|
III
.
Endi (1) tenglamani yechish (integrallash) metodlarini keltiramiz.
III
.
1.
Agar (1) tenglama
y
ga nisbatan yechilib, bir yoki bir nechta
( , ) (
1, 2,
)
j
y
f x y
j
ko‘rinishdagi tenglamaga keltirilsa, oxirgi tenglama-
larni integrallab va yechimlarini birlashtirib (1) ning yechimlarini topamiz.
Misol 7.
Quyidagi differensial tenglamani yeching:
3
2
2
(
1)
(
)
(
1)
0.
y
y
y
x
y
x
y
xy x
Berilgan tenglamani
(
)(
)(
1)
0
y
y y
x y
x
ko‘rinishda yozamiz. Endi
,
,
1
y
y
y
x
y
x
tenglamalarni yechib,
2
2
1
2
3
,
,
2
2
x
x
x
y
с e
y
с
y
x с
(6)
yechimlar oilasini topamiz. Tushunarliki, berilgan tenglamaning barcha
yechimlari (6) formulalar bilan beriladi.
III
.
2.
(1) tenglamani
y
o‘zgaruvchiga nisbatan yechish mumkin bo‘lsin:
1
( ,
) (
,
0
y
y
f x y
f
C
f
deb faraz qilinadi ). (7)
Bu yerda
y
p
(
)
dy
pdx
(8)
deb
p
parametr kiritamiz va
( , )
y
f x p
tenglikka kelamiz. Agar biz
x
ni ham
p
ning funksiyasi sifatida topsak, u holda (7) differensial tenglamaning
95
parametrik ko‘rinishdagi yechimi osongina yoziladi:
( ),
( ( ), )
x
x p y
f x p p
.
Quyidagicha ish tutamiz:
,
x
p
x
p
dy
f dx
f dp
pdx
f dx
f dp
Oxirgi tenglikdan
p
x
f
p
f
dx
dp
(9)
munosabatni topamiz. Endi yana qo‘shimcha ravishda
x
f
p
deb faraz
qilamiz va oxirgi tenglamani ushbu
p
x
f
dx
dp
p
f
ko‘rinishda yozamiz. Uni yechib,
( , )
x
p c
,
( , )
p
x
f
x p c
dp
с
p
f
,
bog‘lanishni topamiz Shunday qilib, biz qo‘yilgn shartlarda (7) differensial
tenglamaning parametrik ko‘rinishdagi bir parametrli yechimlar oilasini
topdik:
( , )
( ( , ), )
x
x p c
y
f x p c p
(
p
egri chiziqdagi parametr,
c
egri chiziqlarni belgilovchi parametr)
Agar
( , )
x
f x p
p
tenglik
1
( )
x
x p
C
funksiyani aniqlasa va
( ( ), )
0
p
f
x p p
ham bo‘lsa, u holda (9) tenglama, ravshanki,
( )
x
x p
yechimga ega. Buni
( , )
y
f x p
ga qo‘yib, qaralayotgan (7) differensial
tenglamaning {
( )
x
x p
,
( ( ), )
y
f x p p
} parametrik yechimini hosil qilamiz.
Endi (9) tenglamani
( )
x
x p
ga “qisqartirib”, so‘ngra yuqoridagidek ish tutib,
(7) tenglamaning bir parametrli yechimlar oilasini (agar mavjud bo‘lsa)
topamiz. (III.4 va III.5 bandlarga qarang).
Misol 8.
Ushbu
3
4
2
3
3
1 0
x y
x yy
differensial tenglamani yeching.
Tenglamadan
y
osongina topiladi:
2
3
1
3
y
xy
x y
.
y
p
(
)
dy
pdx
parametrni kiritamiz. U holda
2
3
1
3
y
xp
x p
(10)
tenglikni hosil qilamiz.
( )
x
x p
bog‘lanishni topish uchun oxirgi tenglikni
96
differensiallaymiz va ixchamlashtirishlarni bajaraniz:
2
3
3
3
2
4
1
2
3
3 (
),
3
3
,
(
)
dy
d
d xp
pdx
dx
dp
xdp
pdx
x p
x p
x p
3
2
4
1
2
3
0.
p
x
dx
dp
x
p
x
p
Bu yerdan
3
4
1
0
x
p
va
2
3
0
dx
dp
x
p
tenglamalarni hosil qilamiz. Ularni yechib quyidagilarni topamiz:
4/3
x
p
va
3/2
x
cp
. (11)
(11) ni (10) ga qo‘yib, berilgan differensial tenglama yechimlarini parametrik
ko‘rinishda hosil qilamiz:
4/3
1/3
4
x
p
y
p
va
3/2
2
2/3
1/2
3
x
cp
y
c
c
p
.
Bu yerda
p
parametrni yo‘qotib, yechimlarning oshkor ko‘rinishini topish ham
mumkin (
2/3
c
o‘rniga
c
qo‘yilgan):
4
4
(
0)
y
x x
va
3
1/3
3
y
c
cx
.
Bu yerdagi
4
4
(
0)
y
x x
yechimlar maxsus yechimlardir, chunki ularning
4
, 4
a
a
(
0)
a
nuqtalari orqali ularga urinib
3
1/3
3
y
c
cx
yechimlar
oilasidagi bo‘lgandagi (mos ravishda) yechimlar o‘tadi:
4
( )
4
def
y
x
x
,
1/4
1/12 1/3
( )
3
def
y
x
c
a
x
,
4
( )
( )
4
a
a
a
,
3/4
( )
( )
a
a
a
.
III
.
3.
(1) tenglamani
x
ga nisbatan yechish mumkin bo‘lsin:
1
( ,
)
(
,
0,
y
y
x
f y y
f
C
f
f
y
deb faraz qilinadi
)
.
Bu tenglamaning parametrik umumiy yechimi yuqoridagi usul bilan topiladi.
Misol 9.
Ushbu
exp
(
)
xy
y
y
tenglamani yeching.
Berilgan tenglamani
x
ga nisbatan osongina yechamiz:
ln
y
x
y
y
.
97
y
p
(
)
/
dx
dy p
parametrni kiritamiz va oxirgi tenglamani
ln
y
x
p
p
(*)
ko‘rinishda yozamiz.
( )
y
y p
bog‘lanishni topish uchun oxirgi tenglikni
differensiallaymiz,
/
dx
dy p
dan
foydalanamiz
va
zarur
shakl
almashtirishlarni bajaramiz:
2
2
ln
ln
,
ln
y
dy
p
y
y
dx
d
p
dy
dp
pdp
p
p
p
p
p
,
2
1
(1 ln )
0
y
p
dy
dp
p
p
.
Oxirgi tenglikdan ushbu
1 ln
0
p
va
2
1
0
y
dy
dp
p
p
tenglamalarni topamiz. Bu tenglamalarni yechib,
p
e
va
y
cp
munosabatlarga kelamiz. Ularni (*) ga qo‘yib, quyidagi yechimlarni topamiz:
y
x
e
va
ln
x
c
p
y
cp
.
Bundan yechimlarning oshkor ko‘rinishini hosil qilamiz:
y
e x
va
exp
( )
x
y
c
c
.
Bu yerdagi
y
e x
maxsus yechimdir (tekshiring).
III
.
4.
Parametr kiritishning umumiy usuli
.
Faraz qilaylik,
3
( , ,
)
| ( , ,
)
0
x y y
F x y y
to‘plamni
( , )
( , )
( , )
x
u v
y
u v
y
u v
(12)
parametrik ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsin; bu yerda
, ,
funksiyalari
,
u v
parametrlarning biror
2
O
ochiq to‘plamida
1
C
sinfga tegishli.
Ma’lumki,
va
funksiyalarning differensiallari
,
dx
du
dv
dy
du
dv
u
v
u
v
98
ko‘rinishga ega. Lekin
( , )
dy
u v
dx
, ya’ni
( , )
dy
u v dx
bo‘lgani uchun
(
)
du
dv
du
dv
u
v
u
v
yoki
(
)
(
)
du
dv
u
u
v
v
. (13)
Oxirgi (13) tenglik
u
va
v
parametrlar orasidagi differensial bog‘lanishni
ifodalaydi. Agar
0
u
u
bo‘lsa,
u
ni noma’lum funksiya,
v
ni esa erkli
o‘zgaruvchi deb, (13) tenglikdan ushbu
du
v
v
dv
u
u
(14)
hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglamaga kelamiz.
Shunga o‘xshash , agar
0
v
v
bo‘lsa,
( )
v
v u
funksiya uchun
dv
u
u
du
v
v
(15)
differensial tenglamani hosil qilamiz.
Agar (14) (yoki (15)) differensial tenglamaning bir parametrli
yechimlar oilasi
( , )
u
u v c
(
( , )
v
v u c
) topilgan bo‘lsa, u holda (12) dan
(1) differensial tenglamaning ushbu
( ( , ), )),
( ( , ), ))
x
u v c v
y
u v c v
( , ( , )),
( , ( , ))
x
u v u c
y
u v u c
bir parametrli yechimlar oilasini hosil
qilamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
