О ‘ zbekiston respublikasi oliy va о ‘ rta maxsus ta ’ lim vazirligi

6-misol. 
k
i
a






2
va 
k
j
i
b







2
3
vektorlarning vektor ko’paytmasi
topilsin. 
Yechish. 
(9.3) formulaga asosan: 
k
j
i
k
j
i
k
j
i
b
a











4
2
.
2
3
0
2
1
3
1
2
1
2
1
0
1
2
3
1
0
2















7-misol. 
Ushb 
k
j
i
a




2
3



, 
k
j
i
b




4
7
2




, 
k
j
i
c







2
, vektorlardan 
iborat bo’lsa, 
)
(
c
b
a





topilsin.
Yechish
. 












))
2
(
)
4
7
2
((
)
2
3
(
)
(
k
j
i
k
j
i
k
j
i
c
b
а
































)
4
2
4
4
7
2
7
7
2
2
2
2
(
)
2
3
(
k
k
j
k
i
k
k
j
j
j
i
j
k
i
j
i
i
i
k
j
i





































)
8
4
7
7
2
4
(
)
2
3
(
j
k
i
k
k
j
i
j
k
i
j
i
k
j
i
































)
3
2
(
)
2
3
(
)
8
4
7
7
2
4
(
)
2
3
(
k
j
i
k
j
i
i
j
i
k
j
k
k
j
i



































k
k
j
k
i
k
k
j
j
j
i
j
k
i
j
i
i
i


















3
2
2
2
2
3
2
3
3
2
3
3
k
j
i
i
j
i
k
j
k
j
k
i
k
k
j
i
j
k
i
j
i





















7
7
7
4
2
3
9
6
2
2
2
3
3
3
2
3






















 
8-misol. 
Tomonlari
 
k
j
i
a







2
, 
k
j
i
b




2
2



vektorlardan iborat 
parallelogrammning yuzi topilsin.
Yechish
(9.3) formulaga binoan: 
.
3
3
.
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
k
j
k
j
i
k
j
i
b
a
























2
3
18
)
3
(
)
3
(
0
2
2
2








b
a


(9.4) ga asosan
S
n
=3·
2
kv. birlik bo’ladi. 

---

109 
9-misol. 
Uchlari 
А
(2; 4; 3), 
В
(1; 0; 2) va 
С
(1; 4; 3) nuqtalarda bo’lgan 
uchburchakning 
A
burchagini sinusi topilsin. 
Yechish
: S
Δ
=
2
1
АС
АВ

=
2
1
АВ
·
АС
sin 
A
tenglikdan
sin 
A
=
АС
АВ
АС
АВ


(9.6) 
formulaga ega bo’lamiz. 
АВ
=(1-2; 0-4; 2-3)=(-1; -4; -1),
АС
=(1-2; 4-4; 3-3)=(-1; 0; 0), 
АВ
=
2
2
2
)
1
(
)
4
(
)
1
(





=3
2
,
АС
=
1
0
0
)
1
(
2
2
2




, 
АВ
х
АС
=
0
0
1
1
4
1




k
j
i
=
i
0
0
1
4


-
j
0
1
1
1



+
k
0
1
4
1



=
j

-4
k
, 
АС
АВ

=
2
2
2
)
4
(
1
0



=
17
. 
tengliklarga egamiz (9.6) formulaga ko’ra sin
A
=
1
2
3
17

=
2
3
17
bo’ladi. 
2
2
2
AC
AB
BC


 
bo’lganda A burchak o’tkir,
 
2
2
2
AC
AB
BC


bo’lganda u 
o’tmas burchak bo’ladi. 
10-misol. 
Qo’zg’almas o’q atrofida 
k
j
i




3
4
5




burchak tezlik bilan 
harakat qilayotgan qattiq jismning ixtiyoriy 
)
4
;
3
;
2
(

M
nuqtasini tezligi vektori 
M


topilsin. 
Yechish: 
Vektorli ko’paytmani topish formulasi (9.3) ga ko’ra 













3
2
4
5
4
2
3
5
4
3
3
4
4
3
2
3
4
5
]
[
k
j
i
k
j
i
r
M











.
24
26
7
)
8
15
(
)
6
20
(
)
9
16
(
k
j
i
k
j
i
















9.5. Uch vektorning aralash ko’paytmasi. 
a

,
b

va 
c

vektorlar berilgan bo’lsin.
2-ta’rif.
а

vektorning 
b

vektorga vektor ko’paytmasi 
b
a



ni uchinchi
c

vektorga skalyar ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan son 
a

,
b

,
c

vektorlarning 
aralash ko’paytmasi deyiladi. Vektorlar
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x







, 
k
b
j
b
i
b
b
z
y
x







,
k
c
j
c
i
c
c
z
y
x







yoyilmalari yordamida berilganda ularning aralash ko’paytmasi
c
b
a





)
(
ni topish uchun formula chiqaramiz. 
k
b
b
a
a
j
b
b
a
a
i
b
b
a
a
b
b
b
a
a
a
k
j
i
b
a
y
x
y
x
z
x
z
x
z
y
z
y
z
y
x
z
y
x















)
(

---

110 
vektorni 
skalyar 
ko’paytmani 
topish 
formulasi 
(8.9) 
ga 
asoslanib 
k
c
j
c
i
c
c
z
y
x







vektorga skalyar ko’paytiramiz . U holda
x
y
x
y
x
y
z
x
z
x
x
z
y
z
y
c
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
b
a
a
c
b
a











)
(
kelib chiqadi. Bu tenglikning o’ng tomonidagi ifoda
z
у
х
z
у
х
z
у
х
с
с
с
b
b
b
а
а
а
determinantning uchinchi satr elementlari boyicha yoyilmasi ekanini ko’rish 
qiyin emas. Demak
c
b
a





)
(
=
z
у
х
z
у
х
z
у
х
с
с
с
b
b
b
а
а
а
(9.7) 
Shunday qilib, uch vektorning aralash ko’paytmasi uchinchi tartibli 
determinantga teng bo’lib uning birinchi satrini birinchi ko’paytuvchi vektorning 
koordinatalari, ikkinchi va uchinchi satrlarini ikkinchi va uchinchi ko’paytuvchi 
vektorlarning koordinatalari tashkil etadi. 
Aralash ko’paytmani (9.7) ko’rinishdagi yozuvidan hamda determinantni 
xossasidan foydalanib, aralash ko’paytma uchun quyidagi xossani isbotlash 
mumkin. 
a
c
b
b
a
c
c
b
a

















)
(
)
(
)
(
Bundan tashqari, aralash ko’paytmada vektorli va skalyar ko’paytma 
belgilarini o’rnini almashtirib yozish ham mumkin, ya’ni 
)
(
)
(
c
b
a
c
b
a











. 
Shuning uchun ham ba’zida aralash ko’paytmani 
c
b
a





ko’rinishda ham 
yoziladi. 
11-misol.
k
j
i
a




2
2



,
k
j
i
b







3
2
va 
k
j
i
c




4
3
2



vektorlarning 
aralash ko’paytmasi topilsin .