«методика обучения функциям в курсе алгебры основной школы»

Придавая линии после-
довательно бесконечное множество различных значений, мы найдем также 
бесконечное количество значений и, тем самым, получим бесконечное ко-
личество различных точек…; они опишут требуемую линию
». Здесь явно 
выражена идея геометрического выражения зависимости величин и , то 
есть 
графика функции
. 

---

12 
Термин 
«функция»
(от латинского function – совершение, выполнение) 
в первый раз употребил в 1673 г. немецкий математик Г. Лейбниц. Сначала 
это понятие употребляли в узком смысле данного слова, связывая только с 
геометрическими представлениями. Речь шла об отрезках касательных к кри-
вым, их проекциях на оси координат и о «другого рода линиях, выполняю-
щих для данной фигуры некоторую функцию». То есть понятие функции до 
сих пор не освободилось от 
геометрической трактовки
[5, С. 16 – 17]. 
В начале 18 столетия, с развитием математического анализа, произо-
шел переход от 
интуитивно-геометрического представления
о функции к 
аналитическому
определению ее. Этому переходу способствовал швейцар-
ский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748). Он определил функцию пе-
ременной величины 
как количество, образованное каким угодно способом из 
этой переменной и постоянных
(1718 г) [9, С. 99]. 
В 1748 г. ученик Иоганна Бернулли, Леонард Эйлер определил функ-
цию переменной величины как 
аналитическое выражение
, составленное ка-
ким-либо способом из этой переменной величины и из чисел, либо постоян-
ных величин. Л. Эйлеру принадлежит современное обозначение функции 
[58, С. 3]. 
Н.Я. Виленкин, анализируя данное выше определение И. Бернулли, за-
мечает, что в его определении не сказано, каким образом должно быть обра-
зовано «количество». Для полноценности данного определения требовалось 
решить вопрос о 
допустимых способах задания функций
.
К середине 18 столетия было решено множество задач механики, кото-
рые были связаны с движением отдельных точек. В центре внимания матема-
тиков оказались проблемы механики сплошных тел. Одной из таких проблем 
была проблема исследования колебаний струны. В решении этой проблемы 
приняли участие виднейшие ученые 18 века – Эйлер, Даламбер, Д. Бернулли 
и др. Решая данную проблему, Эйлер и Даламбер независимо друг от друга 
пришли к решению, в котором первоначально отклонение струны могло

---

13 
на различных участках задаваться различными выражениями
. Эйлер
считал найденное решение законным, Даламбер настаивал на том, что 
начальное условие должно задаваться лишь одним выражением для всех зна-
чений [4, С. 43]. 
В данный спор вмешался Даниил Бернулли. Он предложил формулу, 
выражавшую решение в виде суммы бесконечного ряда, составленного из 
тригонометрических функций. Он был уверен, что его решение представляет 
собой самый общий случай. Эйлер и Даламбер были не согласны с этим, так 
как это противоречило общему мнению математиков того времени, которые 
были убеждены, что два различных выражения не могут задавать одну и ту 
же функцию [58, С. 6]. Возникший спор привёл к тому, что в конце 18 столе-
тия математики, определяя функцию, избегали говорить о том, как она зада-
на. Так, французский математик Лакруа писал: «
Всякое количество, значение 
которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией 
этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции 
нужно применить, чтобы перейти от них к первому
». Из этого определения 
видно, что Лакруа уже не отождествлял понятие функции и ее аналитическое 
выражение [5, С. 20]. 
Окончательный разрыв между понятием функции и ее аналитическим 
выражением произошел в начале 19 столетия. Французский математик Фурье 
показал, что функции, заданные на разных участках по разному, можно пред-
ставить во всей области задания в виде суммы одного и того же бесконечного 
ряда. Таким образом, несущественно, одним или многими выражениями за-
дана функция: суть лишь в том, какие значения принимает одна величина 
при заданных значениях другой величины. 
В связи с этой идеей в 19 столетии происходит переход к более 
обоб-
щенному определению функции
, данному впервые немецким математиком
Л. Дирихле в 1837 г.: «
 есть функция переменной (на отрезке 
, 
если каждому значению (на этом отрезке) соответствует совершенно 

---

14 
определенное значение , причем безразлично, каким образом установлено 
это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо 
даже просто словами
». К аналогичному определению независимо от Л. Ди-
рихле пришел и русский математик Н.И. Лобачевский (1834 г.) [10, С. 24]. 
Итак,
в середине 19 века понятие функции было освобождено от еди-
новластия математической формулы. Новое общее определение понятия 
функции стало опираться 
на идею соответствия
. 
Во второй половине 19 века, когда была создана теория множеств, идея 
соответствия была дополнена 
идеей множества
, которая позволяла рассмат-
ривать функцию не только для числовых множеств, но и на объектах произ-
вольной природы. Понятие функции стало отождествляться с 
понятием 
отображения
[42, С. 8]. 
Именно создатели теории множеств Г. Кантор и Р. Дедекинд дали 
об-
щее определение отображения
: пусть и 
два множества. Говорят, что 
задано 
отображение
, если для любого элемента 
указан соот-
ветствующий ему элемент 
Введение в математику общего понятия 
отображения дало возможность уточнить 
понятие обратной функции
, 
слож-
ной функции
и исследовать ряд других проблем.
С начала 20 века вокруг определения Дирихле стали вестись споры. В 
1930 г. после выхода книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака ост-
ро возник вопрос о необходимости дальнейшего расширения понятия функ-
ции. Он ввел 
дельта-функцию
, выходившую за рамки классического опреде-
ления. По этой причине советский математик Н.М. Гюнтер и другие ученые 
опубликовали работы, где неизвестными являются 
«функции области»
, а не 
функции точки, что ближе физической сущности явлений. 
В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом 
Лораном Шварцем. Первым рассмотрел случай обобщенной функции, кото-
рый включал и дельта-функцию, 28-летний советский математик и механик 
С.Л. Соболев в 1936 году. Свою теорию он применил к решению ряда задач 

---

15 
математической физики. Ценный вклад в развитие теории обобщенной функ-
ции внесли ученики и последователи Л. Шварца – И.М. Гельфант,
Г.Е. Шилов и др. [9, С. 25 – 26]. 
Таким образом, понятие функции в своем историческом развитии про-
шло через несколько этапов: 
1. Пропедевтический – с древнейших времен до 17 века. 
2. Введение понятия функции через механические и геометрические 
представления – 17 век. 
3. Аналитическое определение функции – 17 век - начало 19 столетия. 
4. Функция как отображение – 19 век. 
5. Дальнейшее развитие понятия функции – с 20 века. 
История развития понятия функции показывает широту, сложность и 
многогранность данного понятия. Над ним трудились десятки ведущих уче-
ных. Структура изучения функциональной линии в школьном курсе матема-
тики строится с учетом исторических аспектов развития понятия функции. 
Исторический подход к понятию функции в школьном курсе предполагает 
повторение в обучении основных этапов, через которые это понятие прошло 
в науке [47, С. 259].