(
x
)
ϕ
V.2-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
187
nuqtàdà uzilàdi. Ìàsàlàn,
1
1
( )
x
f x
−
=
funksiya
õ
=
2 nuqtàdà
uzluksiz. Chunki
f
(2)
=
1,
2
lim ( ) 1
x
f x
→
=
. Låkin u
õ
=
1 dà uzilàdi:
1-shàrt bàjàrilmàydi (funksiya àniq qiymàtgà egà emàs). Uning
gràfigigà, màsàlàn, (1; 3) nuqtà kiritilishi bilàn tuzilàdigàn ushbu
1
1
, agar
1 bo‘lsa,
( )
3, agar
1 bo‘lsa
x
x
g x
x
−
≠
=
=
funksiya hàm uzilishgà egà: endi 1-shàrt bàjàrilàdi, 2-shàrt esà
bàjàrilmàydi:
1
1
1
lim
x
x
→
−
= ∞
(chåksiz limit). Ìàsàlàni îydinlàshtirish
màqsàdidà ushbu tåîråmàdàn fîydàlànàmiz:
Ò å î r å m à .
Àgàr
f
(
x
)
funksiya
õ
=
à
nuqtàdà diffårånsiàllàn-
sà
,
u shu nuqtàdà uzluksizdir.
I s b î t .
à
nuqtàdà
f
funksiya diffårånsiàllànsin:
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
=
=
(
k
+
α
)
h
. Låkin
h
→
0 dà
α→
0 và
0
lim (
)
(
0) 0 0
h
k
h
k
→
+ α
=
+
⋅ =
.
Bundàn
0
lim ( (
)
( )) 0
h
f a h
f a
→
+
−
=
yoki
0
lim ( (
))
( )
h
f a h
f a
→
+
=
.
Bu esà
f
funksiyaning
õ
=
à
nuqtàdà uzluksizligini bildiràdi.
Òåskàri fikr nîto‘g‘ri, funksiya birîr nuqtàdà uzluksiz bo‘lsà-
dà undà diffårånsiàllànmàsligi hàm mumkin. Ìàsàlàn, |
x
| funksiya
bàrchà nuqtàlàrdà uzluksiz, låkin
õ
=
0 dà diffårånsiàllànmàydi.
Hàqiqàtàn, funksiya ifîdàsini
, agar
0 bo‘lsa,
, agar
0 bo‘lsa
x
x
x
x
x
≥
=
−
<
ko‘ri-
nishdà yozàylik. Funksiyaning
õ
=
0 nuqtàdàgi o‘ng tîmînli và
chàp tîmînli limitlàri tång:
0
0
0
0
lim
lim
0, lim
lim (
) 0
x
x
x
x
x
x
x
x
→+
→+
→−
→−
=
=
=
−
=
.
Dåmàk, |
x
| funksiya
õ
=
0 nuqtàdà uzluksiz. Låkin u shu
nuqtàdà diffårånsiàllànàdimi? Iõtiyoriy
õ
=
h
dà
y
=
|
x
|
=
|
h
|,
x
=
0 dà
y
=
|
x
|
=
0,
0
0
0
lim
lim
1, lim
1
h
h
h
h
h
h
h
h
h
→+
→+
→−
=
=
= −
, ya’ni hîsilà
qiymàtini bårishi kåràk bo‘lgàn o‘ng và chàp tîmînli limitlàr
www.ziyouz.com kutubxonasi
188
tång emàs. Dåmàk,
õ
=
0 nuqtàdà |
x
| funksiyaning hîsilàsi màvjud
emàs, funksiya bu nuqtàdà diffårånsiàllànmàydi, gràfigi o‘z
yo‘nàlishini o‘zgàrtiràdi.
Ì à s h q l à r
5.25.
Quyidàgi funksiyalàrning
õ
=
à
nuqtàdà uzluksizligi, låkin
undà diffårånsiàllànmàsligini isbît qiling:
1)
f
(
x
)
=
|
õ
−
3 |,
a
=
3; 2)
f
(
x
)
=
x
+
|
x
−
2 |,
a
=
2;
3)
3
2
( )
,
0
f x
x
a
=
=
.
5.26.
Quyidàgi funksiyalàr
õ
=
0 nuqtàdà diffårånsiàllànàdimi?
1)
3
( )
x
x
f x
=
;
2)
f x
x
( )
= −
2
;
3)
4
( )
x
f x
=
;
4)
2
4
( )
x
f x
=
;
5)
2
, agar
0 bo‘lsa,
( )
, agar
0 bo‘lsa.
x
x
f x
x
x
≤
=
>
5.27.
Funksiyalàrning qàysi biri sînlàr o‘qidà uzluksiz?
1)
2
( )
4
f x
x
=
−
;
2)
( )
x
x
f x
= −
;
3)
2
2, agar
0 bo‘lsa,
( )
2, agar
0 bo‘lsa;
x
x
f x
x
x
−
≤
=
−
>
4)
2
2, agar
0 bo‘lsa,
( )
, agar
0 bo‘lsa.
x
x
f x
x
x
−
≤
=
>
5.28.
2
, agar
1 bo‘lsa,
( )
, agar
1 bo‘lsa
x
x
f x
ax b
x
≤
=
+
>
funksiya
à
và
b
ning
qàndày qiymàtlàridà
õ
=
1 nuqtàdà diffårånsiàllànàdi?
2-§. Funksiyani diffårånsiàllàsh qîidàlàri
1. Chiziqli kîmbinàtsiyalàrni diffårånsiàllàsh.
f
funksiyaning
birîr
õ
nuqtàdà diffårånsiàllànishi uchun
( )
f x
′
=
0
(
)
( )
lim
h
f x h f x
h
→
+ −
limitning àlbàttà màvjud bo‘lishi zàrur ekànligini bilàmiz.
f
′
(
x
)
www.ziyouz.com kutubxonasi
189
hîsilàni tîpish
f
(
x
) funksiyani
diffårånsiàllàsh
dåyilàdi. Funksiya
diffårånsiàli
df
(
x
)
=
f
′
(
x
)
dx
ko‘pàytmàgà tångligini bilàmiz.
Diffårånsiàllàsh màsàlàsi
f
′
(
x
) hîsilàni tîpishgà kålàdi. Quyidà
biz diffårånsiàllàsh qîidàlàri bilàn tànishàr ekànmiz, undà
qàràlàyotgàn funksiya hîsilàgà egà dåb qàbul qilinàdi.
1 - t å î r å m à .
C dîimiy ko‘pàytuvchini hîsilà bålgisi îstidàn
chiqàrish mumkin:
(
Cf
(
x
))
′ =
Cf
′
(
x
). (1)
I s b î t .
∆
(
Cf
(
x
))
=
Cf
(
x
+
h
)
−
Cf
(
x
)
=
C
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
))
=
=
C
⋅
∆
f
. Bundàn:
0
0
lim
lim
h
h
C f
f
h
h
C
Cf
→
→
⋅∆
∆
′
=
=
.
2 - t å î r å m à .
f
và
g funksiyalàr diffårånsiàllànàdigàn
nuqtàlàrdà
f
+
g
funksiya hàm diffårånsiàllànàdi và
(
f
(
x
)
+
g
(
x
))
′
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
) (2)
bo‘làdi.
I s b î t .
f
(
x
)
+
g
(
x
) funksiyaning [
x
;
x
+
h
] kåsmàdà qàbul
qilàdigàn îrttirmàsi:
∆
(
f
(
x
)
+
g
(
x
))
=
(
f
(
x
+
h
)
+
g
(
x
+
h
))
−
(
f
(
x
)
+
g
(
x
))
=
=
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
))
+
(
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
))
= ∆
f
(
x
)
+ ∆
g
(
x
),
bundàn
( ( )
( ))
( )
( )
f x
g x
f x
g x
h
h
h
∆
+
∆
∆
=
+
. Òånglikning ikkàlà tîmî-
nidà
h
→
0 dà limitgà o‘tsàk,
0
0
0
( ( )
( ))
( )
( )
lim
lim
lim
h
h
h
f x
g x
f x
g x
h
h
h
→
→
→
∆
+
∆
∆
=
+
;
chàp tîmîndàgi limit (
f
(
x
)
+
g
(
x
))
′
gà, o‘ng tîmîndàgi limit
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
) gà tång. Dåmàk, (
f
(
x
)
+
g
(
x
))
′ =
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
).
1 - m i s î l .
3
2
4
9
( )
5
7
f x
x
x
x
= − −
+
+
funksiyaning hîsilàsini
tîpàmiz.
Y e c h i s h .
( )
3
2
4
9
( ) (
)
( 5
)
7
f x
x
x
x
′
′
′
′
′
= −
+ −
+
+
; (
−
x
3
)
′
=
= −
3
x
2
, (
−
5
x
2
)
′ = −
5
⋅
2
x
= −
10
x
,
( )
4
4
9
9
x
′ =
, 7
′ =
0. Bundàn,
2
4
9
( )
3
10
f x
x
x
′
= −
−
+
.
www.ziyouz.com kutubxonasi
190
2 - m i s î l . Àbssissàsi
õ
0
=
1 bo‘lgàn nuqtàdà
f
(
x
)
=
2
x
2
−
3
x
funksiya gràfigigà urinuvchi to‘g‘ri chiziq tånglàmàsini tuzàmiz.
Y e c h i s h . Bizdà
f
(1)
=
2
⋅
1
2
−
3
⋅
1
= −
1,
f
′
(
x
)
=
(2
x
2
−
3
x
)
′ =
=
2
⋅
2
x
−
3
=
4
x
−
3, bundàn
f
′
(1)
=
4
⋅
1
−
3
=
1. Bu qiymàtlàr
urinmàning
y
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)(
x
−
x
0
) tånglàmàsigà qo‘yilsà,
y
= −
1
+
+
1
⋅
(
õ
−
1)
=
õ
−
2 yoki
y
=
õ
−
2 hîsil qilinàdi.
3 - m i s î l . Jismning erkin tushishdà o‘tàdigàn màsîfàsi
2
2
gt
s
=
fîrmulà bo‘yichà tîpilàdi. Òushishning
t
0
=
1 s; 2 s dàgi îniy tåzligini
tîpàmiz (
g
≈
10 m/s
2
).
Y e c h i s h . Îniy tåzlik
v
(
t
0
)
=
s
′
(
t
0
) gà tång, bundà
2
2
2
2
2
( )
( )
2
gt
g
g
s t
t
t
gt
′
′
′
=
=
= ⋅
=
.
U hîldà
v
(1)
=
g
⋅
1
≈
10 m/s,
v
(2)
≈
10
⋅
2
=
20 m/s.
Do'stlaringiz bilan baham: |
