Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

1.
 
2
3
4
(
)
(
)
0
x
xy dy
y
xy dx




. [qismlarga ajrating] 
2.
 
(ln
2 ln
1)
2
0
x
y
x
dy
ydx




.
 
2
(
)
xy
 





3.
 
3
(
3ln )
0
x
y ydx
xdy



. [
ln
u
y

belgilash kiriting] 
4.
 
2
2
(
)
(
)
0
y x
y dx
x xdy
ydx




. 
3
x

ga bo‘ling va shakl almashtiring

5.
 
5
3
2
2
(
ln
2
)
3
0
x
x
xy dx
x y dy



. 


( )
x
 

 
6.
 
2
(
)
(
4)
0
y x
y dx
xy
dy




. 


( )
y
 

 
7.
 
(
sin
sin )
cos
0
x
x
y dx
y dy





. 


( )
x
 

 
8.
 


3
3
2
sin
2
3
0
x
x
y
dx
xy dy



.


( )
x
 

 
9.
 




cos
sin
sin
cos
0
x
y
y
y dy
x
y
y
y dx




.


( )
x
 

 
10.
 


2
2
2
2
ln
1
0
xy
y dx
x
y
y
dy
 



.
 


( )
y
 

 
11.
 
2
2
2
2
2
0
(
)
(
)
x y
y dx
x y
x dy




.
 


(
)
xy
 

 
12.
 

 

2
3
3
2
0
x y
y dx
x y
x dy




. 


(
)
xy
 

 

---

75
13.
 
2
2
2
2
1
1
4
4
0
x
dx
y
dy
x
y
x
y


















. 
2
2
(
)
x
y
 






 
14.
 
2
2
2
2
0
y
x
dx
y dy
x
y
x
y













.
 


( )
y
 

 
15.
 


2
(
)
0
xy
y dx
y
x dy

 

. 


( )
y
 

 
16.
 
2
(3
tg
)
0
y dx
xy
xy dy



. 

(2
tg
)
xy
xy

ga bo‘ling va 
( )
y



?
17.
 
2
3
(
2
)
0
y dx
xy
x dy



. 


( )
x
 

18.
 


2
2 ln
x
y ydx
xdy


. [
ln
u
y

belgilash kiriting va 
( )
x



?] 
19.
 
2
(
)
(
4)
0
y x
y dx
xy
dy




.


( )
y
 

 
20.
 


2
2
1
0
x
y dx xydy
 


.
 


( )
x
 

21.
 

 

2
2
6
2
2
5
8
0
x
y
y
dx
y
xy
x dy






.
 
[qismlarga ajrating]
 
22.
 
2
3
(3
)
(2
6
)
0
y
x dx
y
xy dy




. 
2
(
)
x
ay
 






23.
 
2
2
(
1)
2
0
x
y
dx
xydy




. 


( )
x
 

24.
 


3
2
2
2
(
)
0
xy
y dx
x
x y dy

 

. 
3
2
(
)
x y
 





 
25.
 
tg
2
0
(
)
xy
ydx
x
dy
y



. 


(
)
xy
 

26.
 
2
(2
)
0
x
x
y dx dy




. 
2
(
)
x
y
 






27.
 
2
3
3
2
2
0
(
)
(
)
x y
y dx
x y
x dy




. 


(
)
xy
 

28.
 
cos
3
0
(
)
y
ydx
x
dy
y



. 


( )
y
 

29.
 
2
(
ln )
(2
)
0
y
x dx
yx
x dy




. 


( )
x
 

30.
 
4
2
2(
sin
)
sin 2
0
x
y dx
x
ydy



. 


( )
x
 

31.
 
2
(
1)
(
)
0
y xy
dx
y
x dy




. 


( )
y
 

32.
 
2
3
(
)
(
)
0
y x
x y
y dx
x y
x dy





.
2
(
)
xy
 

33.
 
2
2
(
2
)
(3
)
0
x
x
y dx
x y
x dy





. 


( )
x
 

34.
 
2
ln
0
(
)
x
x
xy
dy dx
y



. [
(
/
)
y x

] 

---

76
35.
 
2
2
(
)
(
)
0
x
x
y dx
x y
x dy
 



. 


( )
x
 

36.
 
4
0
(
)
x
e
ydx
dy
y



. 
(
3 )
x
e
y
 






37.
 
2
2
(
)
(2
1)
0
x
y
y dx
x
y
dy





. 


( )
x
 

38.
 
(2
ln
ln
)
0
ydx
x
x
y dy




. 


( )
x
 

39.
 
2
2
0
(
)
y
ydx
x e
dy



. 


( )
y
 

40.
 
3
2
2
0
(
)
(
)
xy
x dx
x
xy
dy




. 


( )
x
 

6. BIRINCHI TARTIBLI NORMAL KO‘RINISHDAGI 
DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN KOSHI MASALASI 
YECHIMINING MAVJUDLIGI VA YAGONALIGI 
Maqsad 
– birinchi tartibli normal ko‘rinishdagi differensial tenglama 
uchun Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi 
teoremani o‘rganish 
Yordamchi ma’lumotlar: 
Ushbu
( , )
dy
f x y
dx

yoki
( , )
y
f x y
 
ko‘rinishdagi tenglama 
birinchi tartibli normal ko‘rinishdagi differensial 
tenglama 
(yoki qisqacha: 
normal tenglama
) deyiladi. 
( , )
f x y
funksiyani biror 
2
E

to‘plamda qaraylik (
( )
E
D f

). Agar 


1
2
1
2
1
2
0
( , ),( ,
)
( , )
( ,
)
L
x y
x y
E
f x y
f x y
L y
y
  




shart bajarilsa, u holda 
( , )
f x y
funksiya 
E
to‘plamda 
y
ga nisbatan (yoki 
y
bo‘yicha) 
Lipshits shartini qanoatlantiradi
deyiladi. 
Ushbu
0
0
( , )
|
x
y
f x y
y
y
 




(K) 
Koshi masalasini qaraylik. 
Teorema (to‘rtburchakda MYaT). 
Faraz qilaylik, 
( , )
f x y
funksiya 




2
0
0
( , )
,
0,
0
Τ
x y
x x
a y y
b
a
b








to‘rtburchakda uzluksiz va 
y
ga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantiruvchi 
bo‘lsin. ( , )
f x y
funksiya 
T 
da 
0
M

soni bilan yuqoridan chegaralangan deylik: 
( , )
( , )
(
0)
x y
T
f x y
M
M




. 

---

77
h
bilan 
,
min
b
h
a
M







musbat sonni belgilaylik. 
U holda (K) Koshi masalasi 
0
0
;
x
h x
h






oraliqda yagona 
( )
y
x


yechimga ega. Bu yechim ushbu 
0
0
0
0
1
( )
,
( )
( ,
( ))
,
,
x
n
n
x
y x
y
y x
y
f s y
s ds
n






(1) 
funksional ketma-ketlikning 
0
да
n
x
x
h
 


oraliqdagi tekis limitidan 
iborat. 
( )
y
x


yechim bilan 
( )
n
y x
n

yaqinlashish orasidagi farq uchun 
1
0
0
( )
( )
,
;
(
1)!
n
n
n
ML
x
y x
h
x
x
h x
h
n












, (2) 
baho o‘rinli. 
Quyidagi funksiyani 
y
ga nisbatan Lipshits shartini qanoatlantiruvchi 
bo‘lishi uchun yetarli shartni beradi. 
Jumla
. Agar 
( , )
f x y
funksiya yuqorida aniqlangan 
T
to‘rtburchakda 
uzluksiz bo‘lib, uning ichki nuqtalarida chegaralangan 
f
y


xususiy hosilaga ega 
bo‘lsa, u holda ( , )
f x y
funksiya 
T
da MYaT ning shartlarini qanoatlantiradi.