Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

7. HOSILAGA NISBATAN YECHILMAGAN BIRINCHI TARTIBLI 
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. MAXSUS YECHIMLAR 
Maqsad 
– birinchi tartibli differensial tenglamalarning maxsus 
yechimlarini topishni, 
ko‘rinishdagi tenglamalarni yechish 
usullarini o‘rganish.
Yordamchi ma’lumotlar: 
I
. Birinchi tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan differensial 
tenglama
ushbu
(yoki 
) (1) 
ko‘rinishda yoziladi; bu yerda 
(
va
– uchta 
haqiqiy o‘zgaruvchilarning berilgan haqiqiy funksiyasi (funksiyalari) 
- noma’lum funksiya va 
- uning hosilasi; 
hosila (1) 
tenglamada qatnashgan deb hisoblanadi, ya’ni 
tayinlanganda 
funksiya 
ga nisbatan o‘zgarmasga aylanmaydi: 
o‘zgarishi bilan 
ham 
o‘zgaradi. (1) tenglama uchun qo‘yilgan ushbu 
(2) 
Koshi masalasi yechimi 
ning 
dagi 
hosilasi bir nechta 
(hatto, cheksiz ko‘p) bo‘lishi mumkin. Bu 
qiymatlar, ravshanki, 
ga 
nisbatan 
tenglamaning yechimlaridan iborat bo‘ladi. Agar 
bo‘lsa, 
integral chiziq 
nuqtadan 
yo‘nalishida o‘tadi (chiqadi) deyiladi. Agar 
nuqtadan 
yo‘nalishida 
bitta yechim o‘tsa, bu yechim yagona deyiladi; bu holda shu nuqtadan boshqa 
yo‘nalishlarda yechimlar o‘tishi mumkin.
Quyidagi teorema (1) tenglama uchun Koshi masalasi yechimining 
mavjudligi va yagonaligini ta’minlovchi yetarli shartlarni beradi.
Teorema
. Agar
1. 
, 
2. 
funksiya 
nuqtaning biror atrofida o‘zining 
birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz ( 
), 
3. 
( , , )
0
F x y y
 
( , , )
0
F x y y
 
1
2
( , , )
( , , )
F x y y
F x y y



( , , )
F x y p
1
( , , )
F x y p
2
( , , ))
F x y p
, ,
x y p
( )
y
y x

( )
y
y x



y

( , )
x y
F
p
p
F
0
0
( , ,
)
0
(
)
F x y y
y x
y
 




( )
y x
0
x
x

0
0
( )
y x
p


0
p
p
0
0
(
,
, )
0
F x y p

0
0
(
)
y x
p


( )
y
y x

0
0
(
,
)
x y
0
0
(
)
p
y x


0
0
(
,
)
x y
0
p
0
0
0
(
,
,
)
0
F x y p

( , , )
F x y p
3
0
0
0
(
,
,
)
x y p

1
C

0
0
0
(
,
,
)
0
F x y
p
p




---

87
shartlar bajarilsa , u holda (2) Koshi masalasi 
nuqtadan 
yo‘nalishda 
o‘tuvchi yagona 
yechimga 
ega; bu yechim 
nuqtaning yetarli kichik atrofida aniqlangan bo‘ladi.
Misol 1.
Ushbu 
2
(2
)
2
0
(0) 1
y
x
y y
xy
y










Koshi masalasini tekshiraylik. Bu misolda 
2
( , , )
(2
)
2
F x y p
p
x
y p
xy




. 
Yechimning 
0
x

nuqtadagi 
0
(0)
p
p
y



yo‘nalishi 
2
(0,1, )
0
(
1)
0
F
p
p
p
p p

  
 
tenglamadan topiladi. Bundan 
0
p
uchun 
0
0
p

va 
0
1
p

qiymatlarni topamiz. 
1
3
(
)
F
C

ekanligi ravshan. 
2
2
F
p
x
y
p





hosila 
0
0
0
( ,
,
)
(0,1,0)
x y p

va 
0
0
0
( ,
,
)
(0,1,1)
x y p

nuqtalarda nolga aylanmaydi: 
(0,1, 0)
(0,1,1)
1 ,
1 .
F
F
p
p


 



Demak, berilgan Koshi masalasi 
(0)
0
y


va 
(0)
1
y


yo‘nalishlarda 
o‘tuvchi (har bir yo‘nalishda bittadan) ikkita yechimga ega. Qaralgan Koshi 
masalasini elementar funksiyalarda yechish mumkin. Berilgan differensial 
tenglamaning chap tomonini ko‘paytuvchilarga ajratib, quyidagi ikki masalaga 
kelamiz: 
(0) 1
y
y
y
 




,
2
(0)
1
y
x
y
 




Bularni yechib, qo‘yilgan Koshi masalasining ikki dona 
x
y
e

va 
2
1
y
x


yechimlarini hosil qilamiz. 
II
. 
(1)
tenglamaning maxsus yechimi
deb uning shunday yechimiga 
aytiladiki, bu yechim grafigining har bir nuqtasidan shu integral chiziqqa 
(grafikka) urinib, boshqa bir yechim grafigi ham o‘tadi; maxsus yechim 
grafigining har bir nuqtasida Koshi masalasi yechimining yagonalik xossasi 
buziladi. 
II
.
1. 
Dastlab (1) tenglamaning xususiy holi bo‘lgan ushbu 
( , )
0
y
f x y
 

(1*) 
tenglamaning maxsus yechimini topishda to‘xtalaylik. (1*) tenglama uchun 
Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremadan 
quyidagi tasdiq kelib chiqadi. 
0
0
(
,
)
x y
0
p
( )
y
y x

0
0
0
0
(
(
),
(
))
y
y x
p
y x



0
x
x


---

88
Teorema
. (maxsus yechim uchun zaruriy shart). Faraz qilaylik, (1*) dagi 
( , )
f x y
funksiya 
2
D

ochiq yoki yopiq sohada uzluksiz bo‘lsin. Agar (1*) 
tenglamaning maxsus yechimi mavjud bo‘lsa, u holda bu yechim grafigi 
(maxsus integral chiziq) atrofida 
( , )
f x y
funksiya 
y
bo‘yicha Lipshits 
shartini qanoatlantirmaydi. Bunday nuqtalar atrofida 
f
y


xususiy hosila 
chegaralanmagan bo‘ladi. 
Shunday qilib, 
y
bo‘yicha Lipshits sharti qanoatlanmaydigan 


y
f
  
egri chiziqni topib, uning
a) integral chiziqligini 
b) har bir nuqtasidan boshqa integral chiziq unga urinib o‘tishini 
asoslasak, u holda topilgan egri chiziq (1*) ning maxsus integral chizig‘ini 
beradi. 
Misol 2.
Ushbu 
2
3
y
y
 
differensial tenglamaning maxsus yechimlarini 
toping. 

Berilgan tenglama uchun
2
3
( , )
f x y
y

funksiya 
2
da uzluksiz. Ushbu
3
2
3
f
y
y



xususiy hosila esa 
0
y

to‘g‘ri chiziq atrofida chegaralanmagan. Demak, agar 
maxsus yechim mavjud bo‘lsa, u 
0
y

to‘g‘ri chiziq(yoki uning qismi)dan 
iborat bo‘ladi.
a) 
0
y

ning berilgan tenglama yechimi ekanligi ravshan.
b) endi bu yechimni maxsuslikka tekshiramiz, ya’ni 
0
y

to‘g‘ri chiziq 
nuqtalaridan berilgan tenglamaning boshqa integral chiziqlari unga urinib 
o‘tishini (yoki o‘tmasligini) aniqlaymiz. Buning uchun berilgan tenglamada 
o‘zgaruvchilarni ajratib, uni integrallaymiz: 
2
3
dy
dx
y

(tenglamaning har ikkala 
tomonini 
2
3
y
ga bo‘lishda 
0
y

yechim yo‘qoladi, lekin bu yechimni biz bilamiz).
1
3
3
y
x с
 
, 
3
(
)
27
x с
y


. 
Oxirgi tenglik, ravshanki, berilgan tenglamaning ( ,0)
c
nuqtadan o‘tuvchi yechimini 

---

89
ifodalaydi. Bu yechim shu 
( , 0)
c
nuqtadan o‘tuvchi 
0
y

yechimga urinadi:
3
2
1
1
(
)
(
)
27
9
(
)
x
с
x с




hosila 
x
c

da 0 ga teng. 
7.1- rasm. 
2
3
y
y
 
tenglamaning yechimlari. 
Demak, 
0
y

berilgan tenglamaning maxsus yechimi (7.1- rasm). 

Misol 3.
Ushbu 
2
3
1
y
y
 

tenglamaning maxsus yechimlarini toping. 

Berilgan tenglamada 
2
3
( , )
1
f x y
y


va 
3
2
3
f
y
y



. Demak, agar 
maxsus yechim mavjud bo‘lsa, y, albatta 
0
y

dan (yoki uning qismidan) 
iborat bo‘lishi kerak. Lekin 
0
y

(har qanday 
I
oraliqda), berilgan 
tenglamaning yechimi emas. Shuning uchun berilgan tenglamaning maxsus 
yechimi yo‘q. 

II
.
2. 
Endi 
( , ,
)
0
F x y y
 
ko‘rinishda berilgan differensial tenglamaning 
maxsus yechimlarini topish yo‘llari bilan tanishaylik. Faraz qilaylik, 
( , , )
F x y p
funksiya 
3
D

sohada 
1
C
sinfga tegishli bo‘lsin, u holda yuqorida keltirilgan 
teoremaga ko‘ra (1) tenglamaning maxsus yechimlari
( , , )
0
( , , )
0
F x y p
F x y p
p









(3) 
shartlarni qanoatlantiradi. (3) sistemani qanoatlantiruvchi 
2
( , )
x y

(tekislikdagi) nuqtalar to‘plami (1) tenglamaning 
p
-diskriminant chizig‘i 
deyiladi. U bir nechta chiziqlar (shoxlar) birlashmasidan iborat bo‘lishi 
mumkin. 
p
-diskriminant chiziq tarkibida, umumiy holda, maxsus yechim 
nuqtalaridan tashqari yechimlar grafiklarining urinish nuqtalari (7.2- rasm) 
hamda qaytish nuqtalari (7.3- rasm) ham bo‘lishi mumkin.

---

90
7.2- rasm. Yechimlar grafiklarining urinish nuqtalari. 
7.3- rasm. Qaytish nuqtalari. 
Shunday qilib, agar 
1
( )
F
C D

bo‘lsa, u holda 
( , ,
)
0
F x y y
 
differensial tenglama maxsus yechimlarini bu tenglamaning 
p

diskriminant 
chizig‘i orasidan qidirish kerak. Bundan maxsus yechimni topish uchun 
quyidagi qoida kelib chiqadi:
1
0
. Dastlab (3) sistemadan 
p
-diskriminant chiziqni aniqlash .
2
0
. 
p
-diskriminant chiziqni (uning shoxlarini) (1) tenglamaning yechimi 
bo‘lishga tekshirish. 
3
0
. Yechim bo‘lgan 
p
-diskriminant chiziq shoxlarini (1) tenglamaning 
maxsus yechimi bo‘lishga (bo‘lmaslikka) tekshirish. 
Misol 4.
Ushbu 
2
4
0
y
xy
y



 
differensial tenglamaning maxsus yechimlarini toping. 

Berilgan tenglama uchun 
p
-diskriminant chiziqni topamiz: 
2
( , , )
4
0
( , , )
2
4
0,
F x y p
p
xp
y
F x y p
p
x
p



 









;
2
4
0
2 ,
p
xp
y
p
x


 



;
2
/ 2
.
x
p
y
p



 

Oxirgi sistema 
p
-diskriminant chiziqning parametrik tenglamasidir. Bu 
yerda 
p
ni yo‘qotib 
p
-diskriminant chiziqning ushbu
2
4
y
x
 
oshkor ko‘rinishdagi tenglamasini hosil qilamiz. Lekin bu funksiya berilgan 
tenglamaning yechimi emas:
2
2
2
2
4
( 8 )
4 ( 8 ) ( 4
) 100
0
y
xy
y
x
x
x
x
x



  


 



Demak, berilgan differensial tenglamaning maxsus yechimi yo‘q. 


---

91
Misol 5.
Differensial tenglamaning maxsus yechimlarini toping
2
2
0
xy
yy
x



 
. 

p
-diskriminant chiziq ushbu
2
( , , )
2
0
( , , )
2
2
0
F x y p
xp
yp
x
F x y p
xp
y
p



 









sistemadan topiladi. Sistemaning ikkinchi tenglamasidan 
/
p
y x

ni topib 
birinchisiga qo‘yamiz va
2
2
0
y
x


tenglikni hosil qilamiz. Demak, maxsus 
yechim bo‘lishi mumkin (maxsus yechimlikka nomzod) bo‘lgan funksiyalar 
y
x
 
. Bu funksiyalarni berilgan tenglamaga qo‘yib, ularning yechim 
ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Endi biz bu yechimlarni maxsuslikka 
tekshirishimiz kerak. Buning uchun 
y
x
 
yechimlar grafiklari nuqtalaridan 
ularga urinib boshqa yechim o‘tishini (yoki o‘tmasligini) aniqlashimiz lozim. 
Berilgan tenglamadan 
y

ni topaylik: 
2
2
y
y
x
y
x


 
Bu tenglama o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli. Uni 
y
xu

almashtirish yordamida yechamiz:
2
,
1
y
u
xu
u
xu
u
u



 

 

, 
2
1
du
dx
x
u



, 
2
ln
1
ln
ln
(
0),
u
u
x
c
c


 


2
1
/
(
0)
u
u
x c c

 

. 
Bu yerdan radikalni yo‘qotamiz:
2
2
1
,
1
,
1
c
c
u
u
x
x
u
u

 


2
x
c
u
c
x
 
. 
Oxirgi tenglikda 
/
u
y x

deb, dastlabki noma’lum 
y
ga qaytamiz: 
2
2
,
2
2
y
c
x
x
c
y
x
x
c
c
 


. 
Bir parametrli yechimlar oilasi hosil bo‘ldi. 
y
x

to‘g‘ri chiziq nuqtasi 
bo‘lmish ( , )
a a


0
a

dan o‘tuvchi yechimni aniqlaylik: 
2
2
2
x
c
y
c
a
c

  
Demak, 
y
x

yechimning ixtiyoriy ( , )
a a


0
a

nuqtasidan 
2
2
2
x
a
y
a


yechim 
o‘tadi (bu yechim 
y
x

yechimdan farqli) 
( )
1
y a


bo‘lgani uchun bu yechim 

---

92
y
x

yechimga urinadi. Shuning uchun 
y
x

(
0
x

yoki 
0)
x

berilgan 
tenglamalarning maxsus yechimi. Ravshanki, 
y
x
 
yechim grafigining 
ixtiyoriy ( ,
)
a
a



0
a

nuqtasidan berilgan tenglamaning bu yechimdan 
boshqa 
2
2
2
x
a
y
a
 

yechimi 
y
x
 
ga urinib o‘tadi. Demak, 
y
x
 
(
0
x

yoki 
0)
x

ham berilgan tenglamaning maxsus yechimi (7.4- rasm). 

7.4-rasm. 
2
2
2
x
c
y
c


oila va 
y
x
 
chiziqlar. 
Izoh.
y
x

va 
y
x
 
maxsus yechim emas, chunki 
0,
0
x
y


nuqtada 
unga urinib boshqa yechim o‘tmaydi.To‘rtta maxsus yechim bor:
y
x

, 
0
x

; 
y
x

, 
0
x

; 
y
x
 
, 
0
x

va 
y
x
 
, 
0
x

.