Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

birlik
matritsa
deyiladi.
A
kvadrat
 
matritsaning teskarisi deb 
AX
XA
E


tenglamalarni qanoatlan-
tiruvchi 
X
matritsaga aytiladi. 
A
ning teskarisi 
1
A

bilan belgilanadi. Agar teskari 
matritsa mavjud boʻlsa, u yagonadir . 
10.
 
1
A

ning mavjud boʻlishi uchun 
det
0
A

boʻlishi yetarli va zarurdir. 
11.
Teskari matritsa quyidagi xossalarga ega: 
 




1
1
1
1
1
1
1
;
; det
det
A
A
AB
B A
A
A










. 
12.
[ ]
ij
A
a

matritsaning teskarisi 
1
[
]
ij
A



quyidagi formulaga koʻra 
hisoblanishi mumkin: 
1
det
ij
ji
A
A


, 
bu yerda 
ji
A
son 
A
dagi 
ji
a
elementning algebraik toʻldiruvchisi. 
13. 
A

 
n n

matritsa va 

b
vektor berilgan, 
1
2
( ,
,...,
)
n T
x x
x

x
vektor esa 
noma’lum boʻlsin. Agar 
det
0
A

boʻlsa , u holda 
A

x
b
chiziqli tenglamalar 
sistemasi yagona 
1
A


x
b
yechimga ega. 
14.
Agar chiziqli tenglamalar sistemasining oʻng tomoni nollardan iborat 
boʻlgan ustundan iborat boʻlsa , u holda ushbu 
0, 0
(0,0,...,0)
T
A


x
bir jinsli sistema 
det
0
A

holdagina notrivial, ya’ni 
0

x
yechimga ega boʻladi.
15. 
Matritsaning Jordan (kanonik) koʻrinishi
. 
Bizga kompleks sonlardan tuzilgan ushbu 
11
12
1
21
22
2
1
2
( )
n n
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a















M
kvadrat matritsa berilgan boʻlsin. Agar 

son uchun
A


v
v
(1) 
shartni qanoatlantiruvchi nol-vektordan farqli 
n

v
mavjud boʻlsa, u holda bu 
yerdagi 

soni 
matritsaning xos soni (xarakteristik soni, xos qiymati), vektor 
esa shu ga mos kelgan xos vektor (xarakteristik vektor) deyiladi. matritsa xos 
vektorni xos songa koʻpaytiradi.
(1)
tenglamani
(2) 
koʻrinishda yozaylik (
birlik matritsa). Bu tenglama xos vektorning 
komponentalariga nisbatan chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini ifodalaydi. U 
notrivial (
) yechimga ega boʻlishi uchun
A
v

A
v

(
)
0
A
E



v
( )
n n
E
M



v
0

v

---

319 
(3) 
shartning bajarilishi yetarli va zarurdir. 
koʻphad 
matritsaning xarakteristik koʻphadi, (3) tenglama esa matritsaning xarakteristik 
tenglamasi deyiladi. Bu tenglama 
ga nisbatan 
darajali algebraik tenglamadir. 
Demak, oliy algebraning asosiy teoremasiga koʻra 
turli xos sonlar 
mavjud boʻlib, ularning umumiy soni 
karraliliklari bilan birgalikda ta 
boʻladi, ya’ni 
. 
birlik matritsa bir dona 
( karrali) xos songa ega va har qanday 
noldan farqli vektor uning xos vektor boʻladi.
Ushbu
Jordan katagi (yozilmagan elementlar nolga teng) deb ataluvchi matritsa ham bir 
dona 
( karrali) xos songa ega, lekin uning bir dona xos vektori (skalyar 
koʻpaytuvchi aniqligida) bor xolos. 
Agar 
haqiqiy matritsa 
kompleks xos son va unga 
mos 
kompleks xos vektorga ega boʻlsa, u 
qoʻshma kompleks 
xos son va unga mos 
qoʻshma kompleks xos vektorga ham ega boʻladi. 
Agar 
turli xos sonlar boʻlsa, u holda ularga mos 
xos 
vektorlar chiziqli erkli boʻladi. Agar 
kompleks matritsaning ta turli 
kompleks xos sonlari mavjud boʻlsa, u holda ularga mos xos vektorlar 
chiziqli 
fazoning bazisini tashkil etadi. 
Agar 
haqiqiy matritsa ta turli haqiqiy 
xos sonlarga 
ega boʻlsa, u holda ularga mos 
haqiqiy xos vektorlar 
haqiqiy chiziqli 
fazoning bazisini tashkil etadi.
Agar biror 
diagonal va biror 
teskarilanuvchi 
matritsalar uchun
(4) 
boʻlsa, u holda 
matritsa diagonallashtiriluvchi, 
esa diagonallashtiruvchi 
matritsa deb yuritiladi. Diagonallashtirilish sharti (4) ni
(5) 
koʻrinishda yozish mumkin. Bu tenglikdan matritsa diagonalida matritsaning
xos sonlari joylashganligini, 
matritsaning ustunlari esa mos xos vektorlardan 
iborat ekanligini koʻramiz:
matritsa teskarilanuvchi boʻlgani uchun bu 
xos vektorlar chiziqli 
erkli boʻlishi kerak. Shunday qilib, diagonallashtiriluvchi matritsa boʻlishi uchun 
uning ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega boʻlishi yetarli va zarurdir. Ma’lumki, 
det(
)
0
A
E



( )
( )
det(
)
A
A
P
A
E

 




A
A

n

1
2
,
,
,
m
 

1
2
,
,
,
m
k k
k
n
1
2
1
2
( )
( 1) (
) (
)
(
) ,
m
k
k
k
n
A
m
P

 
 
 
 



1
2
,
1
m
j
k
k
k
n k
  


E
1


n
,
( )
1
1
1
n n
n
J
























M
1


n
A




,
i
  
 
 

i
 
v
u
w
i
  
 
i
 
v
u
w
1
2
,
,
,
s
 


1
2
,
,
,
s
v v
v
( )
n n
A M


n
n
( )
n n
A M


n
1
2
,
,
,
n
 

1
2
,
,
,
n
v v
v
n
1
2
diag( ,
,
,
)
n
 

 
S
1
S AS

 
A
S
AS
S
 

A
S
1
2
[ ,
,
,
] ,
,
1,
, .
n
k
k
k
S
A
k
n




v v
v
v
v
S
1
2
,
,
,
n
v v
v
A
n

---

320 
har qanday simmetrik haqiqiy matritsaning barcha xos sonlari haqiqiy va u 
diagonallashtiriluvchi boʻladi. 
Har qanday matritsa ham diagonallashtiriluvchi boʻlavermaydi. Lekin 
ixtiyoriy matritsani Jordan matritsasi koʻrinishiga keltirish mumkin. 
uzunlikli Jordan zanjiri deb ushbu
(6)
shartlarni qanoatlantiruvchi noldan farqli 
vektorlarga aytiladi (skalyar 
koʻpaytuvchi aniqligida). Tushunarliki, 
vektor 
xos songa mos kelgan xos 
vektordir. Qolgan 
vektorlar (shu xos songa mos kelgan) umumlashgan xos 
vektorlar deb yuritiladi. Agar 
matritsa 
karrali 
xos songa ega boʻlsa, u 
holda shu xos songa mos kelgan va uzunliklarining yigʻindisi 
ga teng boʻlgan 
Jordan zanjirlari mavjud boʻladi; bu zanjirlar soni 
xos songa mos kelgan 
chiziqli erkli vektorlar soni, ya’ni 
ga teng. Barcha xos 
sonlarga mos kelgan Jordan zanjirlarini topib va ularni birlashtirib, Jordan bazisi 
tuziladi. Jordan bazisi 
dona chiziqli erkli vektorlarni tashkil 
etadi. Jordan bazisi vektorlarining komponentalarini 
matritsaning ustunlarida 
joylashtiramiz. U holda ushbu
(7) 
matritsa matritsaning Jordan (kanonik) koʻrinishini beradi. Bu Jordan matritsasi
koʻrinishga ega; diagonalda Jordan kataklari joylashgan, 
turli 
kataklar diagonallarida bir xil yoki turli xos sonlar turadi, diagonallarida bir xil 
son joylashgan kataklar soni ushbu 
sistemaning chiziqli erkli yechimlari 
soniga teng, boʻsh oʻrinlarda nollar yozilgan deb hisoblanadi.
(7) formuladan va determinantlar xossalaridan foydalanib quyidagilarni 
yozamiz:
Demak, 
va 
matritsalarning xarakteristik tenglamalari bir xil. Shuning 
uchun bu matritsalarning xos sonlari (karraliliklari bilan birgalikda) ham bir xil.