Nazariy fizika kursi

7 . 1 . 4 - m i s o l .
Q uyidagi Lagranj funksiyasiga m os keluvchi G a m i l t o n
funksiyasini toping:
T
2 I,
L
= 
-m e
J 1 ---- -
\
с
bunda 
m
va 
с —
konstantalar (jismning massasi va yorug'lik tezligi). 
U m u m lash g an impulsni topaylik:
(7 .3 i;
p =
dL
dv
! 
i
-
h
:
V 
<2
(7 .3 2 )
194

---

Tezlik impulsning funksiyasi sifatida aniqlanadi:
P
1
i +
1 ->
m"c~
(7.33)
G a m ilto n funksiyasi: 
P2
H
= 
p v - L ( v ) = ■
" + 
m e '
P~
p~
+ 
m c"
/ 
1 2
= c'yj»rc + p
.
(7.34)
m с
Agar jismning tezligi (impulsi) nolga. teng bo'lsa, G am ilton funksiyasi 
o'zgarmas songa tenglashadi: 
H
=
me2.
7.1.5-misol. 
Quyidagi Gamilton funksiyasi uchun G am ilton tenglama- 
larini tuzing va ularni yeching:
H =
( p - r ‘ Y
G a m ilto n tenglamalari:
K o ‘rinib turibdiki,
yoki
Dem ak.
p
= 2
r ( p - r
); 
r
=
p - r
p
= 
2
rr.
~ ( P ~r-) =
0
. 
dt
р - r '
= q .
Natijada harakat tenglamalari osongina yechiladi:
2 .2
2
r = c{t + c2, p - C{t"
+ 
2
c,
c2t + с
i 
+ c2.
с
, 
c1
— boshlang'ich shartlardan aniqlanadigan konstantalar.
7.1.6-misol. 
G am ilto n funksivasi
2
2
2 
P 
0)nX
+ Я
( 
2
 
2
 
2
\ 
P
, 
M0X
(7.35)
(7.36)
(7.37)
(7.38)
(7.39)
k o ‘rinishga ega b o ‘lgan sistemaning harakatini aniqlang.
195

---

Agar
2 
2 1
2 
2
deb belgilab olinsa, G am ilton funksiyasining vaqtga bog‘liq emasligidan 
u n in g
o 'z g a r m a s songa tengligi: 
H 
=
£ 0
+ A£„ 
=
const va n a tija d a , 
ekanligi olinadi. Kanonik tenglamalar:
(7.40)
E
0
= const
0
Э//
P
= 
= -<Ч) (1 + 2Я£
0
)х, 
dx
x
=
Э 
H
dp
(l + 
2
A£
0
)p.
Agar ty = (1 + 2Я£п)(Оо belgilash kiritsak, sistemaning yechimi
(7.41)
(7.42)
a* = A cos cor, 
p = -cty A sin 
cot
ko‘rinishda ekanligi topiladi, bunda 
A 
—
ixtiyoriy konstanta.
7.1.7-misol. Tajriba shuni ko'rsatadiki, zaryadi 
e
va massasi 
m
bo'lgan 
zarrachaning tashqi elektromagnit maydondagi Lagranj funksiyasi
1 
7 
С
L = —mr -e(p(r,t)
+ — i- ■
A(r.f)
2 
c
(7.43)
ko‘rinishga ega. Bu yerda kiritilgan 


va A 
(r.t)
funksiyalar elektro­
magnit maydonning skalar va vektor potensiallari deyiladi. Shu Lagranj 
funksiyasiga mos keluvchi Gamilton funksiyasi topilsin.
Umumlashgan impulslar:
p = 
mv
н— A. 
с
Gamilton fuksiyasi:
H = p - r - L = -
Gamiiton tenglamalariga o‘taylik: 
• -
dH
-
!
^ 
Эг 
m
_ 
dH
1 
(
Эр
In
e
i> ; -
- Л 
с
e
■
 e(p.
VA, -
eV 
(7.44)
(7.45)
(7.46)
Bu birinchi tartibli tenglamalar sistemasi, tenglamalar soni oltita. Ularni 
uchta ikkinchi tartibli tenglamalar sistemasiga aylantirish mumkin. Buning
196

---

uchun ikkinchi tengiamadan yana bir marta vaqt bo'yicha 
hosila olinadi:
€
• 
С
mr = —
 eV(p
— A + —r VA . 
(7.47)
с 
с
Ikkita oxirgi hadlarni bir oz o'zgartiraylik. Ikkinchi had- 
dagi vaqt bo'yicha to ‘liq hosilani murakkab funksiyaning 
hosilasini hisoblash qoidasi bo'yicha ochamiz:
A = — A fr
,t) =
—
+ ( r - V ) A = — A + r; — A.
dt 
dt 
di 
1 dr,
(7.48)
Natijada harakat tenglama indekslar orqali yozilganda 
quyidagi ko'rinishni oladi:
Э 
e 
e
. 
mr
= 
—e
—
ф
1
- — 
r;
dr
V г 
dt 
■■ J
ЭА; 
ЭД-
Odatda
dA
E = - V < p - ^ : , 
В 
= rotA 
cdt
7.1-rasm.
M agnit
m aydonda
zaryad.
(7.49)
(7 .5 0 )
formulalar orqali elektr E va 
В
magnit maydon kuchlanganliklari kiritiladi. 
Ularning tilida yuqoridagi tenglama (tezliklarga o'tilganda: 
i- 
= 
v )
m\
= eE + —
[vBJ
с
(7.51)
ko'rishni oladi. 0 ‘ng tomongagi ifoda Lorentz kuchi deyiladi.
7 .1 .8 - m is o l. 
Massasi 
m
va zaryadi 
e
bo'igan zarracha tashqi bir jinsli 
o'zgarmas 
В
= (0,0,5) magnit maydondagi harakatini Gamilton tengla­
malari orqali o ‘rganing (7.1-rasmga qarang).
Tashqi magnit maydondagi zarrachaning Gamilton funksiyasi
H =
(7.52)
2m
ko‘rinishga ega bo'Iadi (awalgi misolga qarang). Bu yerda paydo bo‘lgan 
vektor A magnit maydon bilan quyidagicha bog‘langan: B=rotA. Magnit 
maydoni o'zgarmas va faqat z-komponentaga ega bo'lishi uchu vektor 
potensial A=(0,xB,0) komponentalik vektor bo'lishi kerak. Shuni hisobga 
olib zaryadining Gamilton funksiyasini ochib yozib olamiz:
197

---

Ikkita siklik koordinataga egarniz: 
у
va 
z-
Ularga ikkita harakat integrali 
mos keladi: 
p 
=
const 
va 
P.
= const. Quyidagi belgilashlar kiritilsa:
_ 
cB_ 
_
 
Ф у
Ш ~ me ’
A° ~ 
eB
Gamilton funksivasi
H = £ i . + ^ l (x. xti)2 + b _
 
(
7
.
54
) 
2m 
2 
2m
ko'rinishga keladi. Bu — muvozanat nuqtasi x
0
bo'lgan bir o'lchamli garmonik 
ossillatorning o'zi. Uning yechimlari m a’lum:
x
= .v 
+ a cos( cot +

), 
p 
= —m a o J s i n ( ( Q t + Ф ).
Г7 5 5 )
0
 
O 
' 
0
 
\ 
/
у
va 
z
koordinatalar bo'yicha harakat tenglamalarini ham yozaylik:
- c mc o s ( c o t
+ tpQ),
-
( 7 5 6 )
. 
ЭЯ 
i / 
e
v = —
= — | 
p
—
xB
op 
m
Bulardati
v = -« sin (w / + <р
0
) + у 0, 
z = — t + z0
(
7
.
5 7
)
m
ekanligi topiladi.
Demak, zarracha В maydonga parallel yo'nalgan 
(x = x(l, у
= 0)-o ‘q 
bo'yicha o'zgarmas 
p./m
tezlik bilan harakat qilmoqda, shu bilan bir 
vaqtda u 
(x, y)
tekisligida shu o ‘q atrofida burchak tezlik bilan avlan- 
moqda.
7 .3 . Raus funksiyasi va siklik koordinatalar
L agranj fo r m a liz m i h a q i d a gap k e ta y o tg a n id a siklik k o o rd in a ta
tu s h u n c h a s i kiritilgan edi. Siklik deb Lagranj funksiyasida ishtirok 
e tm a g a n u m u m la s h g a n k o o rd in a ta n i aytilgan edi. U n g a m o s kelgan 
u m u m l a s h g a n t e z l i k L a g r a n j f u n k s i y a s i d a i s h t i r o k e t a d i :