|
2-bob.1.2. Matematik induksiya usuliga qaytaylik. Matematik induksiya usulining birinchi bosqichi (induksiya asosi) har doim zarur ekanligini unutmang. Ushbu bosqichning yo'qligi noto'g'ri xulosaga olib kelishi mumkin.
5.5.6-misol. Keling, jumlani "isbotlaylik": "7" + 1 soni har qanday natural son uchun 3 ga bo'linadi ".
“Buni qandaydir tabiiy qiymat uchun deylik uchun 7*+1 soni 3 ga bo'linadi. 7 x +1 soni 3 ga bo'linishini isbotlaylik. O'zgartirishlarni bajaring:
6 soni 3 ga bo'linishi aniq. Raqam 1 dan + gacha induktiv gipoteza bo'yicha 3 ga bo'linadi, shuning uchun 7-(7* + 1) soni ham 3 ga bo'linadi. Demak, 3 ga bo'linadigan sonlar farqi ham 3 ga bo'linadi.
Taklif isbotlangan."
Induktiv qadam to'g'ri bo'lishiga qaramay, dastlabki taklifning isboti noto'g'ri. Darhaqiqat, da n= Menda 8 raqami bor n=2 - 50, ... soni va bu raqamlarning hech biri 3 ga bo'linmaydi.
Keling, induktiv o'tishni amalga oshirishda natural sonning belgilanishi haqida muhim fikrni aytaylik. Taklifni shakllantirishda A(p) xat P biz o'zgaruvchini belgiladik, uning o'rniga har qanday natural sonlar almashtirilishi mumkin. Induktiv gipotezani shakllantirishda biz o'zgaruvchining qiymatini harf bilan belgiladik uchun.
Keling, matematik induksiya usulining mohiyatiga murojaat qilaylik. Keling, turli xil bayonotlarni ko'rib chiqaylik. Ularni umumiy va xususiy turlarga ajratish mumkin.Umumiy gaplarga misollar keltiramiz.
Barcha Rossiya fuqarolari ta'lim olish huquqiga ega.
Har qanday parallelogrammada kesishish nuqtasidagi diagonallar ikkiga bo'linadi.
Nol bilan tugaydigan barcha raqamlar 5 ga bo'linadi.
Shaxsiy bayonotlarning tegishli misollari:
Petrov ta'lim olish huquqiga ega.
ABCD parallelogrammasida kesishish nuqtasidagi diagonallar ikkiga bo'lingan.
140 soni 5 ga bo'linadi.
Umumiy gaplardan alohida gaplarga o'tish deduksiya deb ataladi (lotinchadan chegirma - mantiq qoidalariga muvofiq xulosa).
Deduktiv xulosaga misol keltiring.
Barcha Rossiya fuqarolari ta'lim olish huquqiga ega. (bir)
Petrov Rossiya fuqarosi. (2)
Petrov ta'lim olish huquqiga ega. (3)
Umumiy tasdiqdan (1) (2) yordamida xususiy tasdiq (3) olinadi.
Muayyan gaplardan umumiy gaplarga teskari o'tish induksiya deb ataladi (lotinchadan induksiya - yo'l-yo'riq).
Induksiya ham to'g'ri, ham noto'g'ri xulosalar chiqarishga olib kelishi mumkin.
Buni ikkita misol bilan tushuntiramiz.
140 soni 5 ga boʻlinadi. (1)
Nol bilan tugaydigan barcha raqamlar 5 ga bo'linadi. (2)
140 soni 5 ga boʻlinadi. (1)
Barcha uch xonali raqamlar 5 ga bo'linadi. (2)
Maxsus gapdan (1) umumiy gap (2) olinadi. (2) bayonot to'g'ri.
Ikkinchi misol umumiy bayonotni (3) qanday qilib ma'lum bir bayonotdan (1) olish mumkinligini ko'rsatadi, bundan tashqari, (3) bayonot to'g'ri emas.
Keling, faqat to'g'ri xulosalar chiqarish uchun matematikada induksiyadan qanday foydalanish kerakligi haqida o'zimizga savol beraylik. Keling, matematikada qabul qilinishi mumkin bo'lmagan induksiyaning ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.
1-misol.
Leonard Eyler e'tibor bergan quyidagi R(x)= x 2 + x + 41 ko'rinishdagi kvadrat trinomialni ko'rib chiqaylik.
P (0) = 41, P (1) = 43, P (2) = 47, P (3) = 53, P (4) = 61, P (5) = 71, P (6) = 83, P (7) = 97, P (8) = 113, P (9) = 131, P (10) = 151.
Har safar uch a'zoning qiymati tub son ekanligini ko'ramiz. Olingan natijalarga asoslanib, biz ko'rib chiqilayotgan trinomialga almashtirilganda x o'rniga Har qanday manfiy bo'lmagan butun son har doim tub songa olib keladi.
Biroq, chiqarilgan xulosani ishonchli deb hisoblash mumkin emas. Nima bo'ldi? Gap shundaki, mulohaza yuritishda har qanday x haqida umumiy gaplar faqat x ning ba'zi qiymatlari uchun bu bayonot to'g'ri bo'lganligi sababli amalga oshiriladi.
Haqiqatan ham, P(x) uch a'zosini chuqurroq o'rganib chiqsak, P(0), P(1), ..., P(39) raqamlari tub sonlardir, lekin P(40) = 41 2 kompozit sondir. Va juda aniq: P(41) = 41 2 +41+41 41 ning karrali.
Ushbu misolda biz 40 ta alohida holatda to'g'ri bo'lgan va umuman olganda adolatsiz bo'lgan bayonot bilan uchrashdik.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
2-misol
17-asrda V.G. Leybnits har qanday natural n uchun n 3 - n ko‘rinishdagi sonlar 3 ga karrali, n 5 - n 5 ga karrali, n 7 - n 7 ga karrali bo‘lishini isbotladi. Shunga asoslanib, u har qanday toq k sonlar uchun ko‘rinishdagi sonlar ekanligini isbotladi. va tabiiy n, nk soni - n karrali k, lekin tez orada uning o'zi 2 9 -2=510 ekanligini payqadi, bu aniq, 9 ga bo'linmaydi.
Ko'rib chiqilgan misollar muhim xulosa chiqarishga imkon beradi: bayonot bir qator maxsus holatlarda to'g'ri va shu bilan birga umuman adolatsiz bo'lishi mumkin.
Tabiiyki, savol tug'iladi: bir nechta alohida holatlarda to'g'ri bo'lgan bayonot mavjud; barcha alohida holatlarni ko'rib chiqish mumkin emas; bu gapning to'g'riligini qanday bilasiz?
Bu savolni ba'zan matematik induksiya usuli deb ataladigan maxsus fikrlash usulini qo'llash orqali hal qilish mumkin. Bu usul asoslanadi matematik induksiya printsipi, quyidagicha xulosa qilingan: bayonot har qanday natural n uchun to'g'ri bo'ladi, agar:
u n = 1 uchun amal qiladi;
ba'zi bir ixtiyoriy natural n =k uchun bayonotning haqiqiyligidan kelib chiqadiki, u n = k +1 uchun to'g'ri.
Isbot.
Buning aksini faraz qilaylik, ya’ni har bir natural n uchun gap to‘g‘ri bo‘lsin. U holda shunday natural m soni mavjud
n = m uchun bayonot to'g'ri emas,
hamma uchun n
Ko'rinib turibdiki, m >1, chunki tasdiq n =1 (1-shart) uchun to'g'ri. Demak, m -1 natural sondir. m -1 natural soni uchun bayonot to'g'ri, keyingi m natural soni uchun esa bu to'g'ri emas. Bu 2-shartga zid keladi. Natijada paydo bo'lgan ziddiyat farazning noto'g'ri ekanligini ko'rsatadi. Demak, tasdiq har qanday natural n, h.e.d.
Matematik induksiya tamoyiliga asoslangan isbot matematik induksiya usuli bilan isbot deyiladi. Bunday isbot ikkita mustaqil teoremani isbotlashdan ikki qismdan iborat bo'lishi kerak.
Do'stlaringiz bilan baham: |
