Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
Aniq integralni taqribiy hisoblash
Aniq integralni hisoblashning yuqorida ko’rib o’tilgan usullarida integralni hisoblash funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasini topish va uning qiymatini hisoblashdan iborat edi. Ammo ayrim aniq integrallar uchun bu usullarni qo’llashda quyidagi muammolarga duch kelishimiz mumkin:
1) boshlang’ich funksiyani topish murakkab;
2) boshlang’ich funksiya murakkab bo’lib, uning va qiymatlarini hisoblash qiyinchilik tug’diradi;
3) funksiya elementar funksiyalarda ifodanmaydi;
4) Integral ostidagi funksiya jadval ko’rinishida berilgan.
Bunday hollarda aniq integralni taqribiy hisoblashga to’g’ri keladi. Bu masalani yechish uchun turli formulalar topilgan bo’lib, ular umumiy holda kvadratur formulalar deyiladi. Quyida bu formulalardan ba’zilarini keltiramiz.
1. To’g’ri to’rtburchaklar formulasi. Bu formulani keltirib chiqarish uchun dastlab kesmani nuqtalar bilan n ta teng bo’lakka bo’lamiz. Bunda har bir bo’lakning uzunligi ga teng bo’ladi (1-chizma)
Integral ostidagi funksiyaning nuqtalardagi qiymartlarini lar bilan belgilaymiz va quyidagi
yig’indilarni tuzamiz:
1-chizma
Bu yig’indilarni har biri funksiya uchun kesmada integral yig’indi bo’lib, ular uchun quyidagi taqribiy formulalarni yozish mumkin:
Bu formulalar to’g’ri to’rtburchaklar formulasi deyiladi.
II. Trapetsiyalar formulasi. Yuqorida ko’rib o’tilgan to’g’ri to’rtburchaklar formulasida biz egri chiziqni zinopayali chiziqlar bilan almashtirgan edik. Agar biz ni ichki chizilgan siniq chiziqlar bilan almashtirsak, aniq integralning aniqroq qiymatini hosil qilamiz. Bunda egri chiziqli trapetsiya yuqoridan vatarlar bilan chegaralangan trapetsiyachalar yig’indisidan iborat bo’ladi(2-chizma). Bunda birinchi
trapetsiyachaning yuzi ikkinchisining yuzi va hokazo bo’lib yoki
bo’ladi. Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiyalar formulasi deyiladi. Bu yerda soni ixtiyoriy tanlanadi. soni qanchalik katta bo’lsa, integralning qiymati shunchalik aniq bo’ladi.
III. Parabola formulasi (Simpson formulasi). kesmani ta teng bo’laklarga bo’lamiz. va kesmalarga mos kelgan va egri chiziq bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiyachalarning yuzlarini , nuqtalardan o’tuvchi parabola bilan chegaralgan egri chiziqli trapetsiya bilan almashtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trapetsiya deyiladi (3-chizma).
O’qi o’qiga parallel bo’lgan parabo’lani tenglamasi
dan iborat bo’ladi.
3-chizma
A, B, C koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtadan o’tish shartidan topiladi. Qolgan kesmalar uchun ham yuqoridagidek parabolalarni yasaymiz. Hosil bo’lgan parabolik trapetsiyachalar yuzlarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. U quyidagi formuladan iborat boladi:
Bu formula Simpson formulasi deyiladi.
Yuqorida biz integralni integrallash kesmasi chekli va integral ostidagi funksiya uzluksiz bo’lgan hollarda o’rgandik.
Ta’rif. funksiyaning cheksiz yarim oraliq bo’yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o’zgaruvchi integralning bo’lgandagi limitiga aytiladi va u
deb belgilanadi. Demak, ta’rifga asosan, u
ko’rinishda belgilanadi.
Agar yuqoridagi tenglamaning o’ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda, uzoqlashuvchi deyiladi.
Ko’p hollarda xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo’lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va yaqinlashuvchi bo’lgan holda qiymatini baholash yetarli bo’ladi.
I. Agar cheksiz yarim oraliqda va xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:
Ta’rif. Agar cheksiz yarim oraliqda va xosmas integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo’ladi.
Ta’rif. Agar bo’lganda va xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va uning uchun
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Ta’rif. Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda
xosmas integral absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. Agar birinchi integral yaqinlashuvchi, ikkinchi integral uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda birinchi xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deb ataladi.
Agar funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsa, uning bu oraliq bo’yicha I tur xosmas integrali yuqorida kiritilgan xosmas integrallar orqali quyidagicha ifodalanadi.
Endi chegaralanmagan funksiyalar uchun aniq integral tushunchasini umumlashtirammiz. Berilgan funksiya yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda, , funksiyani qarash mumkin.
Ta’rif. funksiyaning holdagi o’ng limiti berilgan funksiyaning kesma bo’yicha II tur xosmas integrali deyiladi va u quyidagicha belgilanadi:
Agar funksiya nuqtada chegaralanmagan bo’lsa, u holda yoki cheksiz yarim oraliqlar bo’yicha quyidagi aralash turdagi xosmas integrallar bilan aniqlanadi:
