93
3.
а
=
i
-2
j
+3
k
bo’lsa 5
а
topilsin. Javob: 5
а
=(5;-10; 15).
4.
а
=-2
i
+3
j
-6
k
vektorning uzunligi topilsin. Javob:
а
=7.
5. Boshi
А
(5;7;9) oxiri
В
(2;4;3)
nuqtalarda bo’lgan
vektorning uzunligi
topilsin? Javob:
АВ
=3
6
.
6.
А
(5;-3;2) va
В
(2;1;2) nuqtalar orasidagi masofa topilsin.
Javob:
АB
=5 uz birl.
7.
А
(3;-2;1) va
В
(4;5;-3) nuqtalar
berilgan
АВ
kesmani 2:3 nisbatda
bo’luvchi nuqta topilsin. Javob:
С
(3,4; 0,8;-0,2).
8.
Uchlari
А
(2;1),
В
(-2;3) va
С
(0;3) nuqtalarda bo’lgan uchburchak
medianadarining uzunligi topilsin. Javob:
13
;
10
; 1
9.
АВ
kesma
С
nuqta yordamida 3:2 nisbatda bo’linadi
А
(-3;5;7) va
С
(2;3;4) nuqtaalar ma‘lum bo’lsa,
B
nuqtani toping. Javob:
В
(
3
1
5
;
3
2
1
;1).
10.
A
(-3;2;0) va
B
(5;4;-2) nuqtalar berilgan.
AB
kesmani o’rtasi
C
nuqta
topilsin. Javob:
C
(1;3;-1)
11.
Berilgan
),
4
;
2
;
3
(
),
0
;
7
;
5
(
),
1
;
3
;
2
(
c
b
a
vektorlar
orqali
ushbu
)
3
;
12
;
4
(
d
vektorni ifodalang. Javob:
c
b
a
d
12. OY o’qida yotib,berilgan
)
5
;
6
;
5
(
),
7
;
4
;
1
(
B
A
nuqtalardan teng
uzoqlikda turgan M nuqtaning koordinatalarini toping. Javob:
)
0
;
1
;
0
(
M
13. Agar
12
,
5
b
а
va
b
a
bo’lsa,
b
а
va
b
а
ifodalarni son
qiymatini toping. Javob:
b
а
=
b
а
=13.
14. Ushbu
j
i
a
3
2
va
k
j
b
2
3
vektorlar berilgan bo’lsa,
quyidagilarni toping:
1)
c
b
a
2
1
vektorning koordinatasini
2)
c
b
a
2
vektorni ortlar orqali ifodalang
3)
)
(
b
a
Пр
j
15.
Quyida keltirilgan hollarda
a
va
b
vektorlar o’zaro qanday shartlarni
qanoatlantiradi?
1)
b
а
<
b
а
Javob: 1)
)
(
b
a
o’tkir burchak.
2)
b
а
>
b
а
2)
)
(
b
a
o’tmas burchak.
3)
b
а
=
b
a
3)
a
va
b
vektorlar o’zaro bir xil yo’nalgan.
4)
b
а
=
b
а
4)
a
va
b
vektorlar o’zaro qarama-qarshi yo’nalgan.
O’z-o’zini tekshirish uchun savollar.
1.Skalyar va vektor kattaliklar nima?
2.Vektor nima?
94
3.Qanday vektorlar kollinear, komplanar, teng va qarama-qarshi deb
ataladi?
4.Vektorning moduli nima?
5.Vektorlar ustidagi qaysi amallar chiziqli amallar deb ataladi va ular
qanday amalga oshiriladi?
6.Vektorning o’qqa proeksiyasi nima va u qanday xossalarga ega?
7.Vektorning o’qdagi tashkil etuvchisi nima?
8.Dekart bazasi (ort) nima?
9.Nuqtaning radius-vektori nima?
10.Vektorning koordinatalari nima?
11.Vektor ortlar orqali qanday ifodalanadi?
12.Koordinatalari yordamida berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar
qanday bajariladi?
13.Vektorning uzunligi qanday topiladi?
14.Fazodagi ikki nuqta orasidagi masofa qaanday topiladi?
15.Fazoda kesmani berilgan nisbatda bo’luvchi nuqta qanday topiladi?
8-Mavzu: Vektorning yo’nalishi. Skalyar ko’paytma.
Reja:
1. Vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari.
2. Ikki vektorning kollinearlik sharti.
3. Skalyar ko’paytma tushunchasiga olib keluvchi ish haqidagi masala.
4. Skalyar ko’paytma.
5. Skalyar ko’paytmaning xossalari.
6. Skalyar ko’paytmani vektorlarning koordinatalari orqali ifodalash.
7. Ikki vektor orasidagi burchak.
8. Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti.
Adabiyotlar:
3,5.7,11,15,16
Tayanch iboralar:
yo’naltiruvchi kosinus, skalyar ko’paytma, skalyar
kvadrat, perpendikulyarlik,
parallellik
8.1. Vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari
.
Fazoda vektorning holati uni koordinata o’qlari bilan tashkil qilgan
,
,
burchaklar bilan aniqlanadi.
10-chizma.
Bu burchaklarning kosinuslari vektorning
yo’naltiruvchi kosinuslari
deb
ataladi. Shakldan
95
а
а
х
cos
,
а
а
у
cos
,
а
а
z
cos
tengliklarga ega bo’lamiz.
а
=
2
2
2
z
у
х
а
а
а
ekanini hisobga olsak bu tengliklar
2
2
2
cos
z
у
х
х
а
а
а
а
,
2
2
2
cos
z
у
х
у
а
а
а
а
,
2
2
2
cos
z
у
х
z
а
а
а
а
(8.1)
ko’rinishni oladi.
Vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari orasida bog’lanish o’rnatish
uchun
(8.1) ning barcha tengliklarini kvadratga ko’tarib hadma-had qo’shamiz. U holda
2
2
2
2
2
2
2
cos
cos
cos
z
у
х
х
а
а
а
а
2
2
2
2
z
у
х
у
а
а
а
а
2
2
2
2
z
у
х
z
а
а
а
а
1
2
2
2
2
2
2
z
у
х
z
у
х
а
а
а
а
а
а
bo’ladi. Demak istalgan vektorni yo’naltiruvchi kosinuslari kvadratlarining
yig’indisi birga teng ekan, ya’ni
1
cos
cos
cos
2
2
2
(8.1
) .
1-izoh.
Har qanday
0
а
birlik vektorni koordinata o’qlariga
proeksiyalari
uning yo’naltiruvchi kosinuslariga teng bo’lganligi uchun uni
0
а
=cos
i
+cos
j
+cos
k
ko’rinishida tasvirlash mumkin.
2
-i
zoh.
0
xy
tekislikdagi vektor uchun
0
90
,
0
90
yoki
0
90
bo’lganligi uchun (8.1
) tenglik
1
cos
cos
2
2
ma‘lum
ayniyatga aylanadi.
1-misol.
a
vektor Ox va Oy o’qlari
bilan mos ravishda
0
60
va
0
120
tashkil qiladi. Agar
2
a
bo’lsa,
a
vektorning koordinatalarini toping.
Yechish.
)
,
,
(
z
y
x
a
bo’lsin. Ma’lumki,
a
x
cos
,
a
y
cos
,
a
z
cos
Dastlab,
)
,
,
(
z
y
x
a
vektor fazoviy vector ekaniligini e’tiborga olib,
cos
ni topib olamiz. (8.1
) dan
2
1
4
1
4
1
1
120
cos
60
cos
1
cos
cos
1
cos
0
2
0
2
2
2
2
.
Bu yerdan
2
2
cos
yoki
2
2
cos
bo’ladi.
Demak, biz qidirayotgan
1
a
vektor ikkita
1
a
va
2
a
vektorlardan
iborat
bo’ladi.
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
a
vektor uchun cos
=
2
1
, cos
=
2
1
, cos
=
2
2
va
)
,
,
(
2
2
2
2
z
y
x
a
vektor uchun cos
=
2
1
, cos
=
2
1
, cos
=
2
2
bo’ladi.
Bu yerda
2
2
1
1
x
;
2
2
1
1
y
;
2
2
2
1
z
va
2
2
1
2
x
;
2
2
1
2
y
;
2
2
2
2
z
tengliklardan
96
1
1
x
;
1
1
y
;
2
1
z
va
1
1
x
;
1
1
y
;
2
1
z
ni ko’rsatish mumkin. Demak biz
qidirgan vektorlar,
)
2
;
1
;
1
(
1
a
va
)
2
;
1
;
1
(
2
a
ekan.
2-misol.
Agar
)
2
4
;
4
;
4
(
1
F
kuch berilgan bo’lsa, bu kuchning
yo’nalishini va son qiymatini toping.
Yechish.
Dastlab berilgan
)
2
4
;
4
;
4
(
F
kuchning son qiymatini
topamiz.
8
64
32
16
16
)
2
4
(
4
4
2
2
2
2
2
2
z
y
x
a
a
a
F
. Endi
F
kuchning
yo’naltiruvchi kosinuslarini topib olamiz. (8.1) formulalardan
2
1
8
4
cos
,
1
2
8
4
cos
,
2
2
8
2
4
cos
. Demak,
0
0
0
135
;
60
;
60
ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: 
