2. Ellips Gipеrbola Parabola Fazoda va tekislikda dekart koordinatalari

Fazoda va tekislikda dekart koordinatalari.. Ikkinchi tartibli egri chiziklar Ellips,
Gipеrbola, Parabola

REJA

1.Fazoda va tekislikda dekart koordinatalari


2.Ellips

3.Gipеrbola

4.Parabola

Fazoda va tekislikda dekart koordinatalari
Tekislikda to’g’ri chiziqli (Dekart) koordinatalar sistemasi deb umumiy kesishish nuqtasiga (koordinatalar boshiga ) va bir xil masshtab birliklariga ega bo’lgan hamda o’zaro perpendikulyar bo’lgan Ox va Oy o’qlarga aytiladi. Ox – abssissalar o’qi, Oy – ordinatalar o’qi deyiladi. Ixtiyoriy M nuqtadan Ox va Oy o’qlarga perpendikulyarlar tushiramiz. x soni M nuqtaning abssissasi, y soni esa M nuqtaning ordinatasi deyiladi. (x,y) juftlik M nuqtaning koordinatalari deyiladi. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi René Descartes (1596-1650) Tekislikda har bir nuqtaga haqiqiy sonlarning yagona (x,y) jufti mos keladi. Nuqtalarning tekislikda joylashgan o’rnini aniqlash usuli koordinatalar usuli deyiladi. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi Tekislikda har bir nuqtaga haqiqiy sonlarning yagona (x,y) jufti mos keladi. Nuqtalarning tekislikda joylashgan o’rnini aniqlash usuli koordinatalar usuli deyiladi. M(x,y) nuqtadan koordinatalar boshigacha bo’lgan masofa 𝑑 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (1) formula bilan topiladi. Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi Ixtiyoriy ikkita 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 va 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 nuqtalar orasidagi masofa 𝑑 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 (2) formula bilan topiladi. Misol. 𝑀1 −2; 1 va 𝑀2 1; −3 nuqtalar orasidagi masofani toping. Yechish. (2) formuladan foydalanamiz: 𝑑 = 1 − (−2) 2 + −3 − 1 2 = 1 + 2 2 + −3 − 1 2 = 3 2 + −4 2 = 9 + 16 = 25 = 5. Kesmani berilgan nisbatda boʼlish Tekislikda ixtiyoriy 𝑀1𝑀2 kesma va shu kesmada yotuvchi 𝑀 nuqta berilgan bo’lsin. 𝑀1𝑀 va 𝑀𝑀2 kesmalar yordamida 𝜆 = 𝑀1𝑀 𝑀𝑀2 (3) nisbatni tuzamiz. Kesmani berilgan nisbatda boʼlish (3) tenglik bilan aniqlanadigan 𝜆 > 0 soni 𝑀1𝑀2 kesmani 𝑀 nuqta yordamida 𝝀 nisbatda bo’lish deyiladi. Agar 𝑀 nuqta 𝑀1𝑀2 kesmani 𝜆 nisbatda bo’lsa, u holda 𝑀 nuqtaning koordinatalari 𝑥 = 𝑥1+𝜆𝑥2 1+𝜆 , 𝑦 = 𝑦1+𝜆𝑦2 1+𝜆 (4) formulalar bilan ifodalanadi, bu yerda 𝑥1; 𝑦1 - 𝑀1 nuqtaning koordinatalari, 𝑥2; 𝑦2 esa 𝑀2 nuqtaning koordinatalari. Kesmani berilgan nisbatda boʼlish Agar 𝑀 nuqta 𝑀1𝑀2 kesmani teng ikkiga bo’lsa, u holda 𝑀 nuqtaning koordinatalari 𝑥 = 𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦 = 𝑦1+𝑦2 2 (5) formulalar bilan ifodalanadi. Kesmani berilgan nisbatda boʼlish Misol. 𝑀1 1; 1 va 𝑀2 7; 4 nuqtalar berilgan. Shunday 𝑀 nuqtani topingki, 𝑀1𝑀 masofa 𝑀𝑀2 masofadan ikki marta qisqa bo’lsin. Yechish. Izlanayotgan nuqta kesmani 𝜆 = 1 2 nisbatda bo’ladi. (4) formuladan foydalanib, topamiz: 𝑥 = 𝑥1 + 1 2 𝑥2 1 + 1 2 𝑦 = 𝑦1 + 1 2 𝑦2 1 + 1 2 Shunday qilib, 𝑀(3; 2) ekan. Kesmani berilgan nisbatda boʼlish Ox o’qdagi (𝑥1), 𝐵(𝑥2) va 𝐶(𝑥3) nuqtalarga 𝑚1, 𝑚2 va 𝑚3 massalar qo’yilgan. Bu sistemaning og’irlik markazi: 𝑥 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 . Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari А(х1 ) В(х2 ) х С(х3 ) Tekislikdagi 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) va 𝐶(𝑥3, 𝑦3) nuqtalarga 𝑚1, 𝑚2 va 𝑚3 massalar qo’yilgan. Bu sistemaning og’irlik markazi: 𝑥 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 , 𝑦 = 𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 . Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 𝑀3 𝑥3; 𝑦3 Uchburchakning og’irlik markazi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 , 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 va 𝑀3 𝑥3; 𝑦3 - uchburchakning uchlari bo’lsin. 𝑥𝐶 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 3 𝑦𝐶 = 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 3 . Uchburchakning yuzi 𝑀1 𝑥1; 𝑦1 , 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 va 𝑀3 𝑥3; 𝑦3 - uchburchakning uchlari bo’lsin. 𝑆 = 1 2 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 + 𝑥3 𝑦3 𝑥1 𝑦1 . Uchburchakning yuzi Foydali adabiyotlar ro’yxati 01 02 Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical Analysis I, (II). Springer-Verlag, Italia, Milan, 2008
Yuqorida algеbraik chiziq va uning tartibi to’g’risida tushuncha kеltirilgan edi. Shuningdek yuqorida birinchi tartibli algеbraik chiziqning xossalarini uning tеnglamasiga asoslanib tеkshirdik. Bu bobda ikkinchi tartibli algеbraik chiziqlarning gеomеtrik xossalarini o’rganishga o’tamiz. Ayrim «aynigan hollarni» (ikki to’g’ri chiziqqa aylanib kеtish, mavxum chiziqlar va x.k.) nazarga olmasak, ikkinchi tartibli chiziklar uchtadir (ellips, gipеrbola, parabola). 5v chiziqlarning talay xossalari qadimgi Grеtsiya olimlari tomondano ochilgan edi (Mеnеxm, Apolloniy va boshqalar, eramizdan oldingi IV — III asrlar). Bu chiziqlar astronomiya, mеxanika fanlari va tеxnikada kеng qo’llanilardi.