|
Fibonachchi sonlari. Pifagor sonlari.
Fibonachchi sonlari haqida ma`lumot
Bitiruv malakaviy shuning dastlabki ushbu paragrafida rekurrent ketma-ketlik va uning xususiy holi bo`lgan fibonachchi qatori haidi fibonachichi sonlari to`g`risida ma`lumotlar beriladi.
Ushbu sonlar ketma –ketligini qaraymiz.
u1, u2, …, un, . . . ,
|
(1.1)
|
n>2 bo`lganda bu ketma-ketlikning hadlari quyidagi rekurrent munosabatlar orqali berilgan bo`lsin.
|
(1.2)
|
ya`ni (1.1) sonlar ketma-ketligining uchinchi hadidan boshlab har bir hadi o`zidan oldingi ikki had yig`indisiga teng.
Adabiyotlarda bu (1.2) rekurrent munosabat bilan aniqlanuvchi (1.1) sonlar ketma-ketligiga rekurrent yoki qaytariluvchi ketma-ketliklar deyiladi.
O`z navbatida (1.2) ketma ketliklar hadlarining hosil bo`lishiga recurrent jarayon, (1.2) tenglikka esa recurrent tenglama deyiladi.
Bunday ketma-ketliklarni (1.2) shart yordamida hisoblash mumkin emas, ya`ni (1.2) shartni qanoatlantiruvchi xohlagancha sonlar ketma-ketligini tuzish mumkin.
Masalan:
2, 5, 7, 12, 19, 31, 50…
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29…
-1, -5, -6, -11, -17, -28…
|
|
va hokazo.
Demak, (1.1) ketma-ketlikni tuzish uchun (1.2) shartning o`zi kifoya emas ekan. Chunki (1.1) ketma-ketlikning ixtiyoriy hadi uchun undan oldingi ikki had mavjud emas. Shu sababli (1,1) ketma-ketlikni tuzish uchun uning dastlabki ikki hadi ma`lum bo`lishi kerak ekan.
Endi mana shu shartni qanoatlantiruvchi ushbu xususiy holni qaraymiz.
Faraz qilaylik (1.1) ketma-ketlikning dastlabki ikki hadi u1 = u2 = 1 birga teng bo`lsin.
Bu qiymatlardan foydalanib, (1.2) recurrent munosabat yordamida ushbu sonlar ketma-ketligini tuzamiz.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
|
(1.3)
|
Hosil qilingan (1.3) sonlar ketma-ketligi fibonachchi qatori, uning hadlari esa fibonachchi sonlari deyiladi.
Pifagor sonlari, tuzuvchi, qoida, to’g’ri burchakli uchburchak, teng yonli uchburchak, katet, gipotenuza.
To’g’ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasi turli matematiklarni qiziqtirib kelagan.Shunisi aniqki, bu teoremanig isboti, Pifagor sonlari, Fibonachchi sonlariб mukammal sonlar va ular bilan bog’liq bo’lgan qiziqarli masalalar borasida bir qancha matematiklar izlanishlar olib borishiga sabab b’lgan.Pifagorning klassik teoremasi quyidagicha bayon qilinadi.
Agar a va b lar to’g’ri burchakli uchburchakning katetlari, c esa uning gipotenuzasi bo’lsa, u holda quyidagi tenglik o’rinli bo’ladi
a2 + b2 =c2 . (1)
Yani ABC to’g’ri burchakli uchburchak katetlari kvadratlarining yig’indisi unung gipotenuzasining kvadratiga teng.
Agar (1) tenglikda a, b va c sonlar butun sonlar bo’lsa u holda a, b, c uchlikka Pifagor sonlari deb ataladi .
Manbalarda Pifagor sonlarini topishning quyidagi qoidasi berilgan
a=p2-q2, b=2pq, c=p2+q2 , p , q (2)
Bu yerda = bilan butun sonlar to’plami belgilangan.
1-teorema. Agar p, q, va r lar butun sonlar bo’lsa, u holda
a1 =(p2-q2)((2pqr)2-(p2+q2)2)= a((2pqr)2-(p2+q2)2)= a((br)2-c2) (3)
b1 =2pq((2pqr)2-(p2+q2)2(2r-1)) =b((2pqr)2-(p2+q2)2(2r-1)) = b((br)2-c2(2r-1))
c1 =(p2+q2)((p2+q2)2+(r2-2r)(2pq)2)=c((p2+q2)2+(r2-2r)(2pq)2)= c(c2+(r2-2r)b2)
a1 = a((br)2-c2), b1 = b((br)2-c2(2r-1)), c1 = c(c2+(r2-2r)b2) (3)
lar Pifagor sonlari bo’ladi.
Isbot. Murakkab bo’lmagan hisoblashlar ko’rsatadiki
tenglik barcha butun p, q va r sonlari uchun orinli bo’ladi.
Izoh. (2) formula cheksiz ko’p pifagor uchliklarini aniqlab beradi lekin barcha Pifagor uchliklarini (2) formula yordamida aniqlab bo’lmas ekan. Bunga quyidagi 44, 117, 125 Pifagor uchliklarida ishonch hosil qilish mumkin.Bu Pifagor uchligini (3)  va  deb hosil qilish mumkin, ammo hech bir butun p va q larda 44, 117, 125 Pifagor uchligini (2) formula hosil qilib b’lmaydi.
2-teorema. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n butun sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli
a2(b2cm2- c3n2)2 + b2 (2ac2mn)2 =c2 (ab2m2+ ac2n2)2. (3)
Isbot. (3) tenglik chap tomonidagi birinchi qavs kvadratini ochamiz
a2(b4c2 m4-2 b2m2 c4n2+ c6n4).
(3) tenglik o’ng tomonidagi qavs kvadratini ochamiz
c2(a2b4m4+2a2 b2m2 c2n2+a2c4n4).
Hosil bo’lgan bu ifodalarni (3) tenglikka qo’yamiz:
a2b4c2m4-2a2 b2 c4 m2 n2+a2c6n4+ 4a2 b2 c4m2 n2= a2 b4c2m4+2a2 b2 c4m2 n2+a2c6n4.
Chap tomondagi o’xshash -2a2 b2 c4 m2 n2 va 4a2 b2 c4m2 n2 hadlqrni ixchamlashtirib, quyidagigaga kelamiz:
a2b4c2m4+2a2 b2 c4 m2 n2+a2c6n4= a2 b4c2m4+2a2 b2 c4m2 n2+a2c6n4.
Bu ayniyatdan 2- teoremaning isboti keli chiqadi.
1-natija. Agar a, b, va c lar Pifagor sonlari bo’lsa, u holda ixtiyoriy m va n
butun sonlar uchun
a(b2cm2- c3n2) , b(2ac2mn) va c(ab2m2+ ac2n2) lar Pifagor sonlari bo’ladi.
2-natija. Agar a1, b1, va c1 lar Pifagor sonlari bo’lsa, u yolda ixtiyoriy
P, q lar uchun
a2= a1 (b12c1m1 2- c13n12) , b2= b1 (2a1c12m1n1) va c2= c1(a1b12m12+ a1c12n12) lar pifagor sonlari bo’ladi.
(n-1)(c+a)2+(b+(n-1)(c+a))2+( )2=
=( )2
qoida o’rinli bo’ladi.
Isbot: (n-1)(c+a)2+(b+(n-1)(c+a))2+()2=
=()2
Do'stlaringiz bilan baham: |
