|
VI.4-rasm. VI.5-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi
262
4 - m i s î l .
y
=
x
3
kub pàràbîlà,
y
= -
1 to‘g‘ri chiziq,
OY
o‘qi
bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzini tîpàmiz (VI.5-ràsm).
Y e c h i s h . Ìisîldà fàqàt bittà
x
=
0 intågràllàsh chågàràsi
ko‘rsàtilgàn. Ikkinchi intågràllàsh chågàràsini limitni
y
=
x
3
và
y
= -
1
chiziqlàrning kåsishish nuqtàsi båràdi:
x
3
= -
1, bundàn
õ
= -
1.
(2) fîrmulàdàn fîydàlànàmiz. [
-
1; 0] kåsmàdà kub pàràbîlà
y
= -
1
to‘g‘ri chiziqdàn yuqîri jîylàshgànligini hàm e’tibîrgà îlsàk:
l
(
x
)
=
x
3
-
(
-
1)
=
x
3
+
1 và
0
0
2
3
1
1
4
(
1)
x
S
x
dx
x
-
-
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
è
ø
ò
1
3
4
4
1
;
= - = -
3
3
4
4
S
= -
=
.
5 - m i s î l .
õ
=
0,
y
=
0,
õ
=
2 to‘g‘ri chiziqlàr và
1
7
x
y
+
=
funksiya gràfigi bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzini tîpàmiz.
Y e c h i s h . Izlànàyotgàn yuz
2
0
7
dx
x
+
ò
intågràl bilàn ifîdàlànàdi.
õ
+
7
=
t
àlmàshtirish kiritàmiz. U hîldà:
2
2
0
0
9
7
7
7
ln | | ln |
7 |,
ln
7
ln 9 ln 7 ln
dx
dt
dx
x
t
x
t
x
x
+
+
=
=
=
+
=
+
=
-
=
ò
ò
ò
.
Ì à s h q l à r
6.18.
Àgàr:
1)
3
1,
3, ( )
1
a
b
f x
x
=
=
=
-
;
2)
2
1
3
1
0,
, ( )
x
a
b
f x
p
+
=
=
=
;
3)
2
1
cos
0,
, ( )
x
a
b
f x
=
= p
=
;
4)
2
2
1
2
1
0,
, ( )
x
a
b
f x
-
=
=
=
;
5)
2
1,
3, ( )
2
a
b
f x
x
= -
=
=
+
;
6)
3
1,
8, ( )
a
b
f x
x
=
=
=
bo‘lsà, yuqîridàn
f
(
x
) funksiya gràfigi, yon tîmînlàridàn
õ
=
à
và
õ
=
b
to‘g‘ri chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn egri chiziqli
tràpåtsiyaning yuzini tîping.
www.ziyouz.com kutubxonasi
263
6.19.
Quyidàgi chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzini
tîping:
1)
1
,
4 ,
1,
0
x
y
y
x x
y
=
=
=
=
;
2)
2
2,
2
1
y
x
y
x
=
+
=
+
;
3)
2
2
6
9,
4
4,
0
y
x
x
y
x
x
y
=
-
+
=
+
+
=
;
4)
2
3
1,
3
y
x
y
x x
=
+
=
-
;
5)
2
,
2 2
y
x
y
x
=
=
;
6)
,
4 3 ,
0
y
x y
x y
=
=
-
=
.
6.20.
1
3
8
x
y
-
=
gi pårbîlà,
õ
=
3,
y
=
0,
õ
=
6 to‘g‘ri chiziqlàr
bilàn chågàràlàngàn shàklning yuzini tîping.
6.21.
Erkin tushàyotgàn jismning dàstlàbki to‘rt såkunddà
o‘tàdigàn màsîfàni tîping.
6.22.
A
và
B
ni
2
2
2
2
2
2
(
)
0, (
)
16
Ax B
dx
Ax B
xdx
-
-
+
=
+
=
ò
ò
tångliklàr bàjàrilàdigàn qilib tànlàng.
6.23.
Bàlàndligi
H
m, àsîs ràdiusi
R
m bo‘lgàn silindr shàklidàgi
idishdàn sîlishtirmà îg‘irligi
d =
78
×
10
3
N/m
3
bo‘lgàn bånzinni
so‘rib chiqàrish uchun sàrf bo‘làdigàn ishni hisîblàng.
6.24.
Yuqîri àsîsi 50 m, bàlàndligi 16 m, quyi àsîsi 28 m
bo‘lgàn tràpåtsiya shàklidàgi vårtikàl to‘g‘îngà suv qàndày kuch
bilàn bîsàdi?
3. Gåîmåtrik và fizik kàttàliklàrni àniq intågràl yordàmidà
hisîblàsh.
Àniq intågràl yordàmidà o‘zgàruvchàn hàràkàt jàràyo-
nidà o‘tilgàn yo‘lni, egri chiziqli shàkllàrning yuzini tîpish
mumkinligini ko‘rdik. Umumàn, àniq intågràl yordàmidà gåîmåtrik
và fizik kàttàliklàrning o‘lchàmini tîpish uchun: 1) nîmà’lum
kàttàlik o‘lchàmi
F
(
b
) qiymàt ko‘rinishdà izlànàdi; 2) buning
uchun
F
¢
(
x
)
=
f
(
x
) hîsilà tîpilàdi; 3)
F
(
x
) funksiya
f
(
x
) ning
àniq intågràli sifàtidà hisîblànàdi; 4) tîpilgàn nàtijàgà
x
=
b
qiymàt
qo‘yilàdi và jàvîb tîpilàdi.
1 - m i s î l .
YOZ
tåkislikdàn
õ
birlik uzîqlikdà ungà pàràllål
bo‘lgàn
a
tåkislik (
À
) shàklni kåssin (VI.6-ràsm). Êåsim yuzini
S
(
x
) îrqàli bålgilàylik. Shàkl
x
=
a
và
x
=
b
(0
<
a
<
b
) tåkisliklàr
îràlig‘idà jîylàshgàn bo‘lsin. Shàklning
V
hàjmini tîpàmiz (hàjm
tushunchàsi gåîmåtriya kursidà bårilàdi).
www.ziyouz.com kutubxonasi
264
Y e c h i s h . Shàklning
õ
=
õ
0
tåkislik bilàn kåsimini
F
(
õ
0
), uning
yuzini
S
(
x
0
) îrqàli bålgilàylik.
y
=
S
¢
(
x
) funksiya uzluksiz và
x
1
<
<
x
2
dà
F
(
õ
1
) kåsimning
YOZ
tåkislikdàgi prîåksiyasi
F
(
õ
2
) ning
prîåksiyasi ichidà yotsin, ya’ni shàkl
a
dàn
b
gà tîmîn kångàysin
(
S
(
x
) funksiya o‘suvchi mà’nîsidà). Shàklning [
a
;
b
] kåsmàgà
mîs qismining hàjmi
V
(
x
) bo‘lsin.
V
¢
(
x
) hîsilàni tîpàmiz. Shu
màqsàddà birîr
õ
0
qiymàtni îlib, ungà
h
>
0 îrttirmà båràmiz.
Shàklning
a
1
và
a
2
tåkisliklàr îràsidàgi qismining hàjmi
V
(
x
0
+
h
)
-
-
V
(
x
0
) bo‘làdi và ushbu qo‘sh tångsizlik bàjàrilàdi:
hS
(
x
0
)
£
V
(
x
0
+
h
)
-
V
(
x
0
)
£
hS
(
x
0
+
h
), (1)
bundà
hS
(
x
0
) – shu qismning ichigà to‘liq jîylàshàdigàn silindrik
shàklning hàjmi,
hS
(
x
0
+
h
) – o‘shà qismni o‘z ichigà îlgàn
silindrik shàklning hàjmi. Qo‘sh tångsizlikni quyidàgi ko‘rinishdà
yozàmiz:
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
V x
h V x
h
S x
S x
h
+ -
£
£
+
.
y
=
S
(
x
) funksiya
x
0
nuqtàdà uzluksiz,
h
®
0 dà
S
(
x
0
+
h
) ning
qiymàti hàm,
0
0
(
)
(
)
V x
h V x
h
+ -
ning qiymàti hàm
S
(
x
0
) gà intilàdi:
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
) lim
(
)
h
V x
h V x
h
V x
S x
®
+ -
¢
=
=
.
Dåmàk,
y
=
V
(
x
) funksiya
y
=
S
(
x
) funksiyaning bîshlàng‘ich
funksiyasidàn ibîràt. Nyutîn—Låybnis fîrmulàsi bo‘yichà:
( )
( )
( )
0
b
a
S x dx V b
V a
V
V
=
-
=
- =
ò
,
( )
b
a
V
S x dx
=
ò
. (2)
Umumàn, [
a
;
b
]
kåsmàdà uzluksiz và nîmànfiy bo‘lgàn
f
(
x
)
funksiya gràfigi bilàn chågàràlàngàn egri chiziqli tràpåtsiyaning ÎX
o‘qi àtrîfidà àylànishidàn hîsil bo‘làdigàn jismning hàjmi
(VI.7-
ràsm)
ushbu fîrmulà bo‘yichà hisîblànàdi:
2
( )
b
a
V
f
x dx
= p
ò
. (2
¢
)
2 - m i s î l . Àsîsining yuzi
S
và bàlàndligi
H
gà tång bo‘lgàn
piràmidàning hàjmi
V
ni tîpàmiz.
Y e c h i s h . Piràmidà uchini kîîrdinàtàlàr bîshi sifàtidà qàbul
qilàylik,
ÎX
o‘qi esà bàlàndlik bo‘yichà pàstgà yo‘nàlgàn bo‘lsin.
Î
uchdàn
õ
uzîqlikdà o‘tkàzilgàn ko‘ndàlàng kåsim yuzi
Q
(
x
)
bo‘lsin. U hîldà
www.ziyouz.com kutubxonasi
265
2
2
( )
S
H
Q x
x
=
, bundàn
2
2
( )
S
H
Q x
x
=
,
x
Î
[0;
H
].
Q
(
x
) – uzluksiz, o‘suvchi funksiya, uning ko‘ndàlàng
kåsimining àsîsdàgi prîyåksiyalàri ichmà-ich jîylàshàdi. Bungà
qàràgàndà piràmidà shundày shàklki, uning istàlgàn
õ
gà to‘g‘ri
kålàdigàn ko‘ndàlàng kåsimi bîshqàlàri bilàn qo‘shilib kåtmàydi,
dåmàk, uning hàjmini (2) fîrmulà bo‘yichà tîpish mumkin:
2
3
2
2
0
1
1
3
3
H
H
a
S
S
H
H
V
x dx
x
SH
=
= ×
×
=
ò
.
3 - m i s î l .
R
ràdiusli shàrning hàjmini tîpàmiz.
Y e c h i s h . Shàr yarim dîiràning Î
X
o‘qi àtrîfidà àylànishidàn
hîsil bo‘làdi. Yarim àylànàning tånglàmàsi
2
2
y
R
x
=
-
. (2)
fîrmulà bo‘yichà:
(
)
3
2
2
2
3
4
3
3
R
R
R
R
x
V
R
x
dx
R x
R
-
-
æ
ö
= p
-
= p
-
= p
ç
÷
è
ø
ò
.
Fizikàdà yuqîridà bàyon qilingàn hisîblàsh sõåmàsi nisbàtàn
sîddà ko‘rinishdà qo‘llànilàdi. Izlànàyotgàn kàttàlik «chåksiz ko‘p
sînli chåksiz kichik miqdîrlàr yig‘indisi» sifàtidà, àniq intågràl
esà shundày yig‘indining o‘zi dåb qàràlàdi.
Ì i s î l l à r .
1) Òo‘g‘ri chiziq bo‘ylàb
v
(
t
) tåzlik bilàn hàràkàt qilàyotgàn
jismning [
t
1
;
t
2
] vàqt îràlig‘idà o‘tgàn màsîfàsi:
Y
Z
(
A
)
V
(
x
)
S
(
x
)
a
1
a
2
a
3
O a x x
0
x
0
+
h X
b
Y
O a b X
y
x
y
=
f
(
x
)
Do'stlaringiz bilan baham: |
