|
II.8. Tenglamalarni parametr kiritish usuli bilan yechish.
Ba’zi differensial tenglamalarni parametr kiritish yordamida yechish
mumkin bo‘ladi. Bu usul bilan misollarda tanishamiz.
Misol 10.
Ushbu
2
0
y
xy
y
tenglamani quyidagichs parametr kiritib yechish mumkin.
126
y
t
deylik.
x
va
y
larni
t
parametrning funksiyasi sifatida
topamiz. Berilgan tenglamadan
2
y
xt
t
ni hosil qilamiz. ( )
d y
y dx
tdx
bo‘lganligi uchun
2
(
)
d xt
t
tdx
,
2
xdt
tdx
tdt
tdx
, (
2 )
0
x
t dt
.
Oxirgi tenglikdan ikki imkoniyatni topamiz:
2
x
t
yoki
1
t
c
.
Birinchi
imkoniyat.
2
2
2
.
x
t
y
xt
t
t
Bundan
2
3
2
(2 )
( )
3
dy
y dx t d
t
d t
va
3
1
2
3
y
t
c
. Demak, parametrik yechim
3
1
2
2 ,
3
x
t y
t
c
, oshkor ko‘rinishi esa
3
1
12
x
y
c
.
Endi ikkinchi imkoniyatni qaraymiz.
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
x
t
c
y
xt
t
xc
c
y
c
c x c
.
Javob:
3
1
12
x
y
c
,
2
2
1
1
2
2
c
y
x
c x
c
.
Misol 11.
Ushbu
ln
1
y
y
y
tenglamani ham parametr kiritish usuli bilan yechish mumkin.
y
t
deymiz va
x
va
y
larni
t
parametrning funksiyasi sifatida
topamiz. Berilgan tenglamadan
1
1 ln
y
t
. Demak,
1
1
( )
ln
1 ln
d y
y dx
dt
dx
x
t
t
c
t
.
2
2
1
2
ln
( ln
) ( ln
)
2
4
t
t
t
dy
y dx
td t
t
c
t
t
t dt
y
c
.
Endi parametrik ko‘rinishdagi yechimni yozamiz.
Javob:
2
2
1
2
ln
ln
,
2
4
t
t
t
x
t
t
c y
c
.
II.9. Koshi masalalarini yechish.
Agar berilgan tenglamaning umumiy yechimi topilsa, shu tenglama
uchun qo‘yilgan Koshi masalasini yechish muammo tug‘dirmaydi.
Ba’zi hollarda Koshi masalalarini yechish jarayonida boshlang‘ich
shartlardan foydalanib, yozuvlarni qisqartirish mumkin.
Misol 12.
Koshi masalasini yeching
2
3
2
0, (1) 1 ,
(1)
1
yy
y
y
y
y
.
127
Berilgan
differensial
tenglama
avtonom
bo‘lgani
uchun
/
,
( )
p
y
dy dx p
p y
, deymiz. U holda
dp
y
p
dy
va tenglama quyidagi
ko‘rinishga keladi:
2
3
2
0
dp
y
p
p
p
dy
.
Boshlang‘ich shartga ko‘ra
1
1 ( 0; 2)
y
p
. Demak, oxirgi tenglamadan
(2
)
dp
dy
p
p
y
munosabat hosil bo‘ladi. Bu tenglikni
1
y
dan
y
y
gacha integrallaymiz.
Bunda (1)
1
p
ekanligini hisobga olib, topamiz:
1
1
(2
)
p
y
dp
dy
p
p
y
,
1
1
ln
ln
ln
2
2
3
p
y
p
,
2
2
3
p
y
p
.
Belgilashga ko‘ra
/
p
y
dy dx
. Demak,
2
2
3
y
y
y
,
2
3
2
y
y
y
,
3
2
x
y
y
.
Oxirgi tenglikni
1
x
dan
x
x
gacha integrallaymiz. Boshlang‘ich shartni
hisobga olib, quyidagilarni topamiz:
2
1
1
3
3
2
,
2
2 ,
2(
1)
3
0
y y
x x
x
y
x
y
x
y
y
x
y
y
y
.
Bu kvadrat tenglamani
(1) 1
y
boshlang‘ih shartga ko‘ra yechib, yechim
2
1
2
2
y
x
x
x
ko‘rinishda bo‘lishini topamiz.
Javob:
2
1
2
2
y
x
x
x
.
Masalalar
Boshlang‘ich masalalarga yechimning mavjudlik va yagonalik
teoremasini qo‘llang (
1
-
4
):
1.
3
cos
, (0) 1,
(0)
1
x
y
xy
y
e y y
y
.
2.
3
1 2
1
y
xy
xy
, (1) 1
y
,
(1)
0
y
,
(1)
0
y
.
3.
2
sin
ln(
1)
1
x
y
xyy
x
y
, (0)
1,
(0) 1
y
y
.
4.
2
cos
2
,
(0)
2,
(0) 1,
(0)
0
y
x
y
y
xy
y
y
y
y
.
Differensial tenglamalarni yeching (
5
–
23
):
5.
1.
xy
y
128
6.
tg
y
x
y
.
7.
3
4
4
1
y y
y
.
8.
3
2cos sin
0
y
y
y
.
9.
2
3
0
y y
y
.
10.
2
2
2
12
0
yy
y
x y
.
11.
2
3
yy
y
y
.
12.
2
3
3
3
2
cos
y y
yy y
y
y
x
.
13.
2
(
1)
x
yy
y
yy
.
14.
2
(ln
1)
0
xyy
x
x
y
yy
.
15.
2
2
(
)
2
x
y
yy
xy
y
.
16.
3
2
(2
3
)
0
x y
y
y
x
.
17.
3
2
(
)
0
x y
y
xy
.
18.
4
2
(
)
0
x y
y
xy
.
19.
4
2
(
)
0
x y
y
xy
.
20.
2
2
2
y
x y
xy
.
21.
2
2
xy
y
x y
.
22.
2
2
yy
y
y
.
23.
2
3
sin
cos
y
yy
yy
x
y
x
.
Koshi masalalarini yeching (
24
–
27
):
24.
2
3
0, (1) 1 ,
(1)
1
yy
y
y
y
y
.
25.
3
2
2
0 , (1) 1,
(1)
2
xyy
x y
yy
y
y
.
26.
2
2
0, (0) 1 ,
(0)
1
yy
y y
y
y
y
.
27.
2
2
tg
2
sin 2
0, (0)
0 ,
(0)
1
y
y
y
y
y
y
y
.
Mustaqil ish № 9 topshiriqlari:
I.
Koshi masalasiga yechimning mavjudlik va yagonalik teoremasini
qo‘llang.
1.
ln
2 ,
(0) 1, (0)
2,
(0)
0.
y
y
y
x
y
y
y
2.
2ln
,
(1)
2, (1)
.
y
y
xy
y
y
e
3.
2
2
,
2
(0) 1,
(0) 1.
x
y
y
y
y
y
y
y
4.
2
5
1
,
(1)
0,
(1)
0,
(1) 1.
y
y
xy
y
y
y
5.
2
2
1
,
(0)
1,
(0)
1.
y
xy
y
y
y
Do'stlaringiz bilan baham: |
