Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

19. Kichik parametr metodi 
1.
2
5/2
1/2
3/2
1
(2
1)
(5
1)
36
(
)
(2
1)
35(2
1)
t
t
x
O
t
t



 





. 
2.
1
2
2
1
2(
1)
2
1
2
2 (5
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x e
x
x
x e
e
O





  
  
  


. 
3.
2
2
(2
)
2
arcsin
(
)
2
3
t
t
t
e
e
e
x
O






. 
4.
2
2
2
2
4
11
2
8
cos
sin
cos
30
15
a
b
a
b
x
a
t
b
t
t





 




2
2
2
2
4
sin
cos 2
sin 2
cos 4
sin 4
(
)
15
6
6
120
60
ab
b
ab
b
a
ab
t
t
t
t
t
O












. 
5.
2
2
1
5
1
2
3
(
)
2
2
(
)
t
t
t
t
x
e
e
e t
e
t
O


  


 

. 
6. 
2
4
2
2
2
1
6
2
2
3
4
2
(
),
5
5
(
)
t
t
t
t
t
t
t
x
e
e
e
e
e
e
e
O













2
4
2
2
2
3
3
6
2
2
3
(
)
10
2
5
(
)
t
t
t
t
t
t
y
e
e
e
e
e
e
O












. 
7. 
3
2
t
t

. 
8.
(
)
1 (
1)
t
t
t
e e
e
e

 
. 
9.
1
t
e

. 
10.
2
2
1
t
t
e
e
t
  
. 
11. 
2
2
1
4
3
6
(
)
t
t
t
e
e
e




. 
12.
2
1
1
exp
(
)
t
e
t
ds
s
s


. 
20. Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar
1. 
1
1
exp
,
exp
0
( )
(
)
(
)
x
y
x
y
u
u
u
u





. 
2.
(
)
,
(
)
x
y x
z
u
x
y
y
x
z
z







.
3.
2
1
(
), (
), exp
0
( )
(
)
y x
z y x u y
u




. 
4.
2
4
2
1
1
(
)
u
u
x
y
x

  

.
5.
2
2
1 (
)
(
)
x
y
u
x
y
x
y
x






. 
6.
3
2
,
2
0
(
)
u
x u
y
x



. 
7.
2
2
2
2
(
);
1.
u
x
y
u
x
y
 




8.
2
2
;
2
( )
y
y
y
u
x
y
u
x
y
x
x
x
   
  

. 
9.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
exp
;
exp
3
(
)
(
)
(
)
x
y
y
y
x
x
u
u
y
x
x
x
y
y
y


 





. 
10.
2
2
3
2
3
,
4
3
(
)
y
x
y
z
u
z
y


  

; 
2
2
(3
3 )
7
2
6
2
3
x
y
z
y
y
u
z
y


 


. 

---

306 
11.
2
ln
,
3
(
)
z
u
x
xz
z
y
x

 


; 
2
3
3
3
ln
1
yz
z
z
u
x
z
x
x
x






. 
12.
2
2sin ,
sin
(
)
u
z
y xy
y
 


; 
2
2
u
xy
z


. 
13.
,
(
);
z
z
u
y xy
z
e
u
xy
y
z
e
 



  
. 
14. 
2
2
ln ,
ln
(
);
2
u
x xy
z
z
x
z
u
xy
z
 






. 
15.
2
2
ln
;
exp
( )
(
)
y
y
y
u
xy
u
xy
x
x
x





. 
16.
1
1
;
(
)
1
2
u
u
xy
x
y
x
y
xy



 
  
17. 
2
(
) ,(4
)
0
1 3(
)
4
;
(
)
y u
y
u u
x
y
y
x
u







. 
18.
2
2
2
2
1
,
0;
1
(
)
x
x
u yu
u
y






.
19.
2
2
1
1
,
0;
, (0)
0
(
)
(
)
x
y y
u
u
x
y
y


 






(yechim cheksiz koʻp).
20.
2
1
,
0;
(
)
x
y y
u
 


yechim mavjud emas. 
 
 

---

307 
ILOVALAR 
Differensiallash (hosila hisoblash) qoidalari 
Bir oʻzgaruvchining funksiyasi 
 
0. Differensial: 
( )
( )
df x
f
x dx


 
1. Oʻzgarmas: 
( )
0
d
c
c
dx



2. Oʻzgarmas koʻpaytuvchi: 


( )
( )
cf x
cf x



 
3. Yigʻindi: 


( )
( )
( )
( )
f x
g x
f x
g x






.
2-3. Hosilaning chiziqliligi: 


1
2
1
2
( )
( )
( )
( )
c f x
c g x
c f x
c g x






 
4. Koʻpaytma: 


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x





 
5. Nisbat: 
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f x
f x g x
f x g x
g x
g x











 
6. Murakkab funksiya: 


( ( ))
( ( )) ( )
f g x
f g x g x




 
Elementar funksiyalar 
7. 
Darajali: 
 
1
x
x




 
.
8.
Koʻrsatkichli: 
 
ln
x
x
a
a
a
 
, 
 
x
x
e
e
 
. 
9.
Logarifmik: 
1
log | |
ln
(
)
a
x
x
a
 
, 


1
ln
x
x
 
. 
Trigonometrik: 
10.


sin
cos
x
x
 
. 
11.


cos
sin
x
x
  
.
12.
 
2
1
tg
cos
x
x
 
. 
13.


2
1
ctg
sin
x
x
  
. 
Teskari triginometrik: 
14.


2
1
arcsin
1
x
x
 

. 
15.


2
1
arccos
1
x
x
  

. 
16.


2
1
arctg
1
x
x
 

. 
17.


2
1
arcctg
1
x
x
  

. 
Hiperbolik 
sh
( sinh ), ch
( cosh ),
2
2
x
x
x
x
e
e
e
e
x
x
x
x











th
( tgh
tanh ), cth
( ctanh ) :
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
x
x
x
x
x
e
e
e
e
















18.


sh
ch
x
x
 
. 
19.


ch
sh
x
x
 
. 
20.
 
2
1
th
ch
x
x
 
. 
21.


2
1
cth
sh
x
x
  
. 

---

308 
Teskari hiperbolik 




2
2
Arsh
ln
1 , Arch
ln
1 ,
1
1
1
1
Ar th
ln
, Arcth
ln
:
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


















22.


2
1
Arsh
1
x
x
 

. 
23.


2
1
Ar ch
1
x
x
 

. 
24.


2
1
Ar th
1
x
x
 

. 
25.


2
1
Arcth
1
x
x
 

. 
Koʻp oʻzgaruvchining funksiyalari 
1
2
1
2
( ,
,
,
),
( ,
,
,
)
n
n
u
u x x
x
v
v x x
x


funksiyalar uchun
26.
1
2
1
2
1
2
1
2
.
n
n
n
n
x
x
x
u
u
u
du
dx
dx
dx
u dx
u dx
u dx
x
x
x








 


 



27.
Yigʻindi: 
(
)
d u
v
du
dv



. 
28.
Oʻzgarmas koʻpaytuvchi: 
(
)
d c u
c du

 
.