Mundarija: I. Kirish: II. Asosiy qism

1-bob 1.4 . 1-teorema .n = 1 uchun tasdiq to’g’ri.
2-teorema. Ixtiyoriy n=k uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda,
navbatdagin=k+1 natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi.
Agar ikkala ushbu teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya
tamoyiliga asoslangan holda, tasdiq ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb
xulosa qilinadi.
Eslatma. Barcha natural sonlar uchun emas, balki n dan katta yoki teng m
natural sonlar uchun induksiya bo’yicha tasdiqni isbotlash zarur bo’ladi. Bunday
holda isbotlash quyidagicha bajariladi.
1-teorema. N = m da tasdiq to’g’ri.
2-teorema. N=k da tasdiq to’g’ri berilgan, k ≥m. n = k +1 da tasdiq o’rinli
ekanligini isbotlash lozim.
Demak matematik induksuya prinspini matematikaning turli bo’limlarida qo’llashimiz mumkin ekan. Matematik induksiya metodi akademik litsey va kasb hunar kollejlarida o’tiladi. Bu metodni o’quvchilarga tushuntirish uchun eng avvalo induksiya o’zi nima ekanligini o’rgatish lozim.

Matematik induksiya metodining asosiy prinsplarini bayon etishga, uni turli sohalarga tadbiqlarini ko’rsatishga va shular orqali bu metodni o’z-lashtirishni ta’minlashga mo’ljallangan.

Matematik induksiya metodini tadbiqlari.
Har bir fanni egallash undagi turli-tuman faktlarni, asosiy qonuniyaylarni bilib olish bilan birga shu fandagi tadqiq qilish metodlarini o’zlashtirishni ham taqozo qiladi. Qadimiy va navqiron matematika fanda ham u o’rgana- digan ob’ektlarni, qonuniyatlarini ochuvchi qator metodlar yaratilgan. Ularning ba’zilari muayyan masalalar uchun mahsus yaratilgan bo’lsa, umummatematik ahamiyatga egadir.
Ana shunday umumiy harakterdagi metodlarni mukammal egallash matema- tika fani sohasida yaxshi mutahasis bo;lishning, uning ichki sirlarini anglab yetishning zaruriy shartidir.
Matematik induksiya metodi matematikaning turli tuman, hatto bir biridan juda olis sohalarida muvafaqiyat bilan keng qo’llaniladigan metoddir. Avvalo bu metod o’zining juda sodda bo’lgan g’oyasi bilan e’tiborga sazovordir. Ik- kinchidan, bu metod isbotlanayotgan gipotezaning yoki teoremaning aniq bayonini keltirishda ma’lum “topog’onlik” ni talab etishi bilan ham harakter- lidir.
Matematik induksiya elemental matematikaning barcha sohalaridagina emas, balki hozirgi zamonaviy matematikaning turli bo’limlarida ham yangi-yangi faktlarni isbot qilishning muhim omilidir.
Matematik induksiya metodi biror-bir tasdiqni hosil qilish usuli emas, balki berilgan tasdiqni isbotlash usuli ekanligini eslatib o’tamiz. Bu metod- ning qo’llanishiga doir misollar ko’rib chiqamiz.
1-misol. N ning barcha natural qiymatlarida ifodaning qiymati 6 ga bo’linishini isbotlang.
Isbot. Matematik induksiya metodini qo’llaymiz.

1. 
   
   n=1 bo’lsin. U holda
   

ga ega bo’lamiz. 12 soni 6 ga bo’linadi.

2. 
   
   n=k bo’lsa, ifodaning qiymati soniga teng
   

bo’ladi. Bu son 6 ga bo’linadi deb faraz qilamiz.

N=k+1 da. Ushbu

ifoda 6 ga bo’linishini isbotlaymiz. Bining uchun yuqoridagi ifodadagi qavs- larni ochib chiqamiz va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi.

Farazimizga ko’ra, soni 6 ga bo’linadi. Ketma-ket keluvchi ikkita natural sonning ko’paytmasi bo’lgan soni 2 ga bo’lingani uchun,
soni 6 ga bo’linadi. Shuning uchun

soni 6 ga bo’linadi.

Demak n ning barcha natural qiymatlarida ifoda 6 ga bo’linadi.
Matematik induksiya metodi degan nom bir oz noqulayroq tanlangan bo’lib, uning induksiya metodi bilan hech qanday umumiyligi yo’q.
Matematika induksiya metodi – deduktiv metod, u induktiv mulohazalar yor- damida aniqlangan tasdiqlarning qat’iy isbotini beriladi yoki uni qat’iyan rad etadi.
Bu metodnimg asosini aniqlaylik. Metematik induksiya bilan isbotlaganimiz-da: agar biror A(n) tasdiq n=1 uchun o’rinli bo’lsa, n=k uchun A(n) tasdiqni
to’g’ri deb faraz qilib, n=k+1 uchun uning to’g’riligini isbotladik va shundan so’ng aytilgan A(n) tasdiq istalgan n natural son uchun to’g’ri deb xulosa qil- dik. Bu mulohazalardan, agar A(n) tasdiq n=1 da to’g’ri bo’lsa u n=2, n=3 va hokazolar uchun o’rinli bo’ladi, demak, u barcha n natural sonlar uchun to’g’ri bo’ladi. Bu yerda natural sonlar tushunchasi o’z-o’zidan ayon, izoh talab qilmaydigan tushuncha deb hisoblangan edi. Ammo hozirgi zamon matematikasida o’z-o’zidan ayon tushunchalardan foydalanilmasadan, har qanday tushuncha avvaldan ma’lum tushunchalar yordamida aniqlangan bo’li- shi yoki aksiomatik kiritilishi kerak.
Arifmetika uchun bunday boshlang’ich tushunchalar birlik, natural son va “bundan keyin keladi” tushunchalari bo’lib, bu tushunchalarning asosiy hossa-lari - Peano aksiomalaridir.
Bu aksiomalar natural son tushunchasini aniqlashga bag’ishlanadi.
1-aksioma. Hech qanday sondan keyin kelmaydigan 1 raqami mavjud.
2-aksioma. Har qanday son uchun undan keyin keladigan bitta va faqat bittagina son mavjud, ya’ni ekanligidan dan ekani kelib chiqadi.
4-aksioma. Natural sonlarningM to’plami quyidagi xossalarga ega bo’lsin:

1. bir soni M ga tegishli;

   
   

2. agar n soni M ga tegishli bo’lsa u holda ham M ga tegishli bo’ladi. Y holda M to’plamda hamma natural sonlar bo’ladi, ya’ni barcha natural sonlar to’plami M bilan ustma-ust tushadi.

   
   

To’rtinchi aksioma matematik induksiya aksiomasi deyiladi, matematik induk- siya metodi shu aksiomaga asoslangandir. Haqiqatdan ham A(1) tasdiq rost bo’lsin, A(k) ning rostligidan A(k+1) tasdiqning rostligi kelib chiqsin. A(n) tas-diq o’rinli bo’lgan natural sonlar to’plamini M deylik. Farazga ko’ra 1€M (tasdiq n=1 da o’rinli), k€M dan k€M kelib chiqadi. U holda 4-aksiomaga asosan M toplam barcha n natural sonlar uchun o’rinlidir.

Natural sonlar arifmetikasida matematik induksiya metodi asosiy metoddir.
Arifmetikani aksiomatik kursida natural sonlar ustida bajaralidigan barcha amallar shu metod yordamida aniqlanadi. Natural sonlarni qo’shish va ayirish amallari va bu amallar xossalarining isboti, katta va kichik munosabatlari va ular xossalarining isboti matematik induksiya metodi orqali beriladi.
2-misol. ifoda qanday songa karrali ekanini aniqlash vazifa qilib berilgan bo’lsin.
Yechilishi. ga ketma – ket qiymatlar berib ifodaning qiymatla-rini tekshiraylik va biror qonuniyatni aniqlashga harakat qilaylik:
bo’lsa, ga karrali son hosil bo’ladi.
bo’lsa, yani 3ga karrali son hosil bo’ladi.
bo’sa, bu son ham 3 ga bo’linadi.
bo’lsa, yani 3 ga karrali son hosil bo’ladi.
Demak, bo’lganda yig’indi 3 ga bo’linar ekan.
Ushbu gipoteza o’rinli emasmikan?
yig’indi ixtiyoriy natural sonda 3 karrali.
Endi bu gipotezaning rost yoki yolg’onligini aniqlaylik. Tekshirishni matematik induksiya metodi yordamida o’tkazamiz.

1. da ga karrali.

   
   

2. da ga karrali bo’lsin,bunda foydalanib

   
   

da ifodaning 3 ga bo’linishini ko’rsatamiz.

Haqiqatdan ham,
Ifoda 3 ga bo’linadi, chunki 3 ga karrali (farazga asosan), ikkinchi qo’shiluvchining 3 ga karrali ekani ko’rinib turibdi.
Demak, ixtiyoriy n natural son uchun ifoda 3 ga karrali ekan.