Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

. 

Misol 8.
Shunday egri chiziqlarni topingki, ularning ixtiyoriy 
urinmasining absissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasidan koordinatalar boshi va 
urinish nuqtasigacha bo‘lgan masofalar teng bo‘lsin. 

Izlanayotgan chiziq tenglamasi 
( )
y
y x

bo‘lsin. Uning ixtiyoriy 
( , )
M x y
nuqtasini olaylik (3.2- rasm).
3.2- rasm. 
Shu nuqtadan urinma o‘tkazib uning abssissalar o‘qi bilan kesishish 
nuqtasi 
A
ni topaylik. Ravshanki,
,
, tg
OB
x BM
y
MAB
y





,
y
AO
OB
AB
x
y


 

, 
2
2
y
AM
y
y
 

  

 
. Masalaning shartiga ko‘ra 
AO
AM

, ya’ni 
2
2
y
y
x
y
y
y
 


  


 
. Buni soddalashtirib, o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli 
tenglamani hosil qilamiz: 
2
2
2
xy
y
x
y
 

yoki 
2
2 /
1 (
)
/
y x
y
y x
 

. 
/
u
y x

almashtirishni bajarib, o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamaga kelamiz: 

---

43
2
2
1
u
xu
u
u
 


, 
2
2
(1
)
1
u
u
xu
u

 

. 
Oxirgi tenglamani yechib, 
2
ln
ln
ln (
0)
1
u
x
c c
u




munosabatni topamiz. 
Bu tenglamadan 
u
ni aniqlaymiz va 
y
xu

ga qaytamiz. Natijada ushbu 
2
2
(
)
y
c x
y


(
0)
c

ellipslarni hosil qilamiz. Demak, izlangan chiziqlar ana 
shu ellipslardan iborat. 

Misol 9.
Shunday egri chiziqlarni topingki, agar ularning ixtiyoriy 
M
nuqtasidan urinma o‘tkazilsa, bu nuqtadan kordinatalar boshigacha bo‘lgan 
MO
masofa urinmaning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasidan 
MO
gacha 
bo‘lgan masofaga teng bo‘lsin (3.3- rasm). 
3.3- rasm. 

Izlanayotgan chiziq tenglamasi 
( )
x
x y

bo‘lsin, teskari funksiya
( ).
y
y x

Uning ixtiyoriy 
( , )
M x y
nuqtasini olaylik (3.3- rasm). Shu nuqtadan 
urinma o‘tkazib uning abssissalar o‘qi bilan kesishish nuqtasi 
A
ni topaylik. 
Ravshanki, 
,
,
OD
x DM
y


2
2
MO
x
y


, 
1
=
+
ctg
dx
OA
OD
DA
x
y
MAD
x
y
x
y
y
dy
 

 
 

. 
Masalaning 
shartiga 
ko‘ra 
MO
AB

. 
Endi 
ushbu 
1
1
2
2
OAM
S
OA DM
MO AB




tenglikka ko‘ra
2
2
dx
x
y
y
x
y
dy



 





yoki
2
2
2
dx
y
xy
x
y
dy



. 
Bu o‘zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli tenglamada 
/
u
x y

almashtirish 
bajaramiz va ushbu 

---

44
2
1
du
y
u
dy
  
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani o‘zgaruvchilarni ajratib yechamiz va 
arctg
u
y
ce


yechimni topamiz. Endi 
/
u
x y

deb, izlangan egri chiziqlarning 
oshkormas ko‘rinishdagi tenglamasi 
arctg
x
y
y
ce


ga kelamiz. Bu chiziqlarni 
tg ln
(
)
c
x
y
y

ko‘rinishda ham ifodalash mumkin. 

M
isol 10.
Shunday ko‘zgu shaklini topingki, berilgan nuqtaviy yorug‘lik 
manbasidan chiquvchi barcha nurlar bu ko‘zgudan berilgan yo‘nalishga 
parallel yo‘nalishda qaytsin. 

Yorug‘lik manbasi 
O
nuqtada joylashgan bo‘lsin. Shu nuqta orqali 
berilgan 
yo‘nalishga parallel tekislik o‘tkazamiz. Bu tekislikda koordinatalar 
boshini 
O
nuqtada joylashtiramiz, 
x
o‘qini berilgan yo‘nalish bo‘ylab, 
y
o‘qini esa unga perpendikukyar qilib yo‘naltiramiz va izlanayotgan ko‘zguning 
0
y

yarim tekislikdagi tenglamasini 
( )
y
y x

bilan belgilaymiz (3.4- rasm). 
Ravshanki, 
0
y

holida bu tenglama 
( )
y
y x
 
bo‘ladi . 
3.4- rasm. 
O
nuqtadan chiqqan nur 
( , )
M x y
nuqtada ko‘zgudan 
Ox
yo‘nalishiga 
parallel holda qaytadi va 
MS
bo‘ylab tarqaladi. Fizikadan ma’lumki, bunda 
tushish burchagi qaytish burchagiga teng bo‘ladi. Agar 
MN
bilan ko‘zguga 
uning 
M
nuqtasidagi normalini belgilasak, tushish butchagi 
OMN

qaytish 
burchagi 
NMS

ga teng bo‘lishi kerak, ya’ni 
OMN
NMS


 

. Demak, 
agar 
KM
bilan 
M
nuqtada o‘tkazilgan urinmani (
KM
MN

) belgilasak, u 
holda 
2
OKM
OMK



 
 
 
va 
OM
OK

bo‘ladi. Endi 
OM
va 
OK
larni alohida-alohida hisoblaymiz. Ravshanki, 
2
2
OM
x
y


. To‘g‘ri 
burchakli 
KML
dan 

---

45
ML
y
OK
KL
OL
OL
x
tg
y








, 
chunki 
( )
tg
y
y x





, 
,
OL
x ML
y


. Demak, 
2
2
y
x
y
x
y




yoki 
2
2
y
y
x
x
y
 


. 
Bu bir jinsli tenglamani yechib, 
2
2
2
y
c
cx


ekanligini topamiz. Bu tenglama 
parabolani ifodalaydi. Ko‘zgu shakli ana shu parabolani 
Ox
o‘qi atrofida 
aylantirishdan hosil bo‘ladi. Demak, izlangan ko‘zgu aylanma paraboloiddan 
iborat ekan. 

Masalalar 
Tenglamalarni yeching (
1 
– 
6
): 
1.
2(
)
3
x
y y
x
y




.
2.
3
3
2
(
)
0
x
y y
x y




. 
3.
(
1)
3
2
3
x
y
x
y





.
4.
(
2)
1
0
x
y
y
x
y

 
   
. 
5.
3
yy
xy
x
 

.
6.
3
4
2
2
x y
x y
 

.
Koshi masalalarini yeching (
7 
– 
10
): 
7. 
(2
)
2 ,
( 1)
0
x
y y
x
y y


 
 
.
8.
2
2
(
3
)
0, (1) 1
x
y
y
xy
y





. 
9.
2
/
tg
,
1
|
y
xy
y
x
y
x

  

.
10.
4
6
2
1
4
,
1
|
x y
x
y
y
 


. 
Mustaqil ish №3 topshiriqlari: 
I.
Differensial tenglamalarni yeching. 
1.
 
(2
ln
ln )
xy
y
y
x
 


; 
(
2)
(3
2)
0.
x
y
dx
x
y
dy
 

 

2.
 
2
2
(
)
xydx
x
y dy


; 
(9
8)
7
8.
x
y
y
x
y

 
 

3.
 
sin ln
y
xy
y
x
 
; 
2
3
.
4
3
x
y
y
x
y


 
 
4.
 
2
2
(
)
2
x
y dy
xydx


; 
(5
4)
3
4.
x
y
y
x
y

 
 

5.
 
2
2
.
xy
x
y
y
 


; 
y
x
y
  
. 
6.
 
2
2
x
y
y
x
y

 

; 
2
4
y
y
x
 

.
7.
 
2
2
(
)
0
y
x
xy y




; 
2
3
x y
xy
y
 

. 
8.
 
(
)
(
)
y
x dy
y
x dx



; 
(
2)
0
x xy
y
y


 
. 
9.
 
(
cos )
cos
0
y
y
x
y
dx
x
dy
x
x



; 
5
5
.
4
3
1
y
y
x
y

 



---

46
10.
 
(
2 )
9
x
y y
x
y


 
; 
2
2
1
y
y
x
y



  

 


. 
11.
 
(
)
2
x
y y
x
y




; 
3
4
2
x y
x
y
 

. 
12.
 
(4
2
3)
2
1
x
y
y
x
y




 
; 
3
4
2
1 8
x y
x y
  
. 
13.
 
(2
7)
(2
4)
0
y
x
dx
x
y
dy
 

 

; 
2
2
4
4
y
y
x
x
 

. 
14.
 
2
4
2
5
dy
x
y
dx
y
x
 

 
; 


4
2
3
2
1
0
x y
dx
x dy



. 
15.
 
(2
ln
ln )
xy
y
y
x
 


; 
3
2
y
xy
y
x

 
. 
16.
 
3
3
2
(
)
x
y dy
x ydx


; 
3
x
y
x
y
  
.