|
29.
Koʻpaytma:
(
)
d uv
vdu
udv
.
30.
Nisbat:
2
vdu
udv
u
d
v
v
.
31.
Murakkab funksiya:
1
1
2
2
1
2
1
2
( , ,
),
( , ,
),
,
( , ,
)
(
)
m
m
n
m
u
u x t t
t
x t t
t
x t t
t
funksiyalar uchun
1
2
1
2
n
j
j
j
n
j
u
u x
u
x
u
x
t
x
t
x
t
x
t
1,
(
)
j
n
.
Integrallar jadvali
1.
1
,
1
1
u
u du
. 2.
1
ln
du
u
u
.
3.
u
u
e du
e
. 4.
1
ln
u
u
a du
a
a
.
5.
sin
cos
u du
u
. 6.
cos
sin
u du
u
.
7.
2
1
tg
cos
du
u
u
. 8.
2
1
ctg
sin
du
u
u
.
9.
sh
ch
u du
u
. 10.
ch
sh
u du
u
.
11.
2
1
th
ch
du
u
u
. 12.
2
1
cth
sh
du
u
u
.
13.
2
2
1
arcsin
u
du
a
a
u
. 14.
2
2
2
2
1
ln
du
u
u
a
u
a
.
309
15.
2
2
2
2
1
ln
du
u
a
u
a
u
. 16.
2
2
1
1
arctg
u
du
a
a
u
a
.
17.
2
2
1
1
ln
2
a
u
du
a
a
u
u
a
.
Integrallash qoidalari
1. Oʻzgarmas koʻpaytuvchi:
( )
( )
cf x dx
c f x dx
.
2. Yigʻindi:
( )
( )
( )
( )
f x
g x dx
f x dx
g x dx
.
3. Boʻlaklab integrallash:
udv
uv
vdu
.
4. Oʻzgaruvchini almashtirish:
( )
( ( )) ( ) ,
( )
f x dx
f
t
t dt x
t
.
Ba’zi funksiyalarni integrallash
Ratsional funksiyalarni integrallash
Ratsional funksiya koʻphadlar nisbatidan iborat:
( )
( )
,
( ),
( )
( )
m
m
n
n
P x
R x
P x Q x
Q x
koʻphadlar,
deg
( )
,deg
( )
m
n
P x
m
Q x
n
.
( )
R x dx
integralni hisoblash uchun dastlab
( )
( )
( )
m
n
P x
R x
Q x
ratsional funksiyaning butun
qismini ajratamiz:
( )
( )
( )
( )
( )
m
k
n
n
P x
P x
S x
Q x
Q x
,
( )
S x
koʻphad,
k
n
.
( )
( )
( )
( )
( )
m
k
n
n
P x
P x
dx
S x dx
dx
Q x
Q x
Bu yerda, agar
m
n
boʻlsa,
( )
0
S x
va
k
m
boʻladi.
Endi bu yerdagi toʻgʻri ratsional funksiya
( )
( )
k
n
P x
Q x
ni integrallash uchun uni eng oddiy
ratsional kasrlar (eng oddiy kasrlar) yigʻindisi koʻinishida ifodalash kerak. Buning
uchun
( )
n
Q x
koʻphadni keltirilmas haqiqiy koʻpaytuvchilarga ajratish lozim:
1
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
( )
(
) (
)
(
) (
)
,
2
2
,
4
0,
4
0,
k
k
n
n
s
s
Q x
a x
x
x
x
x
p x
q
x
p x
q
s
s
k
k
n p
q
p
q
(
j
x
x
sonlar
( )
n
Q x
koʻphadning
j
s
karrali ildizlari (
1, 2,...
j
);
2
l
l
x
p x
q
koʻphadlar haqiqiy ildizga ega emas (
1,2,...
l
) ).
Bundan foydalanib, ushbu
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
( )
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
s
k
s
n
s
s
A
P x
A
A
Q x
x
x
x
x
x
x
B
B
B
x
x
x
x
x
x
310
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
l
l
l
l
l
l
M x
N
M x
N
M x
N
x
p x
q
x
p x
q
x
p x
q
U x
F
U x
F
U x
F
x
p x
q
x
p x
q
x
p x
q
yoyilmani topish kerak (u yoki bu usul yordamida). Bu yerdagi eng oddiy kasrlar
odatdagicha integrallanadi.
1
1
1
1
ln
A
A
dx
x
x
x
x
,
1
,
2,3, 4
1
s
s
A
A
dx
s
x
s
a
x
a
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
(
2)
2
(
2)
(4
) 4
/
/
/
/
M x
N
M x
p
N
p
dx
dx
x
p x
q
x
p
q
p
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
(
2)
2
(
2)
(4
) 4
(
2)
(4
) 4
/
/
/
/
/
/
M x
p
N
p
dx
dx
x
p
q
p
x
p
q
p
2
1
1
1
1
1
2
2
1
ln(
)
(
2)
2
/
M
x
p x
q
N
p
du
u
a
2
1
1
1
2,
4
/
(
2)
/
u
x
p
a
q
p
.
Ushbu
1
1
2
1
1
(
)
l
M x
N
dx
x
p x
q
,
2
l
, integralni hisoblash yuqoridagi shakl
almashtirishlardan soʻng
2
2
1
(
)
l
l
I
du
u
a
integralni hisoblashga keltiriladi.
Oxirgi integral esa boʻlaklab integrallash yordamida hosil qilinuvchi ushbu
1
2
2
2
1
2
2
3
2
(
1)(
)
2
(
1)
l
l
l
u
l
I
I
a l
u
a
a l
rekurrent formulaga koʻra topiladi. Ratsional funksiyaning integrali elementar
funksiyadan iborat boʻladi.
Trigonometrik
funksiyalar
qatnashgan
ifodalarni
integrallash
.
(sin ,cos )
R
x
x dx
(
( , )
R u v
ratsional funksiya, ya’ni
,
u v
oʻzgaruvchilarning
koʻphadlari nisbati) koʻrinishdagi integralni hisoblash
tg
2
x
t
almashtirish
yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
Ba’zi hollarda soddaroq almashtirishlardan foydalanish mumkin.
I. Agar
( sin ,cos )
(sin ,cos )
R
x
x
R
x
x
boʻlsa,
cos
x
t
almashtirishdan
foydalanish maqsadga muvofiq.
II. Agar
(sin , cos )
(sin ,cos )
R
x
x
R
x
x
boʻlsa,
sin
x
t
deyish kerak.
III. Agar
( sin , cos )
(sin ,cos )
R
x
x
R
x
x
boʻlsa,
tg
x
t
almashtirishni
ishlatish kerak.
311
Radikal (ildiz) qatnashgan ifodalarni integrallash
I.
(
)
m
n
p
x
a
bx
dx
,
, ,
m n p
ratsional
sonlar,
,
a b
noldan
farqli
oʻzgarmaslar, quyidagi uch holda elementar funksiyadan iborat boʻladi:
1)
p
butun son; bu holda
m
va
n
kasrlarning umumiy maxrajini
N
deb,
N
z
x
almashtirish bajarish kerak.
2)
1
m
n
butun son;
N
bilan
p
kasrning maxrajini belgilab,
n
N
a
bx
z
deymiz.
3)
1
m
p
n
butun son;
N
bilan
p
kasrning maxrajini belgilaymiz va,
n
N
ax
b
z
almashtirish bajaramiz.
II.
,
(
)
m
x
R x
dx
x
(
( , )
R u v
ratsional funksiya,
m
natural son,
, , ,
oʻzgarmas sonlar) koʻrinishdagi integralni hisoblash uchun
m
x
t
x
, ya’ni
m
x
t
x
deb,
t
oʻzgaruvchiga oʻtish kerak. Bunda
t
ning ratsional funksiyasini integrallashga
kelamiz.
III.
2
,
(
)
R x
ax
bx
c dx
integralni
hisoblashda
quyidagi
Eyler
almashtirishlaridan foydalanish mumkin:
1)
0
a
holda
2
ax
bx
c
x a
t
;
2)
2
4
0
b
ac
boʻlganda
1
(
)
x
x t
, bunda
1
x
bilan
2
ax
bx
c
ning ildizi
belgilangan;
3)
0
c
da
2
ax
bx
c
c
xt
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
