O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
5.85.
 Quyidàgi funksiyalàr và kåsmàlàr uchun Làgrànj tåîrå-
màsidà ko‘rsàtilgàn 
õ
 = 
c
 ning qiymàtini tîping:
1) 
x
3
 + 
2
x 
− 
1, 
[
1; 2];
  2) 
x
4
 + 
4
x
 − 
1, 
[−
1; 1];
3) (
x
 − 
2)(
x
2
 + 
9), 
[−
2; 2];
  4) (
x
2
 + 
4)(
x
2
 + 
9), 
[−
4; 4].
5.86.
 
f 
(
x
)
 = 
x
2
 − 
px
 − 
q
 funksiya và istàlgàn 
[
à
; 
b
] kåsmà uchun
2
a b
c
+
=
 (5.85-màshqqà qàràng) tånglikning bàjàrilishini isbît qi-
ling.
Y
Y
4
−
6  
          −
3 
O
    1       4       6    
X
−
2
y
 = 
f
 
′
(
x
)
−
5  
    −
3 
      O
    3      5      7    
X
3
2
−
2
y
 = 
g
 
′
(
x
)
V.15-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

221
5.87.
 Funksiyalàrni o‘sish-kàmàyishgà tåkshiring và gràfiklàrini
sõåmàtik tàsvirlàng:
1) 
y
 
= 
x
5
 
− 
3
x
3
 
− 
5;
2) 
y 
= 
2
e
x
;
3) 
y 
= 
5(
x
5
 
− 
15
x
2
 
+ 
36
x
 
− 
1.
5.88.
 1) 5.69-màshqdà kåltirilgàn funksiyalàrni o‘sish và kàmà-
yishgà tåkshiring;
2) V.15-ràsmdà 
f 
′
(
x
) và 
g 
′
(
x
) hîsilà funksiyalàrning gràfiklàri
tàsvirlàngàn. 
f
 và 
g
 funksiyalàrning gràfiklàrini sõåmàtik tàsvirlàng:
3) 
y
 
= 
x
2
 + 
7 funksiyaning o‘zgàrishini tåkshiring.
4.  Funksiya  gràfigining  qàvàriqligi.
  Biz  quyi  sinflàrdànîq
y
 
= 
Àõ
2
 
+ 
Bõ
 
+ 
C
  kvàdràt  funksiya  gràfigi  (pàràbîlà) 
À
 
> 
0  dà
qàvàriqligi  bilàn  pàstgà, 
À
 
< 
0  dà  qàvàriqligi  bilàn  yuqîrigà
yo‘nàlgànligini bilàmiz. 
À
sînning ishîràsi shu funksiyadàn îlingàn
y
′′
 hîsilàning ishîràsi bilàn bir õil: 
y
′′
 
= 
(
Àõ
2
 
+ 
Bõ 
+ 
C
)
′′
 
= 
(2
Ax 
+
+
B
)
′
 
= 
2
A
. Bu tà’kid hàr qàndày funksiya uchun o‘rinlidir (bundà
bîtiqlik qàvàriqlikkà nisbàtàn qàràmà-qàrshi yo‘nàlish dåb qàràlishi
kåràk).
1 - t å î r å m à .  
Àgàr  f 
(
x
) 
funksiya
 
[
a
; 
b
] 
kåsmàdà
 
uzluksiz,
kåsmàning ichidà
 
f
′′
(
x
)
 
> 
0 
(mîs ràvishdà
 
f
′′
 
< 
0) 
bo‘lsà, f funksiya
gràfigi shu kåsmàdà qàvàriqligi bilàn pàstgà (mîs ràvishdà yuqîrigà)
tîmîn yo‘nàlgàn  bo‘làdi.
I s b î t .   (
a
; 
b
)  dà 
f 
′′
(
x
)
 
> 
0  bo‘lgàn  hîlni  qàràylik  (V.16-
à
ràsm). Iõtiyoriy 
c
∈
(
à
; 
b
) nuqtàni tànlàb, 
Ì
(
c
; 
f
(
c
)) nuqtàdàn 
f
gràfigigà  urinmà  o‘tkàzàmiz.  Urinmà  to‘liq  gràfikning  îstigà
jîylànishini,  ya’ni
y
eg.chiz.
 
− 
y
urin.
 
= 
f
(
x
)
 
− 
[
f
(
c
)
 
+ 
f
′
(
c
)(
x
 
− 
c
)]
 
> 
0
bo‘lishini isbît qilishimiz kåràk. 
x 
< 
c
 nuqtàni îlàylik (
x 
< 
c
 hîli
hàm  shu  tàriqà  qàràlàdi). 
[
c
;
  x
]  kåsmàgà  nisbàtàn  Làgrànj
tåîråmàsini qo‘llàymiz: 
f
(
x
)
 
− 
f
(
c
)
 
= 
f
′
(
c
1
)(
x
 
− 
c
), bundà 
c
 
< 
c
1
 
< 
x
.
U hîldà
y
eg.chiz.
 
− 
y
urin.
 
= 
[
f
(
c
) 
+ 
f
′
(
c
1
)(
x
 
− 
c
)]
 
− 
[
f
(
c
)
 
+ 
f
′
(
c
)(
x 
− 
c
)
]
 
=
= 
(
f
′
(
c
1
)
 
− 
f
′
(
c
))(
x
 
− 
c
).                               (1)
Shu kàbi 
f
′
(
x
) funksiya và [
c
;
  c
1
] kåsmàgà nisbàtàn Làgrànj
tåîråmàsi qo‘llànilsà: 
f
′
(
c
1
)
 
− 
f
′
(
c
)
 
= 
f
′′
(
c
2
)(
c
1
 
− 
c
), bundà 
c
 
< 
c
2
 
<
<
c
1
.  U hîldà (1) munîsàbàt quyidàgi ko‘rinishgà kålàdi:
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

222
y
eg.chiz.
 
− 
y
urin.
 
= 
f
′′
(
c
2
)(
c
1
 
− 
c
)(
x
 
− 
c
), 
c
 
< 
c
2
 
< 
c
1
.
c
1 
và 
õ
  nuqtàlàr 
c
  nuqtàning  bir  tîmînidà  yotgànligidàn
(
c
1
 
− 
c
)(
x
 
− 
c
)
  > 
0,  shàrt  bo‘yichà  esà 
f
′′
 
> 
0.  Dåmàk,  kåyingi
tånglikdàn 
y
eg.chiz.
 
− 
y
urin.
 
> 
0 bo‘lishi mà’lum bo‘làdi.
[
a
; 
b
] kåsmà ichidà 
f
′′
(
x
)
 
< 
0 bo‘lgàn hîl hàm shu kàbi qàràlàdi
(V.16-
b
  ràsm).
2 - t å î r å m à .  
Àgàr
  [
à
; 
b
] 
kåsmàdà
 
f
(
x
) 
funksiya  gràfigi
qàvàriqligi bilàn pàstgà (mîs ràvishdà yuqîrigà) tîmîn yo‘nàlgàn
bo‘lsà,
 
[
à
; 
b
]
 
kåsmàning ichidà bu gràfik ÀB vàtàrning îstigà (mîs
ràvishdà ustigà) jîylàshàdi, bundà
 
À
(
à
;
f
(
b
)), 
B
(
b
; 
f
(
b
))  (V.17-
à
, 
b 
ràsm).
I s b î t .  Funksiya gràfigi qàvàriqligi
bilàn pàstgà yo‘nàlgàn bo‘lsin (V.18-
ràsm). Bu hîldà gràfik uning iõtiyoriy
nuqtàsidàn  o‘tkàzilgàn  urinmàning
ustigà  jîylàshàdi.  Õususàn, 
À
nuqtà
À
′
 nuqtàdàn, 
B
 esà 
B
′
 dàn yuqîridà,
C
 urinish nuqtàsi 
ÀB
 vàtàrdàn quyi-
dà  jîylàshgàn  bo‘làdi.  Bu  hîl 
ÀB
Y
Y
f
 
′′
 
> 
0
f
 
(
x
)
M
  
O
    
  a
         
  c    b
            
X
f
′′
 
< 
0
M
f
 
(
x
)
  
O
    
         a
   
  c       b
         
X
V.17-rasm.
Y
Y
  
O
    
     a
         
       b
      
X
  
O
    
  a
         
       b
      
 X
A
B
A
B
V.16-rasm.
Y
A
C
B
À
 
′
B
 
′
  
O
    
  a
         
             c  b
    
X
V.18-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

223
yoyning  bàrchà 
C
  nuqtàlàri  uchun  o‘rinli.  Bu  hîl 
ÀB
  yoyning
bàrchà 
C
 nuqtàlàri uchun o‘rinli bo‘lgànidàn yoy to‘làligichà 
ÀB
vàtàrning îstigà jîylàshàdi.
Gràfik  qàvàriqligi bilàn  yuqîrigà  qàràgàn  hîl hàm  shu  kàbi
isbîtlànàdi.
1 - m i s î l .   
f 
(
x
)
 
= 
õ
6
 funksiya gràfigi qàvàriqligi bilàn qàysi
tîmîngà yo‘nàlgànligini àniqlàymiz.
Y e c h i s h .  
f 
′′
(
x
)
 
= 
(
õ 
6
)
′′
 
= 
(6
õ 
5
)
′
 
= 
30
õ
4
. Bundà 30
õ 
4 
≥
 0 và
fàqàt 
õ
 
= 
0 dà nîlgà àylànàdi. Dåmàk, 
f 
(
x
)
 
= 
õ
6
 funksiya gràfigi
bàrchà nuqtàlàrdà qàvàriqligi bilàn quyi tîmîngà yo‘nàlgàn.
2 - m i s î l .  
f
(
x
)
 
= 
x
4
 
− 
6
x 
2
 
+ 
5 funksiya gràfigi qàvàriqligi bilàn
yuqîrigà và quyigà tîmîn yo‘nàlàdigàn îràliqlàrni tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
f 
′
(
x
)
 
= 
4
x 
3
 
− 
12
x
, 
f 
′′
(
x
)
 
= 
12
x
2
 
− 
12
 
= 
12(
x 
− 
1)(
x 
+ 
1).
Bu tånglik 
x
 
= −
1 và 
õ
 
= 
1 dà nîlgà àylànàdi. Intårvàllàr usuli bilàn
f
′′
(
x
)
ifîdà  ishîràlàri  sàqlànàdigàn  îràliqlàrni  àniqlàymiz  (jàdvàlgà
qàràng).
(
−∞
; 
−
1)
(
−
1; 1)
(1; 
+∞
)
x 
− 
1
−
−
+
x 
+ 
1
−
+
+
f 
′′
+
−
+
(
−∞
; 
−
1] và [1; 
+∞
)  intårvàllàrdà 
f 
(
x
) funksiya gràfigi qàvàriqligi
bilàn quyigà, [
−
1; 1] dà esà yuqîrigà yo‘nàlgàn.
Ì à s h q l à r
5.89.
  Quyidàgi  funksiyalàrning  gràfiklàri  qàvàriqligi  bilàn
yuqîrigà và quyigà tîmîn yo‘nàlgàn îràliqlàrni tîping:
1) 3
x 
4
 − 
4
x 
3
;
2) 
x 
3
 − 
3
x 
2
 + 
8
x
 + 
1;
3)  (
x
 − 
4)
4
;
4) 
4
3
2
x
x
−
.