О ‘ zbekiston respublikasi oliy va о ‘ rta maxsus ta ’ lim vazirligi

skalyar
kvadrati
deyiladi va 
а

2
kabi yoziladi. Shunday qilib vektorning skalyar
kvadrati uning modulini kvadratiga teng ekan. 
Bunga asosan
1
2



i
i
i



,
1
2



j
j
j



,
1
2



k
k
k



(8.8) 
bo’ladi . 
5-misol 
b
a
c



2


va 
b
a
d





3
vektorlarning skalyar ko’paytmasi 
topilsin. 
Yechish
. 
2
2
2
7
3
2
6
3
)
3
(
)
2
(
b
b
a
a
b
b
a
b
b
a
a
a
b
a
b
a
d
c



































. 
 6-misol.
b
a
c



3


vektor berilgan. 
4

a

,
3

b

bo’lib,
a

va 
b

vektorlar
orasidagi burchak 60
0
bo’lsa
c

vektorning uzunligi topilsin. 
Yechish
.
2
2
a
a



formuladan 
a
a



2
kelib chiqadi. 
Bunga asosan: 















2
2
2
2
2
2
9
)
cos(
6
9
6
)
3
(
b
b
a
b
a
a
b
b
a
a
b
a
c
c














133
81
2
1
72
16
9
9
60
cos
3
4
6
16
0












.
 
8.6. Skalyar ko’paytmani vektorlarning koordinalari orqali ifodalash. 
Aytaylik, 
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x







va 
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x







vektorlar berilgan bo’lsin. Skalyar ko’paytmani xossalari hamda (8.7) va (8.8) 
formulalarga hamda ko’phadni ko’phadga ko’paytirish qoidasiga ko’ra 
quyidagiga ega bo’lamiz: 

---

100 







)
)(
(
k
b
j
b
i
b
k
a
j
a
i
a
b
a
z
y
x
z
y
x








.
z
z
y
y
x
x
z
z
y
z
x
z
z
y
y
y
x
y
z
x
y
x
x
x
b
a
b
a
b
a
k
k
b
a
j
k
b
a
i
k
b
a
k
j
b
a
j
j
b
a
i
j
b
a
k
i
b
a
j
i
b
a
i
i
b
a







































Shunday qilib, koordinatalari yordamida berilgan ikki vektorlarning 
skalyar 
ko’paytmasi nomdosh koordinatalar ko’paytmalari yig’indisiga 
teng, ya‘ni
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
b
a






. (8.9) 
7-misol
. 
k
j
i
a







va 
k
j
i
b







3
2
vektorlarning skalyar ko’paytmasi 
topilsin. 
Yechish. 
Misolda
 
1

x
a
,
1


y
a
,
1


z
a
,
2

x
b
, 
3

y
b
, 
1

z
b
bo’lganligi 
sababli (8.9) formulaga binoan 
2
1
)
1
(
3
)
1
(
2
1











b
a


bo’ladi. 
8-misol
. Jism 
)
4
;
1
;
2
(



F

kuch ta’sirida to’g’ri chiziq boylab 
)
3
;
2
;
1
(


A
nuqtadan 
)
1
;
6
;
5
(


B
nuqtaga ko’chsa, 
F

kuch qanday ish bajaradi? 
Yechish
. 
).
2
;
4
;
4
(
)
3
1
;
2
6
;
1
5
(








AB
(8.9) formulaga ko’ra
 
.
20
8
4
8
)
2
(
)
4
(
)
4
(
)
1
(
4
2
)
(
















AB
F
A

9-misol
. 
)
5
;
4
;
1
(
),
1
;
6
;
3
(





b
a
va 
)
12
;
4
;
3
(


c
vektorlar berilgan bo’lsa, 
)
(
b
a
pr
c




ni toping. 
Yechish
. 
)
6
;
2
;
4
(
)
5
1
;
4
6
;
1
3
(
)
(










b
а

.
4
13
52
169
72
8
12
12
)
4
(
3
12
)
6
(
)
4
(
)
2
(
3
4
)
(
)
(
2
2
2





















c
c
b
a
b
a
pr
c






8.7. Ikki vektor orasidagi burchak. 
Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi uchun 
)
cos(
b
a
b
a
b
a











formuladan
b
a
b
a
b
a










)
cos(
ni topamiz.
 
Agar vektorlar 
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x







,
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x







yoyilmari yordamida 
berilgan bo’lsa, u holda (8.9) dan hamda vektorni uzunligini topish formulasi 
(7.6) dan foydalanib vektorlar orasidagi burchakning kosinusini topish uchun 
2
2
2
2
2
2
)
cos(
z
y
x
z
y
x
z
z
y
y
x
x
b
b
b
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a











(8.10) 

---

101 
formulani hosil qilamiz. 
10-misol
. 
k
i
a



3
3


, 
k
j
i
b







2
2
vektorlar orasidagi burchak topilsin. 
Yechish
. (8.10) formulaga asosan 
,
2
1
3
2
3
9
)
1
(
2
2
)
3
(
0
3
)
1
(
)
3
(
2
0
2
3
)
cos(
2
2
2
2
2
2



















b
a


0
45
)
(


b
a


bo’ladi. 
11-misol
.Uchlari А(2;-1;3), В(1;1;1) va С(0;0;5) nuqtalarda bo’lgan 
uchburchakning burchaklari topilsin. 
 Yechish
. Boshi va oxiri berilgan vektorni koordinatalarini topish 
formulasi (7.7) ga ko’ra quyidagilarga ega bo’lamiz. 
AB
=
)
3
1
;
1
1
;
2
1
(



=
)
2
;
2
;
1
(


, 
AC
=
)
3
5
;
1
0
;
2
0
(



=
)
2
;
1
;
2
(

,
BA
=-
AB
=
)
2
;
2
;
1
(

, 
BC
=
)
1
5
;
1
0
;
1
0
(



=
)
4
;
1
;
1
(


. 
Ikki vektor orasidagi burchakni topish formulasi (7.10) ga asosan: 
сos 
А

=cos(
AB
^
AC
)=
2
2
2
2
2
2
2
1
)
2
(
)
1
(
2
)
1
(
4
2
)
1
(
)
2
(
)
1
(
1
















=0, 
bundan
А

=90
0
, 
сos
В

= сos(
BA
^
BC
)=
2
2
2
2
2
2
4
)
1
(
)
1
(
2
)
2
(
1
4
2
)
1
(
)
2
(
)
1
(
1
















=
18
3
9

=
2
1
,
bundan 
В

=45
0 
. 
А

+
В

+
С

=180
0 
dan 
С

=45
0 
kelib chiqadi. 
Demak qaralayotgan uchburchak teng yonli to’g’ri burchakli uchburchak 
ekan. 
 
8.8. Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti.
Skalyar ko’paytmani 4-xossasiga ko’ra 
a

va 
b

(nolmas) vektorlar 
perpendikulyar bo’lishi uchun
0


b
a


shartning bajarilishi zarur va yetarli edi. 
Bundan (8.9) formulaga asosan
0



z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
(8.11) 
ikki vektorning perpendikulyarlik shartini hosil qilamiz. Shunday qilib ikkita 
noldan farqli vektorlar o’zaro perpendikulyar bo’lishi uchun ularni nomdosh 
koordinatalari ko’paytmalarining yigindisi nolga teng bo’lishi zarur va yetarli 
ekan. 
12-misol
. 
}
1
;
2
;
1
{

a

va 
}
;
2
;
2
{
m
b


vektorlar 
m
ning qanday qiymatlarida 
perpendikulyar bo’ladi.