|
Ì à s h q l à r
5.69.
Funksiyalàrni ekstråmumgà tåkshiring:
1)
3
2
6
x
x
+
+
;
2)
3
2
3
x
x
x
+
− +
;
3)
3
2
3
2
2
1
x
x
x
−
−
+
;
4)
2
4
4
x
x
−
+
;
5)
2
2
1
x
x
+
;
6)
3
2
(
9)
x
x
+
;
7)
1
1
x
x
+
−
;
8)
2
2
3
3
(
2)
(
2)
x
x
−
+
+
;
9)
2
,
0,
0
ax
bx c a
a
+
+
>
<
; 10)
,
0,
0
a
x
x
a
x
+
>
>
.
2. Funksiyaning kåsmàdàgi eng kàttà và eng kichik qiymàtlàrini
tîpish.
Bu turdàgi màsàlàlàr bilàn îldin hàm shug‘ullàngànmiz
(Êîshi tångsizligi và hîkàzî). Endi ulàrdà hîsilàning tàtbiqi bilàn
tànishàmiz. V.8-ràsmdà
f
(
x
) uzluksiz funksiyaning [
à
;
b
] kåsmàgà
mîs qiymàtlàri to‘plàmi [
m
;
M
] kåsmàdàn ibîràtligi tàsvirlàngàn.
Bu qiymàtlàrdàn eng kichigi
y
e.kich.
=
m
gà, eng kàttàsi
y
e.kàt.
=
Ì
gà tång.Ulàr [
à
;
b
] kåsmàning uchlàrigà (màsàlàn, chizmàdà
õ
=
b
gà), ekstråmum båràdigàn, ya’ni hîsilà nîlgà àylànàdigàn
nuqtàlàrgà (
B
,
D
minimum nuqtàlàrigà,
E
màksimum nuqtàsigà),
V.7-ràsmdà tàsvirlàngànidåk hîsilà chåksizlikkà àylànàdigàn
nuqtàlàrgà (
Î
nuqtà – minimum nuqtàsi, eng kichik qiymàt
nuqtàsi), V.9-ràsmdà tàsvirlàngàndåk
õ
=
c
uzilish nuqtàsigà to‘g‘ri
kålishi mumkin. Êåyingi hîldà funksiyaning eng kàttà qiymàti
f
(
c
)
=
Ì
, eng kichik qiymàti
f
(
c
)
=
0.
Uzluksiz funksiyaning
[
à
;
b
] kåsmàdàgi eng kàttà và eng kichik
qiymàtlàrini izlàsh tàrtibi quyidàgichà:
Y
M
m
O a b X
A
B
C
D
E
F
G
H
Y
a c O b X
N
M
y
=
f
(
x
)
V.8-rasm. V.9-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
214
a
)
funksiyaning kåsmà uchlàridàgi
f
(
a
) và
f
(
b
)
qiymàtlàrini
tîpish;
b
)
hîsilà
f
′
=
0
bo‘làdigàn nuqtàlàrdà funksiyaning qiymàtlàrini
tîpish;
d
)
hîsilà màvjud bo‘lmàgàn nuqtàlàrdàgi funksiyaning
qiymàtlàrini tîpish;
e
)
bu tîpilgàn bàrchà qiymàtlàrdàn eng kàttà và eng kichigini
àniqlàsh kåràk.
Bà’zàn quyidàgi hîllàrdàn fîydàlànish ishni yengillàshtiràdi:
1) agàr
f
(
x
) funksiya
õ
0
nuqtàdà o‘zining eng kàttà (eng
kichik) qiymàtini qàbul qilsà,
f
(
x
)
+
A
,
f
(
x
)
⋅
B
(bundà
B
>
0)
funksiyalàr hàm, shuningdåk,
f
(
x
)
≥
0 bo‘lgàndà (
f
(
x
))
n
,
n
∈
N
hàm shu nuqtàdà o‘zining eng kàttà (eng kichik) qiymàtini qàbul
qilàdi. Fàqàt
B
<
0 bo‘lgàndà
f
(
x
)
⋅
B
funksiya, àksinchà, eng kichik
(eng kàttà) qiymàtgà erishishi mumkin. Ìàsàlàn,
y
=
õ
2
kàbi
y
=
=
3
õ
2
+
5,
y
=
(
õ
2
)
2
,
y
=
3
õ
4
−
5 funksiyalàr hàm [
−
1; 2] kåsmàdà eng
kàttà qiymàtni
õ
=
2 dà, eng kichik qiymàtni
õ
=
0 dà qàbul qilàdi;
2) agàr
f
funksiya
õ
0
nuqtàdà eng kàttà (eng kichik) qiymàtni
qàbul qilgàn bo‘lsà, shu nuqtàdà
−
f
và
1
f
funksiyalàr o‘zlàrining
eng kichik (mîs ràvishdà eng kàttà) qiymàtini qàbul qilàdi.
1 - m i s î l . 12 sînini shundày ikki qo‘shiluvchigà àjràtàylikki,
ulàrning ko‘pàytmàsi eng kàttà bo‘lsin.
Y e c h i s h . Birinchi qo‘shiluvchi
õ
, ikkinchisi 12
−
õ
bo‘lsin.
Ìàsàlà
y
=
õ
(12
−
õ
) ning 0
≤
õ
≤
12 kåsmàdàgi eng kàttà qiymàtini
tîpishgà kålàdi.
y
′
=
12
−
2
õ
=
0 bo‘yichà
õ
=
6 ni tîpàmiz.
Funksiyaning [0; 12] kåsmàning uchlàridàgi và
õ
=
6 dàgi
qiymàtlàrini tîpish, so‘ng ulàrdàn eng kàttàsini àniqlàsh kåràk:
f
(0)
=
0,
f
(12)
=
0,
f
(6)
=
36.
Dåmàk, 12 sîni 6 và 6 dàn ibîràt qo‘shiluvchilàrgà àjràtilsà,
ko‘pàytmà eng kàttà bo‘làdi.
2 - m i s î l . Êåsimi to‘g‘ri to‘rtburchàk shàklidà bo‘lgàn stårjån-
ning bukilishgà qàrshiligi
Q
=
kxy
2
munîsàbàt bo‘yichà hisîblànàdi, bundà
k –
prîpîrsiînàllik kîeffitsiyånti. Êåsim
qàndày bo‘lgàndà stårjån eng kàttà
qàrshilikkà egà bo‘làdi?
Y e c h i s h . V.10-ràsmdàn
y
d
x
V.10-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
215
y
2
=
d
2
−
x
2
,
Q
=
kx
(
d
2
−
x
2
), 0
≤
x
≤
d
làrni àniqlàymiz.
Q
′
=
kd
2
−
3
kx
2
=
0 tånglàmàning ildizlàri:
3
d
−
và
3
d
. Ulàrdàn
3
d
ildiz [0;
d
] kåsmàdà jîylàshgàn.
Q
=
kx
(
d
2
−
−
x
2
) funksiyaning
x
1
=
0;
2
3
d
x
=
;
3
x
d
=
làrdàgi qiymàtlàrini
tîpish và ulàrdàn qiymàti eng kàttàsini àniqlàsh kåràk.
x
1
=
0 và
=
3
x
d
dà
Q
=
0,
x
d
=
3
dà esà
2
2
3
3
d
d
Q
k
= ⋅
⋅
, bundàn
2
3
d
y
=
. Shundày qilib, kåsimning bo‘yi và eni
7
5
2
y
x
=
≈
nis-
bàtdà îlinishi kåràk.
3 - m i s î l .
x
+
z
=
C
bo‘lsin,
x
,
z
– o‘zgàruvchi kàttàliklàr,
C
– dîimiy sîn.
x
=
z
bo‘lsàginà,
x z
ko‘pàytmà eng kàttà bo‘lishini
isbît qilàmiz.
I s b î t . 1-misîl nàtijàlàridàn fîydàlànàmiz.
y
=
x
(
C
−
x
) yoki
y
=
Cõ
−
õ
2
funksiyaning (
−∞
;
+∞
) intårvàldàgi eng kàttà qiymàtini
tîpishimiz kåràk. Funksiya intårvàlning uchlàridà
−∞
gà àylànàdi.
Ekstråmum båràdigàn nuqtàlàrini àniqlàymiz:
y
′
=
C
−
2
x
=
0,
bundàn
0
2
C
x
=
. Undà:
x
x
<
x
0
x
=
x
0
x
>
x
0
y
′
−
0
+
2
C
x
=
dà funksiya màksimumgà erishàdi. Bu
2
2
C
C
z C x C
= − = − =
gà to‘g‘ri kålàdi. Dåmàk, funksiya
x
=
z
dà eng kàttà qiymàtgà egà
bo‘làdi.
4 - m i s î l .
y
=
õ
4
(27
−
õ
4
) funksiyaning [
−
2; 2] dàgi eng
kàttà qiymàtini tîpàmiz.
Y e c h i s h . 3-misîl õulîsàsidàn fîydàlànàmiz. Funksiya
õ
ning
iõtiyoriy qiymàtidà àniqlàngàn và juft ekànidàn uni [0; 2] kåsmàdà
qàràsh kifîya. Òîpilgàn nàtijà (simmåtriyagà ko‘rà) bàrchà [
−
2; 2]
kåsmàgà nisbàtàn umumlàshtirilàdi. Funksiya ifîdàsi
õ
ning hàr
qàndày qiymàtidà musbàt bo‘lgàn
õ
4
và 32
−
õ
4
ko‘pàytuvchilàr
ko‘pàytmàsidàn ibîràt, ulàrning yig‘indisi
õ
4
+
(32
−
õ
4
)
=
32 –
o‘zgàrmàs. Dåmàk,
x
=
2 dà funksiya
õ
ning
õ
4
=
32
−
õ
4
tånglikni
www.ziyouz.com kutubxonasi
216
qànîàtlàntiruvchi qiymàtlàridà eng kàttà qiymàt-
gà erishàdi. Eng kàttà qiymàt
y
=
2
4
⋅
(32
−
2
4
)
=
=
256.
5 - m i s î l . Ràdiusi
R
bo‘lgàn dîirà ichigà
chizilgàn to‘g‘ri to‘rtburchàklàrdàn yuzi eng
kàttàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h . Chizmàdàn
2
2
4
y
R
x
=
−
,
to‘rtburchàk yuzi
2
2
4
S
x
R
x
=
−
, bundà
õ
và
2
2
4
R
x
−
ko‘pàytuvchilàr musbàt, dåmàk,
S
>
0.
S
và
S
2
funksiyalàr o‘zlàrining eng kàttà qiymàtlàrini bittà
õ
nuqtàdà qàbul
qilàdi. Bu nuqtàni tîpàmiz (V.11-ràsm):
2
2
2
2 2
4
2
3
(
)
(
4
)
(4
)
8
4
0.
S
x
R
x
R x
x
R x
x
′
′
′
=
−
=
−
=
=
−
=
Buning ildizlàri: 0,
2,
R
2
R
−
. Låkin 0
∈
[0; 2
R
],
2
R
∈
[0;
2
R
]. Endi
S
2
=
x
2
(4
R
2
−
x
2
) funksiyaning 0;
2
R
; 2
R
nuqtàlàrdàgi
qiymàtlàrini hisîblàymiz.
õ
=
0 và
õ
=
2
R
dà funksiya nîlgà àylànàdi.
S
và
S
2
funksiyalàr eng kàttà qiymàtni
2
x
R
=
dà qàbul qilàdi.
Bu hîldà
2
2
4
(
2 )
2
y
R
R
R
=
−
=
, ya’ni
õ
=
y
bo‘lmîqdà.
Dåmàk, dîirà ichigà chizilàdigàn to‘g‘ri to‘rtburchàklàrdàn yuzi
eng kàttàsi kvàdràt bo‘làr ekàn.
Do'stlaringiz bilan baham: |
