|
Misol 5.
Ushbu
2
(
1)(
)
.
x
y
y
y
tenglamani yeching.
Berilgan tenglama
1 (yoki
1)
x
x
intervalda ushbu
55
2
0
1
y
y
y
x
Bernulli tenglamasiga teng kuchli. Ravshanki,
0
y
yechim. Boshqa
yechimlarni topish uchun oxirgi tenglamani
2
y
ga bo‘lib, ushbu
2
1
1
1 0
1
y
y x
y
tenglamani hosil qilamiz.
1
u
y
deb yangi noma’lum kiritamiz. U holda
1
1
1
u
u
x
chiziqli tenglama hosil bo‘ladi. Uni integrallovchi ko‘paytuvchi usuli bilan
yechamiz. Bu tenglama uchun integrallovchi ko‘paytuvchi
1
1
1
dx
x
e
x
.
Tenglamani shu
ga ko‘paytirib, quyidagilarni bajaramiz:
2
1
1
1
,
1
1
(
1)
u
u
x
x
x
1
1
,
1
1
u
x
x
1
,
1
1
dx
u
c
x
x
(
1)(
ln
1).
u
x
c
x
Endi dastlabki noma’lum
1
y
u
ga qaytamiz:
1
(
1)(
ln
1)
y
x
c
x
.
Javob:
1
0,
(
1 yoki
1)
(
1)(
ln
1)
y
y
x
x
x
c
x
.
Misol 6.
Ushbu
2
2
2
1 0
x y
x y
xy
tenglamani yeching.
Berilgan
tenglama
0
x
(yoki
0
x
) intervalda
2
2
2
2
y
y
y
x
x
Rikkati tenglamasiga aylanadi. Oxirgi tenglama
1
1
y
x
(xususiy) yechimga ega
56
(tekshirib ko‘ring). Tenglamada
1
1
y
x
u
almashtirishni bajarib, ushbu
0
xu
u
x
tenglamaga kelamiz. Bundan
2
2
c
x
u
x
. Demak, berilgan tenglama yechimi
2
2
1
1
2
2
(
)
c
x
y
x
c
x
x c
x
x
.
Endi matematik modeli birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga
keltiriluvchi masalalar bilan tanishaylik.
Misol 7.
Ushbu (4.4- rasm)
4.4- rasm.
, ,
( )
C R E t
elektr zanjiri.
elektr zanjir kondensatoridagi kuchlanish
C
u
ning vaqt bo‘yicha o‘zgarish
qonunini aniqlang. Kondensator sig‘imi
C
, qarshilik qiymati
R
va elektr
yurituvchi kuch (lanish)
( )
E t
berilgan. Boshlang‘ich shart
0
(0)
C
u
u
.
Ma’lumki, berilgan zanjir uchun
R
qarshilikdagi
R
u
kuchlanish,
C
kondensatordagi
C
u
kuchlanish va
i
tok kuchi orasida
,
C
R
du
u
iR i
C
dt
munosabatlar mavjud (4.4- rasm). To‘la zanjir uchun Om qonuniga ko‘ra
( )
R
C
u
u
E t
, ya’ni
( )
C
Ri
u
E t
yoki
( )
C
C
du
RC
u
E t
dt
.
Demak,
( )
C
C
u
u
t
noma’lum funksiya birinchi tartibli chiziqli differensial
tenglamani qanoatlantiradi. Uning uchun quyidagi boshlang‘ich masala hosil
bo‘ldi:
0
1
( ),
(0)
.
C
C
C
du
u
E t
dt
RC
u
u
57
Bu yerdagi differensial tenglamani
1
t
RC
e
integrallovchi ko‘paytuvchiga
ko‘paytirib, uni ushbu
1
1
( )
C
t
t
RC
RC
u
E t
e
e
ko‘rinishga keltiramiz. Oxirgi tenglikni
0
dan
t
gacha integrallab, va
boshlang‘ich shartni hisobga olib, kuchlanishning ushbu
(
0
0
1
1
)
( )
t
C
t
s t
RC
RC
u
u
E s ds
e
e
.
o‘zgarish qonunini topamiz.
Misol 8.
Idishda
moddaning
suyuqlikdagi
0
v
(m
3
) hajmli
0
(kg / m
3
)
konsentratsiyali eritmasi (aralashmasi) bor edi. Unga o‘sha
moddaning o‘sha
suyuqlikdagi
(kg / m
3
) konsentratsiyali eritmasi (aralashmasi)
1
r
(m
3
/ s)
tezlik bilan
0
t
paytdan boshlab quyila boshladi. Eritmalar (aralashmalar)
bir onda bir jinsligacha aralashib,
2
r
(m
3
/ s) tezlik bilan idishdan oqib
chiqib ketadi. Idishning hajmini yetarlicha katta deb hisoblab, undagi
eritma(aralashma)dagi
moddaning miqdorini
t
(s) vaqt bo‘yicha o‘zgarish
qonuniyatini aniqlang.
Idishdagi
moddaning
t
paytdagi miqdorini
( )
m
m t
(kg) bilan
belgilaylik. Vaqt boshida
0 0
(0)
m
v
. Idishga
t
vaqt ichida
1
rt
hajmli eritma
qo‘shilib,
2
r t
hajmli eritma esa chiqib ketadi. Demak, idishdagi eritmaning
t
paytdagi hajmi
0
1
2
( )
(
)
v
v t
v
r
r t
ga teng bo‘ladi.
t
ni yetarlicha kichik
deb hisoblab, modda miqdorining
(
)
( )
m t
t
m t
o‘zgarishini hisoblaymiz.
t
vaqt ichida
1
r t
hajmli eritma quyiladi, uning bilan
1
r t
miqdorli
modda qo‘shiladi. Lekin shu vaqt ichida
moddaning
2
( )
( )
m t
r t
v t
miqdori
chiqib ketadi. Endi tushunarliki,
58
1
2
( )
(
)
( )
(
),
0
( )
m t
m t
t
m t
r t
r t
o
t
t
v t
yoki
1
2
0
1
2
( )
(
)
( )
(
) ,
0
(
)
m t
m t
t
m t
r t
r t
o
t
t
v
r
r t
.
Bu tenglikning har ikkala tomonini
t
ga bo‘lamiz:
1
2
0
1
2
(
)
( )
( )
(
)
,
0
(
)
m t
t
m t
m t
o
t
r
r
t
t
v
r
r t
t
.
Oxirgi tenglikda
0
t
deb limitga o‘tamiz va ushbu
2
1
0
1
2
( )
( )
(
)
r
dm t
m t
r
dt
v
r
r t
chiziqli differensial tenglamani hosil qilamiz. Shunday qilib,
( )
m
m t
noma’lum funksiyani topish uchun ushbu
2
1
0
1
2
0 0
(
)
(0)
r
dm
m
r
dt
v
r
r t
m
v
Koshi masalasi hosil bo‘ldi. Uni yechib,
modda miqdorining
1
1
1
2
1
2
0
1
2
0
0
0
1
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
r
r
r r
r r
m
v
r
r t
v
v
r
r t
o‘zgarish qonunini topamiz.
Masalalar
Tenglamalarni yeching (
1
–
10
):
1.
2
x
y
y
xe
.
2.
1
xy
y
x
.
3.
3
2
1
2
x y
x
x y
.
4.
2
(
sin )
x
y
y y
y
.
5.
2
ln
3
x
x y
xy
x
.
6.
( tg
sin )
0
x
y
x e
x dx
dy
.
7.
(4
3
)
1
y
x
e
y
.
8.
(
1)
(
)
x
e
dy
y
x dx
.
9.
2
2
2
4
,
0
xy
y
x y
x
.
10.
2
cos
sin
3
cos
0
y
x
y
x
y
x
.
Boshlang‘ich masalalarni yeching (
11
–
14
):
11.
3
3
, (1)
1
xy
y
x
y
.
12.
2
2
2 , ( 1)
1
xy
xy
y y
.
13.
4
2
3
(
ln
)
0, ( 1) 1
x
y
xy
y
y
y
.
14.
2
3
0, (1) 1
xyy
y
x
y
.
Rikkati tenglamasining xususiy yechimni tanlab, umumiy yechimini
quring (
15
–
17
):
15.
2
2
2
3
3
x y
x y
xy
.
16.
2
2
10
x
x
y
e y
y
e
.
17.
2
2
sin
cos
2sin
y
y
y
x
x
x
.
59
Mustaqil ish № 4 topshiriqlari:
I.
Berilgan tenglama yoki berilgan Koshi masalasini yeching. Bunda
berilgan yoki hosil bo‘luvchi chiziqli differensial tenglamani uch: Lagranj,
Eyler-Bernulli va integrallovchi ko‘paytuvchi usullari bilan yeching.
Do'stlaringiz bilan baham: |
