Mundarija: I. Kirish: II. Asosiy qism

Induksiya (matematikada) — muhim isbotlash usullaridan biri; matematik induksiya aksiomasiga (prinsipiga) asoslanadi. Induksiya arifmetik vaarametri progressiya formulalarini, logarifmlarni oʻrganishda uchraydigan formulalarni, Nyuton binomi va kombinatorikaga doir formulalarni chiqarish va b. da keng qoʻllanadi.
Yuqorida takidlab o’tkanimizdek deduksiya – fikrlashning umumiy tastiqlaridan xususiy tastiqlarga o’tish formasidir. Bunga misollar ko’raylik.
1-misol.
Bir va o’zidan boshqa bo’luvchilarga ega bo’lgan sonlar murakkab sonlar to’plamini tashkil etadi. (A) 9 soni 1 va 9 dan boshqa 3 ga bo’linadi. (B) 9 murakkab son. (D)
2-misol.
Barcha to’rtburchaklar ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (A) ABCD trapetsiya – to’rtburchak. (B) ABCD trapetsiya ko’pburchaklar oilasiga tegishli. (D)
Har ikkala misolda ham (A) umumiy tasdiqdan (B) tasdiq yordamida (D) xu- susiy tasdiq hosil qilindi.
Induksiya – fikrlashning xususiy tasdiqlaridan umumiy tasdiqlarga o’tish for- masidir. Bunga ham misollar ko’raylik.
3-misol.
140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Nol bilan tugaydigan barcha sonlar 5 ga bo’linadi. (B) (A) xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq to’g’ridir.
4-misol.
140 soni 5 ga bo’linadi. (A) Barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi. (B)

1. xususiy tasdiqdan (B) umumiy tasdiq hosil qilindi. (B) tasdiq noto’g’ri- dir. 3 – 4 misollardan ko’rinadiki induksiya to’g’ri hamda noto’g’ri xulosalarga olib kelishi mumkin. Bu fikr keying misollarda kengroq ochiladi.

   
   

Tadqiqotchi biror faktni isbotlashda avval, turli mulohazalar yordamida bu faktning borligini fahmlashi, uni isbotlshga kirishishidan avval esa isbotlash
g’oyalarini anglab yetishi kerak bo’ladi.
Deduksiys va induksiya bir – birini to’ldiruvchi fikrlash formalaridir. Haqi- qatan ham, isbotlanishi kerak bo’lgan tasdiqlar kuzatishlarga asoslangan holda induktiv yo’l bilan hosil qilinadi, so’ngra bu tasdiqning to’g’riligi isbotlash- ning biror ddeduktiv metodi yordamida ko’rsatiladi.
Induksiya metodi fizika, kimyo va boshqa tabiiy fanlarda, shuningdek, matimatikada ham keng qo’llaniladi, ya’ni bu metod yordamida turli mate- matik tasdiqlar hosil qilinadi. Bunga misol keltiraylik:
5-misol.
2 soning ketma – ket kelgan uchta darajasining yig’indisini qaraylik:
hosil bo’lgan son 7 ga bo’linadi. Endi
hosil son yana 7 ga karrali. Navbatdagi darajalarni qo’shaylik: hosil bo’lgan son yana 7 ga karrali.

Bajarilganlarga asoslanib ushbu tasdiqni aytish mumkin: 2 sonining ixtiyoriy uchta ketma-ket kelgan darajasining yig’indisi 7 ga karralidir, ya’ni uchun

yig’indi 7 ga qoldiqsiz bo’linadi. 6-misol.

Ushbu ko’phadni qaraylik: Bu ko’phadni x o’rniga ketma ket 0, 1, 2, 3, 4, 5 sonlarini qo’yaylik, natijada ushbu

P(0)=41, P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71 Tub sonlar hosil bo’ladi. So’ngra x o’rniga -1, -2, -3, -4, -5 larni qo’ysak: P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53, P(-5)=61


yana tub sonlarga ega bo’lamiz. Shuningdek, x o’rniga larni qo’ysak: P(-6)=71, P(6)=83, P(-7)=83, P(7)=97, P(-8)=97, P(8)=113

Tub sonlar hosil bo’ladi.

Olingan natijalarga asoslanib ushbu gipotezani aytish mumkin: P(x) uch- haddagi x o’rniga ixtiyoriy butun sonni qo’yish natijasida tub son hosil bo’ladi.

Yuqoridagi har ikkala misolda ham gipotezalar induksiya yordamida hosil qilindi, ammo uritilgan mulohazalar keltirilgan gipotezalarning isboti bo’lib xizmat qila olmaydi.

Avval aytilgandek, induksiya yordamida ochilgan qonuniyatlar to’g’ri bo’lishi ham, noto’g’ri bo’lishi ham mumkin. Shu sababli, induksiya yordamida hosil qilingan qonuniyatning to’g’ri yoki hoto’g’ri ekani biror deduktiv metod yordamida qat’iy isbotlanmog’i kerak.