|
5.5.1-misol. Keling, raqam ekanligini isbotlaylik p+p hatto hamma uchun ham tabiiydir P.
Bu yerda A(p) = "n 2 + n- juft son". Buni isbotlash talab qilinadi LEKIN - bir xil haqiqiy predikat. Biz matematik induksiya usulini qo'llaymiz.
induksiya asosi. l=1 ni olaylik. Ifodada almashtiring P+//, olamiz n 2 +n= I 2 + 1 = 2 juft son, yaʼni /1(1) toʻgʻri gap.
Keling, shakllantiramiz induktiv gipoteza A(k)= "Raqam 2 + dan - gacha hatto." Siz shunday deyishingiz mumkin: “Ixtiyoriy natural sonni oling uchun shu kabi 2 + gacha juft sondir.
Biz bundan xulosa chiqaramiz A(kA-)= "Raqam (k+ 1) 2 + (? + 1) - juft.
Operatsiyalarning xususiyatlariga ko'ra biz o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
Hosil boʻlgan yigʻindining birinchi hadi taxmin boʻyicha juft, ikkinchisi esa taʼrifi boʻyicha juft (chunki u 2 koʻrinishga ega) P). Demak, yig'indi juft sondir. Gap A(k+ 1) isbotlangan.
Matematik induksiya usuli bilan biz xulosa qilamiz: jumla A(p) hamma tabiiy uchun to'g'ri P.
Albatta, har safar yozuvni kiritishning hojati yo'q A(p). Shu bilan birga, induktiv taxminni va undan nimani chiqarish kerakligini alohida satrda shakllantirish tavsiya etiladi.
E'tibor bering, 5.5.1-misoldagi tasdiqni matematik induksiya usulidan foydalanmasdan isbotlash mumkin. Buning uchun ikkita holatni ko'rib chiqish kifoya: qachon P hatto va qachon P g'alati.
Ko'pgina bo'linish masalalari matematik induksiya yordamida hal qilinadi. Keling, murakkabroq misolni ko'rib chiqaylik.
5.5.2-misol. 15 soni 2u_| ekanligini isbotlaymiz +1 barcha natural sonlar uchun 8 ga bo'linadi P.
Bacha induksiyasi./1=1 ni olaylik. Bizda: 15 raqami 2|_| +1 = 15+1 = 16 8 ga bo'linadi.
, bu ba'zilar uchun
natural son uchun 15 2 * '+1 soni 8 ga bo'linadi.
Keling, isbot qilaylik unda raqam qancha lekin\u003d 15 2 (ZHN +1 8 ga bo'linadi.
Keling, raqamni aylantiramiz lekin:
Farazga ko'ra, 15 2A1 +1 soni 8 ga bo'linadi, ya'ni butun birinchi had 8 ga bo'linadi. Ikkinchi had 224=8-28 ham 8 ga bo'linadi. Shunday qilib, son lekin chunki 8 ga karrali ikki sonning ayirmasi 8 ga bo'linadi. Induktiv qadam oqlanadi.
Matematik induksiya usuliga asoslanib, biz hamma uchun tabiiy degan xulosaga kelamiz P 15 2 "-1 -*-1 soni 8 ga bo'linadi.
Keling, hal qilingan muammo bo'yicha ba'zi fikrlarni aytaylik.
Tasdiqlangan bayonot biroz boshqacha shakllantirilishi mumkin: "15" "+1 soni har qanday g'alati natural / va uchun 8 ga bo'linadi".
Ikkinchidan, isbotlangan umumiy bayonotdan ma'lum bir xulosa chiqarish mumkin, uning isbotini alohida masala sifatida keltirish mumkin: 15 2015 +1 soni 8 ga bo'linadi. Shuning uchun ba'zan masalani belgilab umumlashtirish foydali bo'ladi. ma'lum bir qiymatni harf bilan belgilang va keyin matematik induksiya usulini qo'llang.
Eng umumiy ma’noda “induksiya” atamasi alohida misollar asosida umumiy xulosalar chiqarishni bildiradi. Masalan, 2+4=6, 2+8=10, 4+6=10, 8+12=20, 16+22=38 juft sonlar yigʻindisiga baʼzi misollarni koʻrib chiqib, biz har qanday ikkitaning yigʻindisi degan xulosaga kelamiz. juft sonlar juft sondir.
Umumiy holda, bunday induktsiya noto'g'ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Keling, bunday noto'g'ri mulohazalarga misol keltiraylik.
5.5.3-misol. Raqamni ko'rib chiqing lekin= /r+n+41 tabiiy /? uchun.
Keling, qiymatlarni topamiz lekin ba'zi qadriyatlar uchun P.
Bo'lsin n= I. Keyin a = 43 - tub son.
/7=2 bo'lsin. Keyin lekin= 4+2+41 = 47 tubdir.
l=3 bo'lsin. Keyin lekin= 9+3+41 = 53 tub.
/7=4 bo'lsin. Keyin lekin= 16+4+41 = 61 tubdir.
Qadriyat sifatida qabul qiling P 5, 6, 7 kabi to'rtlikdan keyingi raqamlarni kiriting va raqamga ishonch hosil qiling lekin oddiy bo'ladi.
Xulosa qilamiz: “Barcha tabiiy uchun /? raqam lekin oddiy bo'ladi."
Natijada noto'g'ri bayonot. Qarama-qarshi misol: /7=41. Bunga ishonch hosil qiling P raqam lekin kompozit bo'ladi.
"Matematik induksiya" atamasi torroq ma'noga ega, chunki bu usuldan foydalanish har doim to'g'ri xulosa chiqarishga imkon beradi.
5.5.4-misol. Induktiv fikrlash asosida biz umumiy atama formulasini olamiz arifmetik progressiya. Eslatib o'tamiz, arifmetika kasbi deyiladi raqamli ketma-ketlik, ularning har bir atamasi oldingisidan bir xil son bilan farqlanadi, bu progressiya farqi deb ataladi. Arifmetik kasbni noyob tarzda belgilash uchun uning birinchi a'zosini ko'rsatish kerak lekin va farq d.
Shunday qilib, ta'rifga ko'ra a p+ = a n + d, da n> 1.
IN maktab kursi matematiklar, qoida tariqasida, arifmetik kasbining umumiy atamasining formulasi alohida misollar asosida, ya'ni aniq induksiya bilan belgilanadi.
Agar /7=1, keyin FROM 7| = Men|, keyin men| = tf|+df(l -1).
Agar /7=2 bo'lsa, i 2 bo'ladi = a + d, ya'ni lekin= I|+*/(2-1).
Agar /7=3 bo'lsa, i 3 = i 2 + = bo'ladi (a+d)+d = a+2d, ya'ni i 3 = i|+(3-1).
Agar /7=4 bo'lsa, u holda i 4 = i 3 +*/ = ( a+2d)+d\u003d R1 + 3 va boshqalar.
Berilgan aniq misollar gipotezani ilgari surishga imkon beradi: umumiy atama formula shaklga ega lekin" = a+(n-)d hamma uchun /7>1.
Bu formulani matematik induksiya usuli bilan isbotlaylik.
asosiy induksiya oldingi muhokamalarda tasdiqlangan.
Bo'lsin -ga men * - a+(k-)d (induktiv taxmin).
Keling, isbot qilaylik men*+! = a+((k+)-)d, ya'ni i*+1 = ax+kd.
Ta'rifi bo'yicha i*+1 = ab + d. a uchun= i | +(k-1 )d, degani, ac+\u003d i i + (A: -1) ^ / + c / \u003d i | +(A-1+1 )d= men i +kd, bu isbotlash uchun talab qilingan (induktiv o'tishni oqlash uchun).
Endi formula i„ = a+(n-)d har qanday natural son uchun isbotlangan /;.
Qandaydir ketma-ketlik i b i 2, i, „ ... boʻlsin (yoʻq
arifmetik yoki geometrik progressiya bo'lishi shart). Ko'pincha birinchisini yig'ish kerak bo'lgan muammolar mavjud P bu ketma-ketlikning a'zolari, ya'ni R|+i 2 +...+i yig'indisini va ketma-ketlik a'zolarini hisoblamasdan, bu yig'indining qiymatlarini topish imkonini beruvchi formulani belgilang.
5.5.5-misol. Birinchisining yig'indisi ekanligini isbotlaylik P natural sonlar
Do'stlaringiz bilan baham: |
