O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
5.29.
 
f
funksiya  uchun  [
à
  − 
h
; 
a 
+ 
h
]  kåsmàdà  tuzilgàn
(
)
( )
f a h
f a
h
+ −
, 
( )
(
)
(
)
(
)
2
,  
f a
f a h
f a h
f a h
h
h
−
−
+ −
−
 
và 
f
′
(
a
)
ifîdàlàrning qiymàtlàrini (mikrîkàlkulatîr yoki EHÌ yordàmidà)
hisîblàng, bundà uchinchi kàsr ifîdàning qiymàti, ya’ni birinchi
và  ikkinchi  kàsrlàrning  o‘rtà  àrifmåtigi 
f
′
(
a
)  uchun  yaõshirîq
yaqinlàshish bo‘lishini tåkshirib ko‘ring (
h
 = 
0,1; 0,01; 0,001):
1) 
f
(
x
)
 = 
x
3
 − 
2
x
2
 + 
4, 
a
 = 
3;
 2) 
( ) 3
6 ,  
9
f x
x
x a
=
−
=
.
5.30.
 Funksiyalàrning hîsilàlàrini tîping:
1) 
3
4
5
x
x
x
−
+ −
;
 2) 
3
2
2
3
4
x
x
−
+
+
;
3) 
2
5
3
4
x
x
+
−
;
 4) 
3
x
x
+
.
5.31.
 
x
0
 = 
1 nuqtàdà 
y 
= 
2
õ
3
  egri chiziqqà  urinuvchi  to‘g‘ri
chiziq  tånglàmàsini  tuzing  và  uning  shu  urinish  nuqtàsidàn
àbssissàlàr o‘qi bilàn kåsishuvigàchà uzunligini tîping.
5.32.
 Àbssissàsi 
õ
0
 = 
2 bo‘lgàn nuqtàdà 
y 
= 
3
õ
3
 
− 
6
õ
2
 
− 
4 egri
chiziqqà o‘tkàzilgàn urinmàning tånglàmàsini tuzing.
5.33.
 Îrdinàtàsi 
y
0
 
= −
2 bo‘lgàn nuqtàdà 
3
3
1
4
4
1
1
y
x
x
=
−
−
egri chiziqqà o‘tkàzilgàn urinuvchi to‘g‘ri chiziq tånglàmàsini tuzing.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

191
5.34.
 
õ
0
 
= −
3 nuqtàdà 
y 
= 
õ
2
 
+ 
6
õ 
+ 
5 pàràbîlàgà urinuvchi
to‘g‘ri chiziqning burchàk kîeffitsiyånti và 
ÎÕ
 o‘qi bilàn kåsishish
nuqtàsini tîping.
5.35.
 
y 
= 
õ
2
 
− 
9 pàràbîlàgà uning àbssissàlàr o‘qi bilàn kåsishish
nuqtàlàridà urinuvchi to‘g‘ri chiziqlàrning burchàk kîeffitsiyåntlàri
và îrdinàtàlàr o‘qi bilàn kåsishish nuqtàlàrini tîping.
5.36.
 Jism 
h
0
 bàlàndlikdàn 
v
0
 bîshlàng‘ich tåzlik bilàn yuqîrigà
tik îtilgàn. Uning 
t
 vàqt mîmåntidàgi îniy tåzligini tîping.
5.37.
  60  sm  uzunlikdàgi  bir  jinsli  yupqà 
ÀB
  stårjånning
màssàsi 
m
 
= 
4
x
2
  (g  làrdà)  qînun  bo‘yichà  tàqsimlàngàn.
Stårjånning 
À
 uchidàn 
õ
0
 
= 
20 sm và 
õ
0
 
= 
50 sm uzîqlikdà turgàn
nuqtàlàrdàgi chiziqli zichlikni tîping.
5.38.
 O‘tkàzgich îrqàli 
t 
= 
0 vàqt mîmåntidàn bîshlàb o‘tàdigàn
elåktr  miqdîri 
q
(
t
)
 
= 
5
t
3
 
− 
1  fîrmulà  bo‘yichà  tîpilàdi. 
t
  vàqt
mîmåntidàgi tîk kuchining kàttàligini tîping.
5.39.
 Jism 
s
(
t
)
 
= 
10
t 
+ 
t
2
 qînun bo‘yichà to‘g‘ri chiziqli hàràkàt
qilmîqdà. Uning 
t 
= 
2; 5; 7 (s) vàqt mîmåntidàgi îniy tåzligini
tîping.
5.40.
 
y 
= 
1
 
− 
1,5
õ 
− 
õ
2
 pàràbîlà bilàn 
ÎY
 o‘qining kåsishish
nuqtàsidà shu pàràbîlàgà urinuvchi to‘g‘ri chiziqning tånglàmàsini
tuzing.
5.41.
 Nuqtàning kîîrdinàtàlàr to‘g‘ri chizig‘i bo‘ylàb hàràkàt
qînuni 
õ 
= 
2
 
+ 
10
t 
− 
0,3
t
2
  (m)  tånglàmà  bilàn  ifîdàlànàdi.
Nuqtàning 
t
0
 
= 
6 (s) mîmåntdàgi tåzligini tîping. Hàràkàt qàchîn
to‘õtàydi?
5.42.
 Nuqtàning kîîrdinàtàlàr to‘g‘ri chizig‘i bo‘yichà hàràkàt
qînuni 
õ 
= 
t
3
 
− 
6
t
2
 
+ 
4(m) tånglàmà bilàn ifîdàlànàdi. Qàysi vàqt
mîmåntidà tåzlik 0 gà, 5 gà, 6 gà tång bo‘làdi?
2. Dàràjàli funksiyani và funksiyalàr ko‘pàytmàsini diffårån-
siàllàsh.
 Àgàr gåîmåtrik prîgråssiya hàdlàri yig‘indisi uchun ushbu
1
2
1
1
1
...
,  
1
n
n
x
x
x x
x
x
−
−
−
+ +
+ +
=
≠
 tånglikkà 
b
a
x
=
 qo‘yilsà, nàti-
jàdà
2
1
2
1
1
1
(
)
1
1
...
...
n
k
n
n
n
n
k
n
n
b
b
b
b
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
b a
a
−
−
−
−
−
−
−
+ +
+ +
+ +
=
=
,
 yoki
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

192
1
2
1
...
...
n
n
n
n
n k k
n
b
a
b a
a
a
b
a
b
b
−
−
−
−
−
−
+
+ +
+ +
=
,
yoki
b
n
 
−
 
a
n 
=
 
(
b 
−
 
a
)(
a
n
−
1 
+
 
a
n
−
2
b 
+
 
...
 
+
 
a
n
−
k
b
k
−
1
 
+
 
... 
+
 
b
n
−
1
)         (1)
àyniyat hîsil bo‘làdi. Hisîblàshlàrdà undàn fîydàlànàmiz.
1 - t å î r å m à .  
f 
(
x
) 
funksiya diffårånsiàllànàdigàn nuqtàlàrdà
uning
 
f 
n
(
x
), 
n
∈
N
, 
dàràjàsi hàm diffårånsiàllànàdi và
(
f 
n
(
x
))
′
 
=
 
nf 
n
−
1
(
x
)
 ⋅ 
f 
′
(
x
),                             (2)
d
(
f 
n
(
x
))
 
=
 
nf 
n
−
1
(
x
)
 ⋅ 
f 
′
dx
                               (3)
munîsàbàtlàr o‘rinli bo‘làdi.
I s b î t. 
∆
f 
n
(
x
)
 
=
 
f 
n
(
x 
+
 
h
) 
− 
f 
n
(
x
) bo‘lsin. (1) àyniyat bo‘yichà
∆
f 
n
(
x
)
 
=
 
(
f 
(
x 
+
 
h
)
 
−
 
f 
(
x
))[
f 
n
−
1
(
x 
+
 
h
) 
+
 
f 
(
x
)
⋅
f 
n
−
2
(
x 
+
 
h
) 
+
 
...
 
+
 
+
 
f 
k
−
1
(
x
)
f 
n
−
k
(
x 
+
 
h
)
 
+
 
...
 
+
 
f 
n
−
1
(
x
)]
(ikkinchi qo‘shiluvchi 
n
 tà qo‘shiluvchidàn ibîràt) yoki
1
1
1
( )
(
)
( )
(
) ...
( )
(
) ...
( ) .
n
n
k
n k
n
f
x
f x h
f x
h
h
f
x h
f
x
f
x h
f
x
−
−
−
−
∆
+ −

=
+
+ +


⋅
+
+ +

Êåyingi tånglikdà 
h
→
0 bo‘lgàndà limitgà o‘tàmiz. Òåîråmà shàrti
bo‘yichà 
f
(
x
)  funksiya  diffårånsiàllànuvchi,  dåmàk,  u  uzluksiz
funksiya và shungà ko‘rà 
0
lim (
)
( )
h
f x h
f x
→
+
=
 và 
0
(
)
( )
lim
h
f x h
f x
h
→
+ −
=
( )
f x
′
=
. Êvàdràt qàvslàr ichidàgi 
n
 tà qo‘shiluvchining hàr biri-
ning 
h
→
0 dàgi limiti 
f
n
−
1
(
x
) gà, jàmi yig‘indi 
nf
n
−
1
(
x
) gà  tång.
Shu tàriqà (2) và (3) tångliklàr hîsil bo‘làdi. Òåîråmà isbîtlàndi.
Õususàn, 
f
(
x
)
 =
 
x
n
 uchun:
(
x
n
)
′ =
 
nx 
n
−
1
⋅
x 
′ =
 
nx
n
−
1
⋅
1
 =
 
nx
n
−
1
và
d
(
x 
n
)
 =
 
nx 
n
−
1
dx.
                                             (4)
Êåyinrîq,  (2)  fîrmulà  dàràjà  ko‘rsàtkichning  hàr  qàndày
qiymàtidà o‘rinli ekàni isbîtlànàdi. Buning uchun dàràjà àsîsining
musbàt bo‘lishi, 
n
 butun sîn bo‘lgàndà esà àsîsning fàqàt nîldàn
fàrqli bo‘lishi tàlàb qilinàdi.
1 - m i s î l .  
n 
=
 
1; 0; 
−
m
 (bundà 
m
∈
N
) và 
õ 
≠
 
0 uchun 
f
(
x
)
 =
=
x
n 
 funksiya hîsilàsini tîpàmiz.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

193
Y e c h i s h .  1) 
n 
=
 
1  dà  (
õ
)
′
 
=
 
1
 ⋅ 
õ
1
−
1
 
=
 
1
 ⋅ 
õ
0
 
=
 
1
 ⋅ 
1
 
=
 
1, ya’ni
õ 
′
 
=
 
1;
2 ) 
n 
=
 
0 dà (
x
0
)
′
 
=
 
0
 ⋅ 
x
0
−
1
 
=
 
0, ya’ni (
õ
0
)
′
 
=
 
0;
3 ) 
n 
= −
m
, 
m
∈
N
 dà (
x
−
m
)
′
 
= −
mx
−
m
−
1
 
= −
mx
−
(
m
+
1)
.
2 - m i s î l .  (6
õ
2
 
− 
5
õ 
+ 
7)
3
 funksiyaning hîsilàsi và diffårån-
siàlini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  Bizdà 
f
(
x
)
 
= 
6
x
2
 
− 
5
x 
+ 
7, 
f 
′
(
x
)
 
= 
12
x 
− 
5, 
n 
= 
3.
(2)  và  (3)  fîrmulàlàr  bo‘yichà:
((6
x
2
 
− 
5
x 
+ 
7)
3
)
′
 
= 
3(6
x
2
 
− 
5
x 
+ 
7)
2
 ⋅ 
(12
x 
− 
5)
và
d
(6
õ
2
 
− 
5
õ 
+ 
7)
3 
= 
3(6
x
2
 
− 
5
x 
+ 
7)
2
 ⋅ 
(12
x 
− 
5)
dx
.
3-misîl. 
5
4
x
, 
x
 
> 
0 funksiya hîsilàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
x
4
5
 ifîdàni 
x
4
5
 ko‘rinishdà yozàmiz. Dàràjà ko‘rsàt-
kichi nàturàl sîn emàs, låkin àsîs musbàt sîn. (2) fîrmulàdàn
fîydàlànàmiz:
( )
4
4
1
1
5
4
5
5
5
5
4
4
4
5
5
5
x
x
x
x
x
−
−
′


′ =   =
=
=




.
4 - m i s î l .  
1
3
4
2
2
(
)
x
−
 funksiyaning hîsilàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
2
2
2
2
2
1
(3
4)
(3
4) ,  ( ) 3
4,  ( ) 6 , 
2,
x
x
f x
x
f x
x n
−
−
′
=
−
=
−
=
=−
2
2
2
2 1
2
2
2
3
1
12
(3
4)
(3
4)
((3
4) )
2 (3
4)
6
x
x
x
x
x
x
−
− −
−
−
′


′
=
−
= − ⋅
−
⋅
= −




.
5 - m i s î l .  
2
9
x
+
 funksiya hîsilàsini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
f
(
x
)
  =
 
x
2
  +
 
9, 
f
′
(
x
)
  =
 
2
x
, 
1
2
n
=
;
1
2
2
2
(
9 )
((
9) )
x
x
′
′
+
=
+
=
 
1 1
2
2
2
1
2
9
(
9)
2
x
x
x
x
−
+
⋅
+
⋅
=
.
2 - t å î r å m à .  
f
  
và
 
g funksiyalàr diffårånsiàllànàdigàn õ nuqtàdà
ulàrning f g ko‘pàytmàsi hàm diffårånsiàllànàdi và bu ko‘pàytmàning
hîsilàsi và diffårånsiàli
  (
f g
)
′ =
 
f 
′
g
 +
 
f g
′
,                                           (4)
d
(
f g
)
 =
 
f dg 
+
 
gdf
                                              (5)
13 Àlgebra, II qism
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

194
fîrmulàlàr bo‘yichà hisîblànàdi, bundà
 
f 
=
 
f
(
x
), 
g 
=
 
g
(
x
).
I s b î t .  
∆
(
f g
)
 =
 
f
(
x
 +
 
∆
x
)
 ⋅ 
g
(
x 
+
 
∆
x
)
 −
 
f
(
x
)
g 
(
x
) yoki 
f
(
x 
+
 
∆
x
)
 
=
=
 
f
(
x
)
 
+
 
∆
f
(
x
), 
g
(
x 
+
 
∆
x
)
 =
 
g
(
x
)
 +
 
∆
g
(
x
) bo‘lgàni uchun,
∆
(
f 
g)
 
=
 
(
f 
+
 
∆
f
)(
g 
+
 
∆
g
)
 
−
 
fg 
=
 
fg 
+
 
f 
⋅ ∆
g 
+
 
g
 ⋅ ∆
f 
+
 
∆
f
 ⋅ ∆
g 
−
 
fg 
=
=
 
f 
⋅ ∆
g 
+
 
g 
⋅ ∆
f 
+
 
∆
f 
⋅ ∆
g
.
Shàrtgà ko‘rà 
f
 và 
g
 funksiyalàr 
õ
 nuqtàdà diffårånsiàllànuvchi
bo‘lgànidàn
( )
0
0
0
0
0
0
lim
,   lim
,
lim
lim
lim
lim
0 0
x
x
x
x
x
x
g
f
x
x
g
g
x
x
f
g
g
x
x
g
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
′
′
=
=
′
∆ =
⋅ ∆ =
⋅
∆ =
⋅ =
.
U hîldà:
(
)
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
lim
lim
lim
lim
lim
lim
0
x
x
x
x
x
x
fg
g
g
f
f
x
x
x
x
x
f
f
x
x
fg
f
g
g
f
g
g
fg
gf
f
fg
gf
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
′ =
=
⋅
+ ⋅
+
⋅ ∆ = ⋅
+
′
′
′
′
′
+ ⋅
+
⋅
∆ =
+
+
⋅ =
+
.
Shu kàbi 
(
)
,  
,  (
)
dg
d fg
df
dx
dx
dx
g
f
fg
′
′
′
=
=
=
 bo‘lgànidàn 
d
(
f 
g)
 
=
=
 fd
g
 
+
 
gdf
 bo‘làdi.
6 - m i s î l .  
f
  (
x
)
  = 
(
x 
3
  + 
6
x
  − 
3)(
x 
2
  + 
4
x 
+ 
5)  funksiya
diffårånsiàlini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  (4) và (5) fîrmulàlàr bo‘yichà:
f
′
(
x
)
 = 
(
x 
3
 + 
6
x 
− 
3)
′
(
x
2
 + 
4
x
 + 
5)
 + 
(
x 
3
 + 
6
x 
− 
3)(
x
2
 + 
4
x 
+ 
5)
′ =
= 
(3
x
2
 + 
6)(
x
2
 + 
4
x 
+ 
5)
 + 
(
x 
3
 + 
6
x 
− 
3)(2
x
 + 
4) 
= 5
x 
4
 + 
16
x
3
 + 
33
x
2
 +
+ 
42
x
 + 
18,
df 
= 
(5
x
4
 + 
16
x 
3
 + 
33
x
2
 + 
42
x 
+ 
18)
dx
.