|
.
Misol 8.
Shunday egri chiziqlarni topingki, ularning ixtiyoriy
urinmasining absissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasidan koordinatalar boshi va
urinish nuqtasigacha bo‘lgan masofalar teng bo‘lsin.
Izlanayotgan chiziq tenglamasi
( )
y
y x
bo‘lsin. Uning ixtiyoriy
( , )
M x y
nuqtasini olaylik (3.2- rasm).
3.2- rasm.
Shu nuqtadan urinma o‘tkazib uning abssissalar o‘qi bilan kesishish
nuqtasi
A
ni topaylik. Ravshanki,
,
, tg
OB
x BM
y
MAB
y
,
y
AO
OB
AB
x
y
,
2
2
y
AM
y
y
. Masalaning shartiga ko‘ra
AO
AM
, ya’ni
2
2
y
y
x
y
y
y
. Buni soddalashtirib, o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli
tenglamani hosil qilamiz:
2
2
2
xy
y
x
y
yoki
2
2 /
1 (
)
/
y x
y
y x
.
/
u
y x
almashtirishni bajarib, o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz:
43
2
2
1
u
xu
u
u
,
2
2
(1
)
1
u
u
xu
u
.
Oxirgi tenglamani yechib,
2
ln
ln
ln (
0)
1
u
x
c c
u
munosabatni topamiz.
Bu tenglamadan
u
ni aniqlaymiz va
y
xu
ga qaytamiz. Natijada ushbu
2
2
(
)
y
c x
y
(
0)
c
ellipslarni hosil qilamiz. Demak, izlangan chiziqlar ana
shu ellipslardan iborat.
Misol 9.
Shunday egri chiziqlarni topingki, agar ularning ixtiyoriy
M
nuqtasidan urinma o‘tkazilsa, bu nuqtadan kordinatalar boshigacha bo‘lgan
MO
masofa urinmaning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasidan
MO
gacha
bo‘lgan masofaga teng bo‘lsin (3.3- rasm).
3.3- rasm.
Izlanayotgan chiziq tenglamasi
( )
x
x y
bo‘lsin, teskari funksiya
( ).
y
y x
Uning ixtiyoriy
( , )
M x y
nuqtasini olaylik (3.3- rasm). Shu nuqtadan
urinma o‘tkazib uning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasi
A
ni topaylik.
Ravshanki,
,
,
OD
x DM
y
2
2
MO
x
y
,
1
=
+
ctg
dx
OA
OD
DA
x
y
MAD
x
y
x
y
y
dy
.
Masalaning
shartiga
ko‘ra
MO
AB
.
Endi
ushbu
1
1
2
2
OAM
S
OA DM
MO AB
tenglikka ko‘ra
2
2
dx
x
y
y
x
y
dy
yoki
2
2
2
dx
y
xy
x
y
dy
.
Bu o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli tenglamada
/
u
x y
almashtirish
bajaramiz va ushbu
44
2
1
du
y
u
dy
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani o‘zgaruvchilarni ajratib yechamiz va
arctg
u
y
ce
yechimni topamiz. Endi
/
u
x y
deb, izlangan egri chiziqlarning
oshkormas ko‘rinishdagi tenglamasi
arctg
x
y
y
ce
ga kelamiz. Bu chiziqlarni
tg ln
(
)
c
x
y
y
ko‘rinishda ham ifodalash mumkin.
M
isol 10.
Shunday ko‘zgu shaklini topingki, berilgan nuqtaviy yorug‘lik
manbasidan chiquvchi barcha nurlar bu ko‘zgudan berilgan yo‘nalishga
parallel yo‘nalishda qaytsin.
Yorug‘lik manbasi
O
nuqtada joylashgan bo‘lsin. Shu nuqta orqali
berilgan
yo‘nalishga parallel tekislik o‘tkazamiz. Bu tekislikda koordinatalar
boshini
O
nuqtada joylashtiramiz,
x
o‘qini berilgan yo‘nalish bo‘ylab,
y
o‘qini esa unga perpendikukyar qilib yo‘naltiramiz va izlanayotgan ko‘zguning
0
y
yarim tekislikdagi tenglamasini
( )
y
y x
bilan belgilaymiz (3.4- rasm).
Ravshanki,
0
y
holida bu tenglama
( )
y
y x
bo‘ladi .
3.4- rasm.
O
nuqtadan chiqqan nur
( , )
M x y
nuqtada ko‘zgudan
Ox
yo‘nalishiga
parallel holda qaytadi va
MS
bo‘ylab tarqaladi. Fizikadan ma’lumki, bunda
tushish burchagi qaytish burchagiga teng bo‘ladi. Agar
MN
bilan ko‘zguga
uning
M
nuqtasidagi normalini belgilasak, tushish butchagi
OMN
qaytish
burchagi
NMS
ga teng bo‘lishi kerak, ya’ni
OMN
NMS
. Demak,
agar
KM
bilan
M
nuqtada o‘tkazilgan urinmani (
KM
MN
) belgilasak, u
holda
2
OKM
OMK
va
OM
OK
bo‘ladi. Endi
OM
va
OK
larni alohida-alohida hisoblaymiz. Ravshanki,
2
2
OM
x
y
. To‘g‘ri
burchakli
KML
dan
45
ML
y
OK
KL
OL
OL
x
tg
y
,
chunki
( )
tg
y
y x
,
,
OL
x ML
y
. Demak,
2
2
y
x
y
x
y
yoki
2
2
y
y
x
x
y
.
Bu bir jinsli tenglamani yechib,
2
2
2
y
c
cx
ekanligini topamiz. Bu tenglama
parabolani ifodalaydi. Ko‘zgu shakli ana shu parabolani
Ox
o‘qi atrofida
aylantirishdan hosil bo‘ladi. Demak, izlangan ko‘zgu aylanma paraboloiddan
iborat ekan.
Masalalar
Tenglamalarni yeching (
1
–
6
):
1.
2(
)
3
x
y y
x
y
.
2.
3
3
2
(
)
0
x
y y
x y
.
3.
(
1)
3
2
3
x
y
x
y
.
4.
(
2)
1
0
x
y
y
x
y
.
5.
3
yy
xy
x
.
6.
3
4
2
2
x y
x y
.
Koshi masalalarini yeching (
7
–
10
):
7.
(2
)
2 ,
( 1)
0
x
y y
x
y y
.
8.
2
2
(
3
)
0, (1) 1
x
y
y
xy
y
.
9.
2
/
tg
,
1
|
y
xy
y
x
y
x
.
10.
4
6
2
1
4
,
1
|
x y
x
y
y
.
Mustaqil ish №3 topshiriqlari:
I.
Differensial tenglamalarni yeching.
1.
(2
ln
ln )
xy
y
y
x
;
(
2)
(3
2)
0.
x
y
dx
x
y
dy
2.
2
2
(
)
xydx
x
y dy
;
(9
8)
7
8.
x
y
y
x
y
3.
sin ln
y
xy
y
x
;
2
3
.
4
3
x
y
y
x
y
4.
2
2
(
)
2
x
y dy
xydx
;
(5
4)
3
4.
x
y
y
x
y
5.
2
2
.
xy
x
y
y
;
y
x
y
.
6.
2
2
x
y
y
x
y
;
2
4
y
y
x
.
7.
2
2
(
)
0
y
x
xy y
;
2
3
x y
xy
y
.
8.
(
)
(
)
y
x dy
y
x dx
;
(
2)
0
x xy
y
y
.
9.
(
cos )
cos
0
y
y
x
y
dx
x
dy
x
x
;
5
5
.
4
3
1
y
y
x
y
46
10.
(
2 )
9
x
y y
x
y
;
2
2
1
y
y
x
y
.
11.
(
)
2
x
y y
x
y
;
3
4
2
x y
x
y
.
12.
(4
2
3)
2
1
x
y
y
x
y
;
3
4
2
1 8
x y
x y
.
13.
(2
7)
(2
4)
0
y
x
dx
x
y
dy
;
2
2
4
4
y
y
x
x
.
14.
2
4
2
5
dy
x
y
dx
y
x
;
4
2
3
2
1
0
x y
dx
x dy
.
15.
(2
ln
ln )
xy
y
y
x
;
3
2
y
xy
y
x
.
16.
3
3
2
(
)
x
y dy
x ydx
;
3
x
y
x
y
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
