Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

4.1. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймления
В матричном исчислении важное значение имеет понятие ранга матрицы. Сначала, прежде чем вводить понятие ранга матрицы введем понятие минора - го порядка матрицы.
Ранее отмечалось, что определитель порядка может иметь миноры различных порядков: , , и т.д.
Аналогично обстоит дело и с минорами матриц.
Пусть дана матрица размерностью :
.
Определение. Выделим в ней произвольно строк и столбцов. Тогда получим квадрат­ную матрицу -то порядка. Определитель этой матрицы называется минором - го порядка матрицы .
Выбирая всевозможными способами по строк и столбцов, получаем всевозможные миноры -гo порядка матрицы . Очевидно, что максимальный порядок минора может равняться меньшему числу из и .
Но миноры могут быть и других порядков: -го, -го, -го и т.д. вплоть до миноров 1-го порядка (каждый отдельный элемент матрицы ).
Определение. Рангом матрицы называется наибольшее из порядков миноров, отличных от нуля и обозначается или .
Таким образом, ранг матрицы определяется максимальным поряд­ком минора, отличного от нуля. Если матрица имеет ранг , то это озна­чает, что существует в этой матрице минор порядка , отличный от нуля, а всякий минор порядка большего, чем , равен нулю (в противном случае имен­но он определял бы ранг матрицы).
Пусть выделенное из матрицы максимальное количество произвольных строк и столбцов (предположим, что и поэтому ) составляет следующую квадратную матрицу:

Если определитель, составленный из элементов этой матрицы, не равен нулю, то это означает, что матрица размерностью имеет ранг, рав­ный . Если же этот определитель равен нулю, то ранг матрицы меньше .
Выделим в матрице элемент и вычеркнем строку и столбец, в которых он находится. Получим минор -го порядка.
Количество миноров этого порядка, естественно, равно количеству элемен­тов матрицы, т.е. . Если среди этих элементов имеется хотя бы один, отличный от нуля, то ранг матрицы равен . Если же все миноры этого порядка равны нулю, то тогда надлежит рассмотреть все миноры -го порядка и т.д.
Практический способ вычисления ранга матрицы (исходя из вышеизложенного) состоит в следующем: в заданной матрице выбираем минор 2-го порядка, не равный нулю. Если тако­го минора нет, то ранг матрицы будет равен единице (если, конечно, матрица не нулевая, т.е. не все ее элементы равны нулю; нулевая матрица имеет ранг 0).
Затем находим значение миноров, окаймляющих выбранный.