Mundarija: I. Kirish: II. Asosiy qism

/?(/7 + 1)
1+2+...+/7 yig‘indisini bilan belgilang Sn. Keling, qiymatlarni topamiz S n ba'zilar uchun /7.
E'tibor bering, S 4 yig'indisini topish uchun siz ilgari hisoblangan 5 3 qiymatidan foydalanishingiz mumkin, chunki 5 4 = 5 3 +4.
n (n +1)
Agar biz ko'rib chiqilgan qiymatlarni almashtirsak/? muddatda --- nimadir
biz mos ravishda bir xil 1, 3, 6, 10 summalarini olamiz. Bu kuzatishlar
. _ n (n + 1)
formulani taklif qiladi S„=--- qachon foydalanish mumkin
har qanday //. Keling, bu taxminni matematik induksiya usuli bilan isbotlaylik.
asosiy induksiya tasdiqlangan. Keling buni bajaramiz induktiv o'tish.
Faraz qilaylik formula ba'zi natural sonlar uchun to'g'ri ekanligini
, k(k + 1)
k, keyin tarmoq birinchisining yig'indisidir uchun natural sonlar ----.
Keling, isbot qilaylik birinchi (?+1) natural sonlar yig‘indisi ga teng ekanligini

• 
  (* + !)(* + 2)
  

Keling, ifoda qilaylikmi?*+1 orqali S k . Buning uchun S*+i yig'indisida birinchisini guruhlaymiz uchun atamalarni kiriting va oxirgi atamani alohida yozing:
Induktiv gipoteza bo'yicha S k = Shunday qilib, topish uchun
birinchi (? + 1) natural sonlar yig'indisi, allaqachon hisoblangan uchun etarli
. „ k(k + 1) _ .. ..
birinchisining yig'indisi uchun--- ga teng sonlar, bitta atama qo'shing (k + 1).
Induktiv o'tish oqlanadi. Shunday qilib, boshida ilgari surilgan gipoteza isbotlangan.
Biz formulani isbotladik S n = n ^ n+ usuli
matematik induksiya. Albatta, boshqa dalillar ham bor. Masalan, siz summani yozishingiz mumkin S, atamalarning o‘sish tartibida, so‘ngra esa kamayish tartibida:
Bir ustundagi hadlar yig'indisi doimiy (bir yig'indida har bir keyingi had 1 ga kamayadi, ikkinchisida esa 1 ga ortadi) va (/r + 1) ga teng. Shuning uchun, olingan summalarni umumlashtirib, biz bor P(u+1) ga teng shartlar. Shunday qilib, miqdorni ikki baravar oshiring S „ ga teng n(n+ 1).
Tasdiqlangan formula sifatida olinishi mumkin maxsus holat birinchisining yig'indisi uchun formulalar P arifmetik progressiyaning a'zolari.