Oddiy differensial tenglamalardan misollar, masalalar va topshiriqlar

Masalalar 
Tenglamalarni yeching (
1
– 
10
):
1.
2
y
y
y
 

.
2.
sin
(
1) cos
0
y
x
y y
x




. 
3.
4
2
3(1
) 1 2
0
xdx
x
ydy




. 
4.
2
2
2
1
0
x
y dx
y
x dy




.
5.
(1
)
2
0.
x
x
y
e dy
e dx



6.
(1 ln )
0.
xy
y
y
 


7.
(1
)sin
0
xy
y
y
x
 


.
8.
(3
3
1)
2(
)
0
x
y
dy
x
y dx





.
9. 
2
2
2
2 (2
)
x y
y
x
yy





.
 
10.
0
y
x
y
 
 
.
 
Tenglamalarning ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping 
(
11
–
14
):
11.
2
1, (1) 1
xy
y
y
 


.
12.
(1
)
cos 2
0,
(0)
1
y y
x
y





. 
13.
(1
) cos
0,
(0)
1
xy
y
y
x
y
 


 
.
14.
(
1)
(
1)
0, (0) 1
x
x
e
y
e
y
y






. 
Masalalarni yeching
 (15 
– 
25)
: 
15. 
Shunday 
( )
y
y x

egri chiziqni topingki, uning bilan , 
Ox
o‘qi bilan, 
0
x

va 
' '
x
x

chiziqlar bilan chegaralangan yuza 
2
( )
ln
(
0)
y x
a
a
const
a


ga teng bo‘lsin.
16.
To‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakat qiluvchi
1(
)
m
kg

massali moddiy nuqtaga 
uning tezligining kvadratiga va harakat boshlanishidan o‘tgan vaqt 
t
ga to‘g‘ri 
proporsional bo‘lgan qarshilik kuchi ta’sir etadi. Agar 
10 ( )
t
s

paytda 
nuqtaning tezligi 2 (
/ )
m s
ga, ta’sir etuvchi kuch esa 0,5 ( )
N
ga teng bo‘lsa, 
nuqtaning tezligi 
20 ( )
t
s

paytda qancha bo‘ladi? 
17.
Kema tezligini suv qarshiligi tufayli yo‘qotmoqda. Suvning qarshilik 
kuchi kemaning tezligiga to‘g‘ri proporsional. Kemaning dastlabki tezligi 
10 (m/s), 5 sekunddan so‘ng uning tezligi 8 (m/s) ga tushdi. Qachon kemaning 
tezligi 1 (m/s) gacha kamayadi? 
18.
Idishda 10 (kg) tuz bor. Bu idishga 90 (kg) suv quyilsa, 1 soatda dastlabki 
tuzning yarmi erib ketishi ma’lum bo‘ldi. Agar 
2 90
180


(kg) suv quyilganda 
edi, o‘sha 1 soatda qancha miqdordagi tuz erigan bo‘lardi? Tuzning erish tezligi 
mavjud tuz miqdoriga hamda aralashma konsentratsiyasi bilan to‘yingan 
aralashma konsentratsiyasi (3 kg aralashmada 1 kg tuz) orasidagi farqqa to‘g‘ri 
proporsional deb hisoblang. 
19. 
Shunday 
( )
y
f x

silliq funksiyani topingki, tekislikda yuqoridan 
( )
y
f x

, quyidan 
0
y

, chapdan 
0
x
x

va o‘ngdan 
' '
x
x

chiziqlar bilan 
chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzi ordinatalar ayirmasi 
0
( )
( )
f x
f x

ning kubiga proporsional bo‘lsin. 

---

31
20. 
Devorga o‘q 
0
v
tezlik bilan kirib, undan 
1
v
tezlik bilan 
1
t
paytda chiqib 
ketdi. Agar devorning o‘q harakatiga qarshilik kuchi o‘q tezligining kvadratiga 
to‘g‘ri proporsional bo‘lsa, devorning qalinligi 
d
ni aniqlang. 
21.
Shunday yassi egri chiziqni topingki, u 
 
2;1 nutadan o‘tsin va uning 
ixtiyoriy nuqtasidan o‘tkazilgan urinmaning koordinatalar o‘qi orasida qolgan 
qismi shu urinish nuqtasida teng ikkiga bo‘linsin.
22.
Ko‘ndalang kesimi ichki radiusi 
1
r
tashqi radiusi 
2
r
(
2
1
r
r

) bo‘lgan 
doiraviy xalqadan iborat bo‘lgan teshik cheksiz silindrsimon temir sterjen 
statsionar issiqlik holatida (bu holatda barcha nuqtalardagi temperatura vaqt 
bo‘yicha o‘zgarmaydi, har xil nuqtalarda har xil temperatura bo‘lishi mumkin). 
Agar ichki sirtda temperatura 
1
T
, tashqi sirtda esa
2
T
bo‘lsa, temperaturaning 
sterjenda taqsimot qonunini toping. 
Ko‘rsatma.
Fur’ye qonunidan fodalaning. Bu qonunga ko‘ra bir vaqt birligida 
S

yuza orqali unga tashqi normal 
( 
= 1)
n
n
yo‘nalishida oqib o‘tgan issiqlik 
miqdori 
T
k S

 

n
ga teng; bunda 
0
k
const

 
proporsionallik koeffitsienti 
(u issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti deb ataladi),
T



n
temperaturalar 
maydoni 
T
dan 
n
yo‘nalishida olingan hosila, ya’ni agar 
cosα, cosβ, cosγ
=
n
(
)
bo‘lsa, 
cos
cos
cos
T
T
T
T
x
y
z














n
bo‘ladi. 
23. 
Idishdagi suyuqlikning sath balandligi 
h
, idishning 
z
balandikdagi 
ko‘ndalang kesim yuzi 
( )
S z
. 
0
t

paytdan boshlab idish tubidagi 

kichik 
yuzali teshik orqali suyuqlik oqib keta boshlaydi. Suyuqlik sath balandligi 
z
ning vaqt 
t
bo‘yicha o‘zgarish qonunini aniqlang. Qancha vaqtda idish 
bo‘shaydi? 
Ko‘rsatma. Suyuqlik balandligi 
z
bo‘lganda uning teshikdan oqib chiqish 
tezligi 
2
v
k
gz

Torichelli formulasiga ko‘ra aniqlanadi. Bu yerda 
0
k
 
proporsionallik koeffitsienti, u suyuqlikning yopishqoqligiga bog‘liq (tajriba 
asosida aniqlanadi); 
g

erkin tushish tezlanishi. 
24.
Yer ustida 
0
v
boshlang‘ich tezlik bilan vertikal yo‘nalishda yuqoriga jism 
otildi. Havoning qarshiligini hisobga olmay jism tezligining o‘zgarish 
qonuniyatini toping. 
0
v
qanday bo‘lganda jism yer tortishini yengib, 
cheksizlikka ketib qoladi? 
25.
Mijoz 
0
t

paytda bankka 
0
Q
miqdorda foyizli omonat pul qo‘ydi. Bank 
omonat pulni uzluksiz ravishda 
(%)
p
tezlik bilan orttirib boradi. Mijoz 

---

32
hisobidagi pulni 
w
tezlik bilan oladi. Agar mijozning 
t
paytdagi omonat puli 
miqdorini 
( )
Q
Q t

bilan belgilasak, uni aniqlash uchun quyidagi boshlang‘ich 
masala hosil bo‘ladi: 
0
0
,
t
dQ
pQ
w Q
Q
dt




. 
Bu masalani yeching va 
( )
Q
Q t

pul miqdorining o‘zgarish qonuniyatini tahlil 
qiling. Qaysi hollarda omonat pul ortadi, o‘zgarmaydi, kamayadi? 
Mustaqil ish №2 topshiriqlari: 
I.
Dastlab berilgan differensial tenglamani yeching, so‘ngra uning 
ko‘rsatilgan boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. 
1.
 
cos(2
1) , (0)
1
y
x
y
y
 
 

. 
2.
 
tg(
) ,
(
/ 4)
/ 2
y
y
x
y


 


. 
3.
 
cos(
) ,
(0)
y
x
y
y

 


. 
4.
 
2
2
(
1)
2
0 , (2) 1
x
y
xy
y





. 
5.
 
3
, (0) 1
y
x
y
y
 


. 
6.
 
2
0 , (1)
0
y
yy
xe
y
 


. 
7.
 
2
,
(1)
2
tx
x
x
x
  

. 
8.
 
(1
)
, (0) 1
x
x
e
yy
e
y




. 
9.
 
1
cos
,
(1)
0
xy
y
y
  

. 
10.
 
1
sin 2
,
(1)
/ 4
xy
y
y

  

. 
11.
 
2
3 ,
(1)
1
y
x
y
y
  


. 
12.
 
.
(
1) ln(
1),
(0)
1
y
y
x
y
 



13.
 
2
1 , (0)
2
dx
x
x
dt



. 
14.
 
2
, (1)
1
1
xy
y
y
x
 


. 
15.
 
(
)(
) ( , ,
).
0
dx
k a
x b
x
k a b
const
k
dt





(0)
1
x

. 
16.
 
(
1)(
2)
d
d
  





1
3
(0)
, ( (0)
2
2




yoki 
(0)
3


). 
17.
 
cos
(1 2sin )
0,
(0)
2
y
x dx
y
x dy
y





.
18.
 
2
2
4
2
(
)
(
)
0, (0) 1
xy
x dx
y x
y dy
y





. 
19.
 
2
2
1
(1
)
0, (0)
0
y
ydx
x dy
y

 


. 
20.
 
(1
)
1
0, (0)
1
y xdx
x
dy
y




 
. 
21.
 
2
2
1
,
y
dx
x ydy


(1)
1
y

. 
22.
 
2,
(0)
1
y
y
x
y
   

. 
23.
 
tg ,
(
/ 4)
1
y
y
x y

 

. 
24.
 
2
(1
)
4
,
(1) 1
x
y
xy y




. 
25.
 
(
)
0, (1)
2
ydx
xy
x dy
y




. 
26.
 
2
2
1 sin
,
(1)
0
x y
y
y
  

. 
27.
 
(1
)
0,
(0) 1
x
x
e dy
e
ydx
y
 


. 
28.
 
ln
(1
)
0,
( )
1
x dy
y dx
y e

 


. 
29.
 
3
1,
(0)
1
y
x
y
y
 
 
 
. 
30.