|
Integrallovchi ko‘paytuvchi
. Aytaylik, (1) tenglama uchun bir bog‘lamli
D
sohada (6) shart bajarilmasin. U holda bu tenglama to‘la differensialli
bo‘lmaydi. Lekin biz uni
D
sohada nolga aylanmaydigan biror
( , )
х у
silliq funksiyaga ko‘paytirib, to‘la differensialli tenglamani hosil qilishga
harakat qilishimiz mumkin. Ushbu
0
Mdx
Ndy
(14)
tenglamaning to‘la differensialli bo‘lishi uchun
D
sohada
(
)
(
)
д
д
M
N
ду
дх
(15)
shart bajarilishi kerak. Bu yerdagi
funksiya (1) tenglama uchun
integrallovchi ko‘paytuvchi deb ataladi. Oxirgi shartni
(
)
д
д
дМ
дN
N
M
дх
ду
ду
дх
(16)
ko‘rinishga keltiraylik. Bu tenglik
funksiyaga nisbatan xususiy hosilali
tenglamani ifodalaydi. (16) tenglamaning yechimlarini ba`zi hollarda osongina
topish mumkin.
Faraz qilaylik,
ni biror ma’lum
( , )
х у
funksiyaning funksiyasi
sifatida topish mumkin bo‘lsin, ya’ni
( )
,
( , )
х у
, bo‘lsin. Bu holda
(16) tenglama
дМ
дN
d
ду
дх
д
д
d
N
М
дх
ду
ko‘rinishga keladi. Bu tenglama
( )
ko‘rinishdagi yechimga ega bo‘lishi
uchun
63
дМ
дN
ду
дх
д
д
N
М
дх
ду
(17)
ifoda
ning funksiyasi kabi ifodalanishi, ya’ni
( )
bo‘lishi kerak. Bu
holda integrallovchi ko‘paytuvchi uchun tenglama
( )
d
d
ko‘rinishni olib, u
( )
d
e
(18)
yechimga ega.
Shunday qilib, agar (17) ifoda faqat
ning funksiyasi sifatida ifodalansa,
u holda (1) tenglama uchun (18) ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchi
mavjud.
Masalan,
( )
х
(
( ))
у
ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchi
mavjud bo‘lishi uchun
дМ
дN
ду
дх
N
дМ
дN
ду
дх
М
ifoda
x
o‘zgaruvchiga (
y
o‘zgaruvchiga) bog‘liq bo‘lmasligi, ya’ni u faqat
x
ga (
y
ga) bog‘liq bo‘lishi kerak. Bu holda
( )
( )
( )
( ( )
)
х dx
y dy
х
е
y
e
ko‘rinishdagi integrallovchi ko‘paytuvchi mavjud.
Ba’zan berilgan differensial tenglama uchun integral ko‘paytuvchini
tenglamani qismlarga ajratib, har bir qism uchun integrallovchi ko‘paytuvchini
topish yordamida qurish mumkin. Aytaylik, berilgan tenglamani ushbu
1
1
2
2
(
) (
)
0
М dx N dy
M dx N dy
(19)
har bir qismining integrallovchi ko‘paytuvchisi osongina topiladigan
ko‘rinishda yozish mumkin bo‘lsin:
1
1
1
1
2
2
2
2
(
)
,
(
)
.
M dx
N dy
du
M dx
N dy
du
Ravshanki,
1
bilan birgalikda
1
1
( )
u
ham mos tenglamaning integrallovchi
ko‘paytuvchisidir, chunki
64
1
1
1
1
1
1
1
1
( ) (
)
( )
( )
u
M dx
N dy
u du
d
u du
.
Buni hisobga olgan holda shunday
1
( )
u
va
2
( )
u
funksiyalarni topaylikki,
ular uchun
1
1
2
2
( )
( )
u
u
munosabat o‘rinli bo‘lsin. U holda berilgan (19) tenglamaning har ikkala
tomonini
1
1
2
2
( )
( )
u
u
integrallovchi ko‘paytuvchiga ko‘paytirib,
1
1
2
2
( )
( )
0
u du
u du
tenglamani hosil qilamiz. Bu to‘la differensialli tenglama osongina yechiladi
va berilgan (19) tenglamaning yechimlari topiladi:
1
1
2
2
( )
(
)
u du
u du
c
.
Ba’zi hollarda differensial ifodani to‘la differensialga keltirish uchun
quyidagi jadvaldan foydalanish mumkin:
Differensial
ifoda
Integrallovchi
ko‘paytuvchi
( , )
х у
To‘la differensial
ydx
xd y
2
1
x
2
( )
ydx
xd y
y
d
x
x
ydx
xd y
2
1
y
2
( )
yd x
xd y
x
d
y
y
ydx
xd y
1
xy
ln
| |
(
)
ydx
xd y
y
d
x
xy
ydx
xd y
2
2
1
x
y
2
2
arctg
( )
(
)
yd x
xd y
y
d
x
x
y
ydx
xd y
1
xy
ln |
|
(
)
ydx
xd y
d
xy
xy
ydx
xd y
1
(
)
a
xy
,
1
a
1
1
(
)
(
1)(
)
(
)
a
a
yd x
xd y
d
xy
a
xy
ydx
xd y
2
2
1
x
y
2
2
2
2
1
ln(
)
2
(
)
yd x
xd y
d
x
y
x
y
ydx
xd y
2
2
1
,
1
(
)
a
a
x
y
2
2
1
2
2
1
2(
1)(
)
(
)
(
)
a
a
yd x
xd y
d
a
x
y
x
y
( ,
const)
yd x
xd y
1
1
x
y
1
1
(
)
(
)
x
y
ydx
xd y
d x y
65
Misol 2.
Ushbu
3
2
(
)
0
x
y dx
ydy
(20)
dfferensial tenglamani yeching.
Berilgan tenglamada
3
2
2
,
,
M
x
y
N
y D
. Demak,
2 .
M
N
y
y
x
Ushbu
2
M
N
y
x
N
ifoda
y
ga bog‘liq emas. Demak, berilgan tenglama
( )
x
ko‘rinishdagi
integrallovchi ko‘paytuvchiga ega. Bu
( )
x
funksiya
( ) ,
d
x
dx
ya’ni
2
d
dx
tenglamani qanoatlantiradi. Oxirgi tenglamadan
2
x
e
integrallovchi ko‘paytuvchini topamiz. Endi berilgan tenglamani
2
x
e
ga
ko‘paytirib, to‘la differensialli tenglama hosil qilamiz:
2
3
2
2
(
)
0
x
x
e
x
y dx
e ydy
.
Bu tenglamaning yechimi
( , )
u x y
c
ko‘rinishga ega. Bunda
u
potensial uchun
2
3
2
(
),
x
u
e
x
y
x
(21)
2
x
u
e y
y
(22)
bo‘lishi kerak. (22) tenglikni
y
bo‘yicha integrallab topamiz:
2
2
1
( ),
2
x
u
e y
x
(23)
bunda ( )
x
hozircha noma’lum funksiya . (23) ni (21) ga qo‘yib, ( )
x
uchun
tenglama hosil qilamiz:
2
2
2
3
2
( )
(
)
x
x
e y
x
e
x
y
yoki
2
3
( )
.
x
x
e x
66
Bu munosabatdan bo‘laklab integrallash yordamida noma’lum funksiya
( )
x
ni topamiz:
2
3
3
2
2
3
2
3
2
3
2 2
1
1
1
1
3
( )
(
)
(
)
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
e x dx
x d e
e x
e d x
e x
x e dx
2
3
2
2
2
2
1
3
3
3
.
4
4
8
2
x
x
x
x
e x
e x
e x
e
Buni (23) ga qo‘yib,
u
potensialni aniqlaymiz
2
2
2
3
2
2
2
2
1
1
3
3
3
4
4
8
2
2
x
x
x
x
x
u
e y
e x
e x
e x
e
.
Demak, berilgan (20) tenglamaning yechimlari
2
2
3
2
(4
4
6
6
3)
x
e
y
x
x
x
c
tenglik bilan oshkormas ko‘rinishda ifodalanadi.
Misol 3.
Differensial tenglamani yeching
2
(
)
(
)
0
x
xy dx
y
x dy
.
(24)
Berilgan tenglamada
2
,
M
x
xy
N
y
x
,
2
дM
дN
x
x
ду
дх
va u to‘la differensialli emas. Integrallovchi ko‘paytuvchi
uchun quyidagi
shartni topamiz:
2
(
)
(
)
y
x
x
xy
y
x
,
2
(1
)
(
)
3
y
x
x
y
y
x
x
.
Oxirgi tenglikdan faqat
y
ga bog‘liq
( )
y
integrallovchi ko‘paytuvchi
mavjudligini ko‘ramiz:
3
1
(1
)
3
(1
)
d
y
dy
y
(
1
y
).
Berilgan tenglamani
3
1
(1
)
y
ga ko‘paytirib, to‘la differensialli tenglamani
hosil qilamiz:
2
2
3
0
(1
)
(1
)
x
y
x
dx
dy
y
y
.
Bu tenglamaning
( , )
u
u x y
potensiali uchun
2
2
3
,
(1
)
(1
)
u
x
u
y
x
x
y
y
y
shartlardan
u
ni topamiz:
67
2
2
1
1
1
2(
1)
x
u
y
y
.
Demak, qaralayotgan (24) tenglamaning yechimi
u
c
, ya’ni
2
2
1
1
1
2(
1)
x
c
y
y
.
munosabat bilan oshkormas ko‘rinishda beriladi. Oxirgi tenglikda quyidagi
shakl almashtirishlarni bajaramiz:
2
2
1 2
2
2 (
1) ,
x
y
c y
2
2
2
2
2 (
1)
2
1,
x
y
c y
y
y
2
2
2
(2
1)(
1) .
x
y
c
y
Bu yerdagi
2
1
c
ni yangi o‘zgarmas
1
/
c
bilan belgilab, yechimni
2
2
2
(
)
(
1)
c x
y
y
tenglama bilan oshkormas ko‘rinishda ifodalaymiz.
Oxirgi tenglik yo‘qolgan
1
y
yechimni ham o‘z ichiga olgan (
0
c
da).
Javob:
2
2
2
(
1)
(
)
y
c x
y
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
