|
3
.
Vektorni songa ko’paytirish.
Noldan farqli
а
vektorning m
0 songa
ko’paytmasi deb,
а
vektorga kollinear, uzunligi
a
m
ga teng bo’lgan, m
0,
bo’lganda
а
vektor bilan bir xil yo’nalgan, m
0 bo’lganda esa unga qarama–
qarshi yo’nalgan hamda m
а
bilan belgilanadigan vektorga aytiladi(5-chizma).
85
5-chizma
Izoh.
1. Istalgan
а
vektorni uning uzunligi
а
bilan unga mos
а
0
birlik
vektorni ko’paytmasi shaklida tasvirlash mumkin, ya‘ni
а
=
а
0
а
.
2.
а
va
b
(
b
0
) kollinear vektorlar uchun shunday yagona
son mavjud
bo’lib
а
=
b
tenglik o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan,
а
=
а
0
а
,
b
=
b
0
b
vektorlarni kollinearligidan
0
а
=
0
b
ekanligi kelib chiqadi. U holda
а
=
а
0
b
=
b
а
b
yoki
b
а
=
belgilashni
kiritsak
а
=
b
hosil bo’ladi.
Shunday qilib vektorlarni qo’shish, ayirish hamda vektorni songa
ko’paytirish natijasida yana vektor hosil bo’lar ekan.
1-misol.
ABC uchburchak berilgan bo’lib,
a
AB
,
b
AC
va M nuqta BC
tomonning o’rtasi bo’lsin.
AM
vektorni
a
va
b
vektorlar orqali ifodalang.
Yechish
. M nuqta orqali AB va AC tomonlarga parallel to’g’ri chiziqlar
o’tkazamiz va AB
1
MC
1
parallelogram tuzib olamiz. AM bu parallelogrammning
diagonali bo’ladi.
Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga ega
.
1.
а
+
b
=
b
+
а
(4
а
-chizma);
2. (
а
+
b
)+
с
=
а
+ (
b
+
с
) (4
b
-chizma);
3.
m
(
а
+
b
)=
m а
+
m
b
.
4.
а
+0=
а
;
5.
а
+(-
а
)=
0
;
6.
а
1=
а
;
7. (
m+n
)
а
=
m а
+
n а
,
m
va
n
haqiqiy sonlar
;
8. (
m
n
)
а
=
m
(
n а
)=
n
(
m а
).
86
6-chizma.
7.4. Ikki vektor orasidagi burchak tushunchasi.
Fazoda
а
va
b
vektorlar berilgan bo’lsin. Fazoda ixtiyoriy 0 nuqtani olib
ОА
=
а
va
ОВ
=
b
vektorlarni yasaymiz.
5-tarif.
а
va
b
vektorlar orasidagi burchak deb
ОА
va
ОВ
vektorlardan
birini ikkinchisi bilan ustma-ust tushishi uchun soat mili yo’nalishiga teskari
yo’nalishga burilishi lozim bo’lgan
(0
) burchakka aytiladi.
а
vektor bilan
o’q orasidagi burchak deganda
а
vektor bilan
o’qda
joylashgan va у bilan bir xil yo’nalgan
0
birlik vektor orasidagi burchak
tushiniladi.
а
va
b
vektorlar orasidagi burchak (
а
^
b
) kabi belgilanadi.
7.5. Vektorning o’qqa proeksiyasi va uning xossalari.
Fazoda
o’q va
АВ
vektor berilgan bo’lsin.
А
va
В
nuqtalardan bu
o’qqa perpendikulyar tushirib perpendikulyarning asoslarini mos ravishda
1
А
va
1
В
orqali belgilaymiz.
1
1
В
А
vektor
АВ
vektorning
o’qdagi
tashkil etuvchisi
yoki
komponenti
deb ataladi (7-chizma).
1
va
2
sonlar
1
А
va
1
В
nuqtalarning
o’qdagi koordinatalari bo’lsin.
6-ta’rif.
АВ
vektorning
o’qqa proeksiyasi deb vektorning boshi
А
va
oxiri
В
nuqtalarning
o’qdagi proeksiyalari
1
А
va
1
В
nuqtalar orasidagi
masafoga aytiladi va u
pr
1
2
l
l
АВ
kabi belgilanadi.
Bu masofa vektor bilan o’qning yo’nalishi mos tushganda «+» ishora bilan
aks holda «-» ishora bilan olinadi. Proeksiyani tarifidan
АВ
vektor o’qqa
perpendikulyar bo’lganda uning o’qqa proeksiyasi nolga teng bo’lishi kelib
chiqadi. (7- chizma)
Proeksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
1
0
.
а
vektorning
o’qqa proeksiyasi
а
vektor uzunligini bu vektor bilan
o’q orasidagi
burchak kosinusiga ko’paytmasiga teng, yani
pr
а
=
а
cos
.
Bu 8
a
-chizmadan ko’rinib turibdi.
87
2
0
. Ikki vektor yig’indisining o’qqa proeksiyasi qo’shiluvchi vektorlarning
shu o’qqa proeksiyalari yig’indisiga teng, yani
pr
(
а
+
b
)=
pr
а
+
pr
b
. Bu 8
b
-
chizmadan ko’rinib turibdi.
3
0
. Vektor
а
ni
songa ko’paytirganda uning o’qqa proeksiyasi ham shu
songa ko’payadi, yani
pr
(
а
)=
.
pr
а
(8
d
-chizma).
Boshqacha aytganda skalyar ko’paytuvchini proeksiya belgisidan
chiqarish mumkin ekan.
2
-
1
=
pr
АВ
0,
2
-
1
=
pr
АВ
=0,
2
-
1
=
pr
АВ
0.
7-chizma.
8-chizma.
Endi
АВ
vektorning
o’qdagi tashkil etuvchi
1
1
В
А
vektorni proeksiya
orqali ifolalaymiz.
0
vektor
o’qqa mos birlik vektor bo’lsin. U holda
1
1
В
А
=
pr
АВ
0
(7.1) bo’lishi ravshan.
Izoh.
Vektorning boshqa vektor yo’nalishiga proeksiyasi ham xuddi
vektorning o’qqa proeksiyasi kabi aniqlanadi.
7.6. Vektorning chiziqli erkliligi.
n
a
a
a
...,
,
,
2
1
vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb
n
n
a
a
a
a
...
2
2
1
1
formula bilan aniqlanuvchi
a
vektorga aytiladi, bunda
n
...,
,
,
2
1
ma’lum
sonlar.
Agar
n
a
a
a
...,
,
,
2
1
vektorlar sistemasi uchun kamida bittasi noldan farqli
shunday
n
...,
,
,
2
1
sonlar mavjud bo’lib,
0
...
2
2
1
1
n
n
a
a
a
shart bajarilsa,
bu sistema chiziqli bog’liq deyiladi. Agar yuqoridagi tenglik faqat
88
0
...
2
1
n
bo’lganda o’rinli bo’lsa,
n
a
a
a
...,
,
,
2
1
vektorlar sistemasi
chiziqli erkli deyiladi.
Ikkita kollinear vector har doim chiziqli bog’liqdir. Shuningdek, uchta
komplanar vektor har doim chiziqli bog’liq. Fazodagi ixtiyoriy to’rt va undan
ortiq vektorlar har doim chiziqli bog’liq.
7.7. Vektorni koordinata o’qlaridagi tashkil etuvchilar (bazis)i
boyicha yoyish.
Oxyz
fazoda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini olaylik. O’qlarning
har birida boshi koordinatalar boshida bo’lib yo’nalishi o’qning musbat
yo’nalishi bilan ustma-ust tushadigan birlik vektorklarni olamiz va ularni
i
,
j
,
k
lar orqali belgilaymiz. Bu yerdagi
i
0
х
o’qqa mos,
j
0
у
o’qqa mos va
k
0
z
o’qqa mos birlik vektorlar. Demak
i
,
j
,
k
birlik vektorlar o’zaro perpendikulyar
va nokomplanar.
n ta chiziqli bog’liqmas vektorlar sistemasi
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
berilgan bo’lib,
agar
ixtiyoriy
a
vektorni
ularning
chiziqli
kombinatsiyasi,
ya’ni
n
n
e
e
e
a
...
2
2
1
1
shaklida ifodalash mumkin bo’lsa, u holda berilgan sistema
bazis deyiladi.
Bu tenglik
a
vektorning
n
e
e
e
...,
,
,
2
1
bazis boyicha yoyilmasi deyiladi.
Fazoda chiziqli bog’liq bo’lmagan har qanday uchta
3
2
1
,
,
e
e
e
vektor bazis
tashkil qiladi, shu sababli fazodagi har qanday
a
vektorni shu bazis boyicha
3
3
2
2
1
1
e
e
e
a
shaklda yoyishi mumkin.
3
2
1
,
,
sonlar
a
vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari bo’lib,
)
,
,
(
3
2
1
a
ko’rinishida yoziladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
