Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Замечание. Перечисленные свойства широко используются для упрощения вычисления определителей.
2.4. Миноры и алгебраические дополнения. Свойство 9 (теорема Лапласа)
Для того чтобы сформулировать последнее свойство определителей требуются новые понятия и определения.
Определение. Если в определителе -го порядка выделить некоторый элемент, например, , и вычеркнуть строку и столбец, в которых этот элемент находится ( -я строка и -й столбец), то в результате останется определитель -го порядка. Этот оставшийся определитель называется минором элемента и обозначается символом .
Пример 5. Для определителя 4-го порядка
.
Выделим элемент и вычеркнем 3-ю строку и 2-й столбец, в которых находится этот элемент. Получим минор элемента
.
Очевидно, количество миноров - го порядка будет столько, сколько элементов содержит определитель, т.е. .
Если в миноре - го порядка выбрать какой-либо элемент и вычеркнуть строку и столбец, в которых он находится, то получим минор - го порядка. Аналогично, можно говорить о минорах - го, - го порядка и т.д., минором 1-го порядка являются сами элементы определителя.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком . Алгебраическое дополнение обозначается символом .
.
Пример 6. Дан определитель
.
Выделим элемент 5 и вычеркнем строку и столбец, в которых он находится. Получим
.
Алгебраическое дополнение этого элемента
.
Упражнение.
Вычислить алгебраические дополнения элементов для определителя
а) ; б) .
Теперь приведем последнее свойство определителей.
Свойство 9 (теорема Лапласа). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

или то же самое .