О приближенном вычислении криволинейного интеграла первого рода

О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ КРИВОЛИНЕЙНОГО
ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА
В данной работе представлено оптимальная квадратурная формула для классов функций, которые, имеют по норме пространство L₂ ограниченного градиента.
Ключевые слова: Узлы, погрешность, криволинейный интеграл, квадратурная формула.

1. 
   Рассмотрим задачу о приближённом вычислении криволинейного интеграла первого рода
   

(1)

где весовая функция q(P) > 0, P Г, а функция f (P) = f (x, у) определена и непрерывна вдоль кривой Г . Интегралу (1) сопоставим квадратурную формулу

(2)

использующую линейные комбинации нескольких значений подынтегральной функции, где Р , k= . Сумму L_N(f;q), как обычно, будем называть квадратурной суммой. Для дос­тижения высокой точности вычислений при заданном N нужно возможно лучшим образом восполь­зоваться выбором a_k и P. Через обозначим класс плоских спрямляемых кривых Г, у кото­рых длина равна L, кривизна кусочно-непрерывна и все кривые из расположены в области Q = {(x,у) : x² + у² L²} . Известно, что параметрические уравнения кривой , отне­сённой к длине дуги s как параметру в прямоугольной системе координат Oxy, имеют вид

x = x(s), y = y(s), 0 ≤ s ≤ L (3)
Обозначим через s_k [0,L], k = 1,2,...,N, значения длины дуги s кривой Г, которые соот­ветствуют точкам P_k на Г, и перепишем формулу (2) следующим образом:

где x = x(s), y = y(s) - параметрические уравнения кривой Г, представленные в форме (3),
A = - вектор-коэффициенты, S = (0<s_l <...<s_N <L), R_N(q; f; Г; A,S) - погреш­ность формулы (4) на функции f .
Пусть задан класс W⁽¹⁾ L(M;Q), M > 0 функции f (P) = f (x,y), у которых почти всюду в области Q существуют частные производные df / dx, df / ду и выполняется неравенство
|| grad f(x,у) || l(q) < M. ⁽⁵⁾
Для каждой функции f е W⁽¹⁾ L₂ (M; Q) и каждой кривой Г (L) погрешность формулы
Rn (q; f ;Г, A, S) имеет вполне определённое численное значение
За величину, характеризующую точность квадратурной формулы (4) для всех функций из класса W⁽¹⁾ L(M;Q) на кривой Г N_Q(L), как правило, принимают число
Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций W⁽¹⁾L₂(M;Q) на классе кривых обозначим
R_N(q; W⁽¹⁾L₂(M;Q); ;A,S) = sup { RN(q; W(1)L2(M;Q);Г;A,S):Г ;
Для получения оптимальной квадратурной формулы для всех функций f W¹L (M; Q) и кривых Г полагаем, что соотношение (2) является точным для констант, то есть

Требуется при фиксированном векторе узлов S* = { } определить нижнюю грань
_N (q; W⁽¹⁾L₂(M;Q); ;S*) = inf R_N (q; W⁽¹⁾L₂(M;Q); ; A, S*). (6)

Если существует вектор коэффициентов A⁰ = } для которого в равенстве (6) реализуется ниж­няя грань, то этот вектор определяет оптимальную по коэффициентам квадратурную формулу на классах функции W⁽¹⁾L₂(M;Q) и кривых ;. Задача (6) называется задачей Сарда. Записав

для произвольной функции f W⁽¹⁾L₂ (M; Q), как функции одного переменного f (x(s), y(s)), фор­мулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме Коши, остаток квадратурной формулы (4) представим в виде
R_N(q; f; Г; A,S) = K(s)ds, (7)
где
K(s) = , =
Используя неравенство Коши-Буняковского с учётом (5) и тождество 1, из
соотношения (7) получаем
| R_n (q; f ;Г; A, S ) | * (8)

Рассмотрим кривую Г* ; , которая задана параметрическими уравнениями

x := x(s) = , y:=y(s)= , 0 s L,
и выберем функцию f * W⁽¹⁾L₂ (M; Q) в виде
f * (x, y) =
где
,
K(s) = .
Подставляя f * и Г* в (7), нетрудно убедиться, что в (8) имеет место знак равенства. Следо­вательно, правая часть (8) будет точной верхней границей на классах функции W⁽¹⁾L₂(M;Q) и кри­вых
R_n (q;W⁽¹⁾L₂(M;Q); ; A,S) = M (9)
Таким образом, поставленная выше задача сводится к нахождению минимума интеграла, стоящего в правой части формулы (9), при фиксированных узлах, если варьировать коэффициентами a_k. Чтобы решить эту задачу, преобразуем выражение, стоящее под знаком исследуемого интеграла. С этой целью заметим, что

где
ck = (10)
Следуя схемам рассуждений в работах [5,6], введём в рассмотрение систему функций , определённых следующим образом
u_k (s) =
где положим s₀ = 0.
Исходя из принятых обозначений, интеграл, стоящий в правой части (9), запишем в виде
(11)
Заметим при этом, что система функций определяется при помощи фиксированных узлов 0 s₁* < s₂* <…< s_N* L и ортогональна на отрезке [0;L]. Задача сведена к такому выбору коэффициентов а , чтобы интеграл (11) принимал наименьшее значение. Хорошо известно [7, c.304- 312], что интеграл (11) принимает наименьшее значение, если c_k являются коэффициентами Фурье
функции в системе функции :