Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

1.
 
tg
,
( )
2
cos
4
x
y
y x
y
x

 


.
2.
 
2
2
2
1
x
yy
x
y
x
  

2
(
)
u
y

. 
3.
 
2
(sin
ctg )
1
y
x
y y



(
( ))
x
x y

. 
4.
 
(
)
0
x
xy
e dx
xdy



. 
5.
 
(2
)
2
y
e
x y



. 
6.
 
,
(0) 1
x
x
y
e y
e
e
y


 


. 
7.
 
3
(
2
)
x
y y
y



, 
(
( ))
x
x y

. 
8.
 
3
(
sin
)
2
0 (
( )).
y x
y
x
y
x
x y

 


9.
 
(
1) ln
2
xy
x
y
 

. 
10.
 
2
(3
)
(
( ))
x
y
y
y
x
x y




. 
11.
 
2
2
sin
sin
cos
, ( )
0
2
x
y
x
y
x
y
x





12.
 
1
tg
,
( )
2
sin
4
y
y x
y
x

 


. 
13.
 
2
2(
)
0
x
y dy
ydx



. 
14.
 
(
cos
sin 2 )
1
x
y
y y




. 
15.
 
( tg
1)
1 / cos
x
y
y
y



. 
16.
 
2
ctg
cos
yy
y
x
x
 

. 
17.
 
,
(1)
0.
x
xy
y
e
x
y
   

18.
 
1,
(0)
.
x
y
y
e
y
e
   

19.
 
,
(0) 1
x
x
y
y
e
e
y

   

. 
20.
 
2
(
)
0
dy
xy
x dx



. 
21.
 
1
cos
sin 2
2
y
x y
x
 
 
. 
22.
 
2
2
(
ctg )
ctg
0
sin
u
y
x
y
y
x
y

 


23.
 
2
,
(0) 1.
x
x
y
e y
e
e
y


 


24.
 
ln
0
(
ln )
xy
y
y
xy
u
y
 



. 
25.
 
(
sin )
0
y
x dx
xdy



. 
26.
 
(
1
)
0
x
y dx
xdy
 


. 
27.
 
,
(1) 1
xy
y
x
y
  

. 
28.
 
ctg
1sin
y
y
x
x
x
  


. 
29.
 
2
y
y
xe y
e
x
 

(
)
y
u
e

. 
30.
 
2
1 0,
(1) 1.
y
y
y
x
 
 

31.
 
2
4
2
,
(0) 1
y
xy
x
x
y
 



. 
32.
 
2 2
2
x
y
y
y e
 

33.
 
3
(
( ))
(
sin
)
2
0
x
x y
y
x
y
x
y


 

34.
 
2
2
,
(0) 1 2.
/
x
y
y
y e
y
 


35.
 
2
4
,
(1) 1
xy
y
x
y
y
 


. 
36.
 
2
ln ,
(1) 1.
xy
y
y x
x
y
  

37.
 
2
2
2
(
1)
0 (
( ),
( )
( ))
x
y
y
xy
x
x y
u
u y
x
y








.
38.
 
2
(2 2
)
0
xdx
y
x dy
 


(
2
2 2
u
y
x
 

). 
39.
 
2
2
4
xy
x
y
y
 

(
y
u

almashtirish bajaring
).
40.
 
2
2
2
9
y
xy
x y
x
 


(xususiy yechim tanlang, 
1
/
y
y
a x
 
).
II. 
Matematik modeli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 
bilan ifodalanuvchi masalalardan namunalar keltiring. 

---

60
5. TO‘LA DIFFERENSIALLI VA UNGA KELTIRILUVCHI 
TENGLAMALAR 
Maqsad 
– to‘la differensialli tenglamani yechishni va integrallovchi 
ko‘paytuvchini topish usullarini o‘rganish. 
Yordamchi ma’lumotlar: 
To‘la differensialli tenglamalar
. Agar 
( , )
( , )
0
М х у dx N x y dy


(1)
tenglamaning chap tomonidagi differensial ifoda potensial deb ataluvchi biror 
( , )
u
u х у

funksiyaning to‘la differensialidan iborat, ya’ni
( , )
( , )
( , )
du x y
М х у dx N x y dy


(2)
bo‘lsa, u holda 
(1)
tenglama 
to‘la 
(
to‘liq
)
 differensialli tenglama 
deyiladi. Bu 
yerdagi 
М
va 
N
funksiyalar tekislikdagi biror 
D
sohada aniqlangan. Biz 
ularni hamda 
дM
ду
va 
дN
дх
xususiy hosilalarni uzluksiz deb hisoblaymiz. 
Aytaylik, (1) tenglama to‘la differensialli bo‘lsin. U holda uni
( , )
0
du x y

(3)
ko‘rinishda yozishimiz mumkin. Bu tenglik sohada (ochiq va bog‘lanishli 
to‘plamda) o‘rinli bo‘lgani uchun undan
( , )
u x y
c

(
const)
c

(4)
munosabat kelib chiqadi. Demak, (1) tenglamaning 
( )
y
y x

yoki 
( )
х х у

yechimi 
(4)
tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha, 
(4)
tenglik aniqlovchi 
( )
y
y x

yoki 
( )
х х у

uzluksiz differensiallanuvchi funksiya (1) ni qanoatlan-
tiradi. Shunday qilib, (1) tenglamaning yechimlari (4) munosabat bilan 
oshkormas ko‘rinishda beriladi. Demak, to‘la differensialli tenglama (1) ni 
yechish mos potensial 
u
ni topishga keltiriladi.
(2)
tenglikka ko‘ra 
u
u
du
dx
dy
Mdx
Ndy
х
у








. 
Bundan differensialning yagonalik xossasiga ko‘ra
,
дu
M
дх

.
дu
N
ду

(5)
2
M
u
у
y x




 
va 
2
N
u
х
x y




 
xususiy hosilalar uzluksiz bo‘lgani uchun analizdan 
ma’lum teoremaga ko‘ra 
2
2
д u
д u
дх y
дy x



va (5) tengliklardan ushbu 

---

61
дM
дN
ду
дх

(6)
munosabatni topamiz. Bu (6) tenglik (1) ning to‘la differensialli tenglama 
bo‘lishi uchun zaruriy shartni ifodalaydi. 
Eslatma.
Agar bir bog‘lamli 
D
sohada 
,
,
,
( )
y
x
M N M
N
C D

 
va (6) 
shartlar o‘rinli bo‘lsa, 
u
potensialni egri chiziqli integral yordamida topsa 
bo‘ladi. Bu tasdiq matematik analiz kursida isbotlanadi. 
Ba’zan 
u
potensialni topishda (5) sistema tenglamalarini ketma-ket 
yechish qulayroq bo‘ladi. 
Misol 1.
Ushbu 
2
2
2
(
)
0
хуdx
x
y dy



(8)
tenglamani yeching. 

Qaralayotgan misolda 
2
2
2
( , )
2
,
( , )
,
,
M x y
xy
N x y
x
y
D




2
.
дM
дN
x
ду
дх


Demak, berilgan tenglama 
2
D

sohada to‘la differensialli. 
u
potensial 
uchun (5) shartlar qanoatlanishi kerak: 
2
,
дu
ху
дх

(9)
2
2
дu
х
у
ду


. (10)
(9) tenglikni (
x
bo‘yicha) 0 dan 
x
gacha integrallaymiz (
y
tayinlangan): 
2
0
2
( )
( );
x
u
syds
y
x y
y







(11)
bunda
( )
y

hozircha noma’lum funksiya . (11) ni (10) ga qo‘yamiz: 
2
2
2
( )
.
х
y
x
y





(12)
Bu tenglikni 
0
dan 
y
gacha integrallaymiz (
x
tayinlangan): 
3
( )
.
3
у
у


(13)
(integrallash doimiysini nolga teng deb oldik; bizga biror potensial kerak!). 
Endi (13) ni (11) ga qo‘yib 
u
potensialni topamiz: 
3
2
.
3
y
u
x y


Nihoyat, (4) ga ko‘ra (8) tenglamaning yechimlarini yozamiz: 
3
2
3
3
у
c
х у


yoki
2
3
3
х у у
c


. 

---

62
Izoh.
u
potensialni differensial xossalaridan foydalanib to‘g‘ridan-
to‘g‘ri topish ham mumkin. Bunda quyidagicha shakl almashtirishlarni bajarish 
kerak: 
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
хуdx
x
y dy
y
xdx
x dy y dy


 



3
3
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
y
y
yd x
x dy
d
d x y
d






3
2
3
(
)
y
d x y
du



. 
Bunda biz differensialning quyidagi xossalaridan foydalandik: 
( )
( ),
f x dx
df x


yoki ( )
(
( )
)
f x dx
d
f x dx


; 
(
)
wdv
vdw
d wv


, 
(
)
dw
dv
d w v



.
