Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Пример 5. Умножить матрицу на матрицу , если
, .
Решение:
Имеем
.
Замечание. Следует, иметь в виду, что умножение матриц некоммутативно (не обладает свойством перестановочности), т.е. .
Пример 6.

Как видим, в результате перестановки умноженных матриц и получены различные результаты. Необходимо поэтому указывать, как умножаются матрицы (слева или справа).
В отдельных случаях произведение матриц в противоположном порядке вообще невозможно. Например,

- не существует.
Можно проверить, что умножение матриц обладает следующими свойствами:
1⁰.
2⁰.
3⁰.
4⁰. ,
где и матрицы, - число.
При этом предполагается, что все написанные произведения матриц имеют смысл.
Имеет место следующее правило транспонирования произведения двух матриц:
.
Определение. Ступенчатой матрицей называется матрица, обладающая тем свойством, что если в какой-либо из ее строк первый отличный от нуля элемент стоит на -м месте, то во всех следующих строках на первых местах стоят нули.
Пример 7.
.

Задание № 1.


2-тема. ТЕОРИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2.1. Понятия определителя - го порядка
Пусть дана квадратная матрица - го порядка
.
По определенным правилам сопоставим матрице некоторое число, которое называют определителем (детерминантом) - го порядка и обозначают одним из следующих символов:
. (1)
Элементы матрицы , ее диагонали, строки и столбцы называют, соответственно элементами, диагоналями, строками и столбцами определителя , т.е. горизонтальные ряды в определителе (1) называются строками, вертикальные столбцами, числа - элементами определителя (первый индекс означает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент; ). Порядок определителя - это число строк и столбцов.
Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы (т.е. ) называется главной (первой) диагональю, другая диагональ – побочной (второй).

2.2. Определители второго и третьего порядков
В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков. Определители второго порядка вычисляются согласно определению по формуле
,
которая иллюстрируется следующей схемой:
.