|
1.
tg
,
( )
2
cos
4
x
y
y x
y
x
.
2.
2
2
2
1
x
yy
x
y
x
2
(
)
u
y
.
3.
2
(sin
ctg )
1
y
x
y y
(
( ))
x
x y
.
4.
(
)
0
x
xy
e dx
xdy
.
5.
(2
)
2
y
e
x y
.
6.
,
(0) 1
x
x
y
e y
e
e
y
.
7.
3
(
2
)
x
y y
y
,
(
( ))
x
x y
.
8.
3
(
sin
)
2
0 (
( )).
y x
y
x
y
x
x y
9.
(
1) ln
2
xy
x
y
.
10.
2
(3
)
(
( ))
x
y
y
y
x
x y
.
11.
2
2
sin
sin
cos
, ( )
0
2
x
y
x
y
x
y
x
12.
1
tg
,
( )
2
sin
4
y
y x
y
x
.
13.
2
2(
)
0
x
y dy
ydx
.
14.
(
cos
sin 2 )
1
x
y
y y
.
15.
( tg
1)
1 / cos
x
y
y
y
.
16.
2
ctg
cos
yy
y
x
x
.
17.
,
(1)
0.
x
xy
y
e
x
y
18.
1,
(0)
.
x
y
y
e
y
e
19.
,
(0) 1
x
x
y
y
e
e
y
.
20.
2
(
)
0
dy
xy
x dx
.
21.
1
cos
sin 2
2
y
x y
x
.
22.
2
2
(
ctg )
ctg
0
sin
u
y
x
y
y
x
y
23.
2
,
(0) 1.
x
x
y
e y
e
e
y
24.
ln
0
(
ln )
xy
y
y
xy
u
y
.
25.
(
sin )
0
y
x dx
xdy
.
26.
(
1
)
0
x
y dx
xdy
.
27.
,
(1) 1
xy
y
x
y
.
28.
ctg
1sin
y
y
x
x
x
.
29.
2
y
y
xe y
e
x
(
)
y
u
e
.
30.
2
1 0,
(1) 1.
y
y
y
x
31.
2
4
2
,
(0) 1
y
xy
x
x
y
.
32.
2 2
2
x
y
y
y e
33.
3
(
( ))
(
sin
)
2
0
x
x y
y
x
y
x
y
34.
2
2
,
(0) 1 2.
/
x
y
y
y e
y
35.
2
4
,
(1) 1
xy
y
x
y
y
.
36.
2
ln ,
(1) 1.
xy
y
y x
x
y
37.
2
2
2
(
1)
0 (
( ),
( )
( ))
x
y
y
xy
x
x y
u
u y
x
y
.
38.
2
(2 2
)
0
xdx
y
x dy
(
2
2 2
u
y
x
).
39.
2
2
4
xy
x
y
y
(
y
u
almashtirish bajaring
).
40.
2
2
2
9
y
xy
x y
x
(xususiy yechim tanlang,
1
/
y
y
a x
).
II.
Matematik modeli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar
bilan ifodalanuvchi masalalardan namunalar keltiring.
60
5. TO‘LA DIFFERENSIALLI VA UNGA KELTIRILUVCHI
TENGLAMALAR
Maqsad
– to‘la differensialli tenglamani yechishni va integrallovchi
ko‘paytuvchini topish usullarini o‘rganish.
Yordamchi ma’lumotlar:
To‘la differensialli tenglamalar
. Agar
( , )
( , )
0
М х у dx N x y dy
(1)
tenglamaning chap tomonidagi differensial ifoda potensial deb ataluvchi biror
( , )
u
u х у
funksiyaning to‘la differensialidan iborat, ya’ni
( , )
( , )
( , )
du x y
М х у dx N x y dy
(2)
bo‘lsa, u holda
(1)
tenglama
to‘la
(
to‘liq
)
differensialli tenglama
deyiladi. Bu
yerdagi
М
va
N
funksiyalar tekislikdagi biror
D
sohada aniqlangan. Biz
ularni hamda
дM
ду
va
дN
дх
xususiy hosilalarni uzluksiz deb hisoblaymiz.
Aytaylik, (1) tenglama to‘la differensialli bo‘lsin. U holda uni
( , )
0
du x y
(3)
ko‘rinishda yozishimiz mumkin. Bu tenglik sohada (ochiq va bog‘lanishli
to‘plamda) o‘rinli bo‘lgani uchun undan
( , )
u x y
c
(
const)
c
(4)
munosabat kelib chiqadi. Demak, (1) tenglamaning
( )
y
y x
yoki
( )
х х у
yechimi
(4)
tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha,
(4)
tenglik aniqlovchi
( )
y
y x
yoki
( )
х х у
uzluksiz differensiallanuvchi funksiya (1) ni qanoatlan-
tiradi. Shunday qilib, (1) tenglamaning yechimlari (4) munosabat bilan
oshkormas ko‘rinishda beriladi. Demak, to‘la differensialli tenglama (1) ni
yechish mos potensial
u
ni topishga keltiriladi.
(2)
tenglikka ko‘ra
u
u
du
dx
dy
Mdx
Ndy
х
у
.
Bundan differensialning yagonalik xossasiga ko‘ra
,
дu
M
дх
.
дu
N
ду
(5)
2
M
u
у
y x
va
2
N
u
х
x y
xususiy hosilalar uzluksiz bo‘lgani uchun analizdan
ma’lum teoremaga ko‘ra
2
2
д u
д u
дх y
дy x
va (5) tengliklardan ushbu
61
дM
дN
ду
дх
(6)
munosabatni topamiz. Bu (6) tenglik (1) ning to‘la differensialli tenglama
bo‘lishi uchun zaruriy shartni ifodalaydi.
Eslatma.
Agar bir bog‘lamli
D
sohada
,
,
,
( )
y
x
M N M
N
C D
va (6)
shartlar o‘rinli bo‘lsa,
u
potensialni egri chiziqli integral yordamida topsa
bo‘ladi. Bu tasdiq matematik analiz kursida isbotlanadi.
Ba’zan
u
potensialni topishda (5) sistema tenglamalarini ketma-ket
yechish qulayroq bo‘ladi.
Misol 1.
Ushbu
2
2
2
(
)
0
хуdx
x
y dy
(8)
tenglamani yeching.
Qaralayotgan misolda
2
2
2
( , )
2
,
( , )
,
,
M x y
xy
N x y
x
y
D
2
.
дM
дN
x
ду
дх
Demak, berilgan tenglama
2
D
sohada to‘la differensialli.
u
potensial
uchun (5) shartlar qanoatlanishi kerak:
2
,
дu
ху
дх
(9)
2
2
дu
х
у
ду
. (10)
(9) tenglikni (
x
bo‘yicha) 0 dan
x
gacha integrallaymiz (
y
tayinlangan):
2
0
2
( )
( );
x
u
syds
y
x y
y
(11)
bunda
( )
y
hozircha noma’lum funksiya . (11) ni (10) ga qo‘yamiz:
2
2
2
( )
.
х
y
x
y
(12)
Bu tenglikni
0
dan
y
gacha integrallaymiz (
x
tayinlangan):
3
( )
.
3
у
у
(13)
(integrallash doimiysini nolga teng deb oldik; bizga biror potensial kerak!).
Endi (13) ni (11) ga qo‘yib
u
potensialni topamiz:
3
2
.
3
y
u
x y
Nihoyat, (4) ga ko‘ra (8) tenglamaning yechimlarini yozamiz:
3
2
3
3
у
c
х у
yoki
2
3
3
х у у
c
.
62
Izoh.
u
potensialni differensial xossalaridan foydalanib to‘g‘ridan-
to‘g‘ri topish ham mumkin. Bunda quyidagicha shakl almashtirishlarni bajarish
kerak:
2
2
2
2
2
(
)
(2
)
хуdx
x
y dy
y
xdx
x dy y dy
3
3
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
y
y
yd x
x dy
d
d x y
d
3
2
3
(
)
y
d x y
du
.
Bunda biz differensialning quyidagi xossalaridan foydalandik:
( )
( ),
f x dx
df x
yoki ( )
(
( )
)
f x dx
d
f x dx
;
(
)
wdv
vdw
d wv
,
(
)
dw
dv
d w v
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
