|
7
-t
a’rif.
Agar bazisning vektorlari o’zaro perpendikulyar va birlik
uzunlikka ega bo’lsa, bu basis ortonormallangan bazis deyilib, u ortlar deb
ataluvchi
k
j
i
,
,
vektorlar orqali belgilanadi.
Agar
k
j
i
,
,
mos ravishda Ox, Oy, Oz o’qlari boyicha yo’nalgan ortlar
bo’lsa, u holda ixtiyoriy
a
vektorning
k
j
i
,
,
bazisdagi yoyilmasi qiyidagicha
ifodalanadi:
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
(7.4)
bunda
z
y
x
a
a
a
;
;
a
vektorning koordinatalari deb yuritiladi va
a
vektor
)
,
,
(
z
y
x
a
a
a
a
yoki
)
,
,
(
z
y
x
a
a
a
a
ko’rinishda ham yoziladi.
Fazodagi ixtiyoriy
a
vektorni
k
j
i
,
,
ortlar orqali (7.4) ko’rinishda
ifodalash mumkinligini ko’rsatish mumkin.
89
9-chizma.
Faraz qilaylik
a
vektorning oxiri hisoblanadigan
М
nuqta
х, у, z
koordinatalarga ega bo’lsin. U holda
а
=
ОМ
vektorning koordinata o’qlaridagi
proeksiyalari
а
х
=
х, а
у
=у, а
z
=z
bo’lib (7.4) yoyilma quyidagi
а
=
х
i
+
у
j
+
z k
(7.5)
ko’rinishga ega bo’ladi. Vektorning koordinata o’qlaridagi proeksiyalarini uning
koordinatalari deb ham ataladi.
ОМ
vektor
M
nuqtaning
radius-vektori
deyiladi.
Izoh:
Shuning uchun ham vektor berilgan yoki vektor topilsin deyilganda
vektorning koordinatalari berilganligini yoki vektorni koordinatalarini topish
lozimligini tushuniladi.
7.8. Koordinatalari orqali berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar.
Agar vektorlarning koordinata o’qlaridagi proeksiyalari (vektorning
koordinatalari) malum bo’lsa, u holda bu vektorlar ustidagi qo’shish, ayirish va
vektorni songa ko’paytirishi amallarini ularning proeksiyalari ustidagi arifmetik
amallar bilan almashtirish mumkin.
Vektorlar
а
=
а
х
i
+
а
у
j
+
а
z
k
,
b
=
b
х
i
+
b
у
j
+
b
z
k
yoyilmalari yordamida
berilgan bo’lsin. U holda
а
b
=(
а
х
b
х
)
i
+(
а
у
b
у
)
j
+(
а
z
b
z
)
k
,
а
=
а
х
i
+
а
у
j
+
а
z
k
, ya’ni vektorlarni qo’shganda (ayirganda) ularning mos
koordinatalari qo’shiladi (ayiriladi), vektorni songa ko’paytirganda uning barcha
koordinatalari shu songa ko’paytiriladi
.
3-misol.
а
=
i
-2
j
+
k
,
b
=2
i
+
j
-2
k
vektorlar berilgan. Ularning yig’indisi
va ayirmasi topilsin.
Yechish
. Vektorlarning mos koordinatalarini qo’shib
а
+
b
=(1+2)
i
+(-2+1)
j
+(1-2)
k
=3
i
-
j
-
k
vektorga va mos koordinatalarini ayirib
а
-
b
=(1-2)
i
+(-2-1)
j
+(1+2)
k
=-
i
-3
j
+3
k
vektorga ega bo’lamiz.
90
4- misol.
а
=
i
-3
j
-
k
vektor 3 ga ko’paytirilsin.
Yechish
. Vektorning har bir koordinatalarini 3 ga ko’paytirib
3
а
=3
i
-9
j
-3
k
vektorni hosil qilamiz.
5-misol.
Parallelogrammning ketma-ket uchta uchlarining koordinatalari
berilgan. A(1;-2;3), B(3;2;1) va C(6;4;4). Parallelogrammning to’rtinchi
uchining koordinatalarini toping.
Yechish.
To’rtinchi uchini D(x,y,z) deb belgilaymiz. Shakldan
BC
AD
ekanligini ko’ramiz.
AD
va
BC
vektorlarni topib, ularni mos koordinatalarini
tenglab, D(x,y,z) nuqtaning koordinatalarini topib olamiz.
7.9. Vektorning uzunligi.
Fazoda vektor
а
=
а
х
i
+
а
у
j
+
а
z
k
yoyilmasi yordamida berilgan bo’lib
uning uzunligi
а
ni topish talab etilsin. To’g’ri burchakli parallelpiped
diognalining kvadrati uning qirralari kvadratlarining yig’indisiga teng bo’lishi
ma‘lum. Shunga ko’ra,(9-chizma)
2
3
2
2
2
1
2
2
ОМ
ОМ
ОМ
ОМ
а
, yoki
х
а
ОМ
1
,
у
а
ОМ
2
va
z
а
ОМ
3
bo’lgani uchun
2
а
=
2
х
а
+
2
у
а
+
2
z
а
,bundan vektorni o’zunligini topish
formulasi
а
=
2
2
2
z
у
х
а
а
а
(7.6)
ni hosil qilamiz.
6-misol.
а
=
2
i
-
j
+2
k
vektorni uzunligi topilsin?
Yechish
. Misolda
а
х
=2,
а
у
=-1,
а
z
=2 bo’lgani uchun (7.6) formulaga
binoan
а
=
2
2
2
2
)
1
(
2
=
4
1
4
=3 bo’ladi.
Izoh.
а
vektor 0
xy
tekislikda qaralsa bu holda vektorning applikatasi
nolga teng bo’lganligi sababli vektor
а
=
а
х
i
+
а
у
j
yoyilmaga ega hamda uning
uzunligi
а
=
2
2
у
х
а
а
kabi topiladi.
i
,
j
birlik vektorlari tekislikda Dekart
bazisini tashkil etadi.
а
х
– abssissaga va
а
у
-
ordinataga ega bo’lgan
а
vektorni
а
(
а
х
, а
у
) yoki
а
=(
а
х
;
а
у
) kabi yoziladi.
91
Endi vektorlar nazariyasidan foydalanib analitik geometriyaning ba‘zi
masalalarini yechamiz.
7.10.Fazodagi ikki nuqta orasidagi masofa.
Boshi
А
(
x
1
;
у
1
;
z
1
), oxiri
B
(
x
2
;
у
2
;
z
2
) nuqtalarda bo’lgan
АВ
vektorni
qaraymiz. Vektorning o’qqa proeksiyasining ta‘rifiga ko’ra
ох
r
АВ
=
x
2
-
x
1
,
оу
r
АВ
=
y
2
-
y
1
,
оz
r
АВ
=
z
2
-
z
1
bo’lganligi sababli (7.4) ga binoan
АВ
=
(
x
2
-
x
1
)
i
+(
y
2
-
y
1
)
j
+(
z
2
-
z
1
)
k
(7.7)
formulaga ega bo’lamiz. Demak boshi
А
(
x
1
;
у
1
;
z
1
) nuqtada, oxiri
B
(
x
2
;
у
2
;
z
2
)
nuqtada bo’lgan
АВ
vektorni koordinatalarini topish uchun uning oxirining
koordinatalaridan boshini mos koordinatalarini ayirish lozim ekan. (7.6)
formulaga binoan vektorning uzunligi
2
1
2
2
1
2
2
1
2
)
(
)
(
)
(
z
z
у
у
х
х
АВ
(7.8)
formula yordamida topiladi.
Ana shu formula
А
va
B
nuqtalar orasidagi masofani ham aniqlaydi.
7-misol.
А (1; 2; 3) va В( 3; -1;-2) nuqtalar orasidagi masofa topilsin.
Yechish
. Misolda
x
1
=1,
y
1
=2,
z
1
=3
x
2
=3,
y
2
=-1,
z
2
=-2 (7.8) formulaga
ko’ra
d
=
АB=
2
2
2
)
3
2
(
)
2
1
(
)
1
3
(
=
25
9
4
= 38 bo’ladi.
7.11. Fazodagi kesmani berilgan nisbatda bo’lish.
Fazoda
А
(
x
1
;
у
1
;
z
1
) va
B
(
x
2
;
у
2
;
z
2
) nuqtalar berilgan bo’lsin.
АB
kesmani
0 nisbatda bo’luvchi
М
(
х,у,z
) nuqtani topish talab etilsin, ya’ni
АB
kesmada
АМ
:
МВ
=
munosabatni qanoatlantiruvchi
М
nuqtani topish talab
etilsin. Bu holda
М
А
va
МВ
vektorlar kollinear bo’lib
АМ
:
МВ
=
yoki
АМ
=
МВ
bo’lgani uchun
М
А
=
МВ
bo’ladi. (6.7) formulaga binoan
М
А
=(
x
-
x
1
)
i
+(
y
-
y
1
)
j
+(
z
-
z
1
)
k
,
МВ
=(
x
2
-
x
)
i
+(
y
2
-
y
)
j
+(
z
2
-
z
)
k
, bo’lgani uchun,
hamda vektorni songa ko’paytirganda uning barcha koordinatalari shu songa
ko’payishini hisobga olib
М
А
=
МВ
tenglikni
(
x
-
x
1
)
i
+(
y
-
y
1
)
j
+(
z
-
z
1
)
k
=
(
x
2
-
x
)
i
+
(
y
2
-
y
)
j
+
(
z
2
-
z
)
k
ko’rinishida yozamiz. Bundan teng vektorlarni mos koordinatalari ham teng
bo’lishni hisobga olib mos koordinatalarni tenglab, quyidagilarni topamiz.
1
2
1
х
х
х
,
1
2
1
у
у
у
,
1
2
1
z
z
z
(7.9)
Shunday qilib
АВ
kesmani
0 nisbatda bo’luvchi
M
nuqtaning
koordinatalari
(7.9) formulalar yordamida topilar ekan.
92
Xususiy holda AB kesmaning o’rtasini topish talab etilganda
=1 bo’lib
(7.9) dan
АВ
kesmani teng ikkiga bo’luvchi nuqtaning koordinatalarini topish
uchun
2
2
1
х
х
х
,
2
2
1
у
у
у
,
2
2
1
z
z
z
(7.10)
formulalarni hosil qilamiz.
8-misol.
А=
(2;4;5) va
В=
(4;4;5) nuqtalar berilgan.
АВ
kesmani λ=2:1
nisbatda bo’luvchi ya’ni B nuqtaga qaraganda
A
nuqtadan 2 barobar uzoqlikda
joylashgan
M(x,y,z)
nuqta topilsin.
Yechish
. Misolda
х
1
=2,
у
1
=4,
z
1
=5,
х
2
=4,
у
2
=4,
z
2
=5,
=2 bo’lgani uchun
(7.9) ga binoan
3
10
2
1
4
2
2
х
,
4
3
12
3
4
2
4
у
,
5
3
15
3
5
2
5
z
bo’ladi.
Izlanayotgan nuqta
M
( ; 4; 5;) nuqta bo’lar ekan.
9-misol.
АВ
kesma
C
nuqta yordamida 1,5 nisbatda bo’linadi.
А=
(4;6;2)
va
С=
(2;0;4) nuqtalar ma‘lum bo’lsa
B
nuqtani toping ?
Yechish
. Misolda
х
1
=4,
у
1
=6,
z
1
=2,
х
=2,
у
=0,
z
=4 bo’lib
х
2
,
у
2
va
z
2
larni
topish talab etiladi. (7.9) ga tegishli qiymatlarni quyib noma’lumlarni
aniqlaymiz:
5
,
1
1
5
,
1
4
2
2
х
,
2
2,5=4+1,5
х
2
,
3
2
5
,
1
4
5
,
2
2
2
х
,
5
,
2
5
,
1
6
0
2
у
,
0=6+1,5
у
2
,
у
2
=
4,
5
,
2
5
,
1
2
4
2
z
,
3
16
5
,
1
2
10
2
z
.
Shunday qilib kesmaning uchi
B
( ; 4;
) nuqta bo’lar ekan.
10-misol.
А
(2;0;2) va
В
(-1; 2; -1) nuqtalar berilgan.
АВ
kesmani o’rtasi
С
nuqta topilsin.
Yechish
.
C
nuqtaning koordinatalarini
х, у, z
orqali belgilasak ular (7.10)
formulalar yordamida aniqlanadi.
2
1
2
1
2
х
,
1
2
2
0
у
,
2
1
2
1
2
z
.
Demak C(-1;6;4) nuqta
АВ
kesmani o’rtasi ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
