Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Определение. Обратной матрицей для квадратной матрицы порядка называется квадратная матрица того же порядка, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
Обозначим для матрицы обратную ей матрицу . Тогда, по определению, имеем
.
Пример 4

.
Определение. Нахождение обратной матрицы для данной матрицы называется обращением данной матрицы.
Существуют несколько методов обращения матриц.
Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была неособенной, т.е. ее определитель был отличен от нуля.
Можно доказать, что матрица
,
или
(*)
является обратной для матрицы .
Формула (*) дает возможность вычисления обратной матрицы.
Замечания
1. Для данной матрицы ее обратная матрица является единственной.
2. Особенная матрица не имеет обратной.
Пример 5. Для матрицы

найти обратную матрицу.
Решение:
Так как определитель матрицы
,
то матрица неособенная.
Составим присоединенную матрицу
.
В данном случае



Разделив все элементы матрицы на , получим обратную матрицу
.
Пример 6. Найти обратную матрицу для треугольной матрицы
.
Решение:
Данная матрица неособенная, т.е. ее определитель отличен от нуля:
.
Составим присоединенную матрицу

Разделив все элементы матрицы на , получим
.
Упражнение.
Найти обратные матрицы , если:
, где ; ;
; ; .
Замечание. Вычисление обратной матрицы по формуле (*) очень трудоемко, особенно для матриц высокого порядка. Поэтому равенство (*) важно лишь в теоретическом отношении, а на практике пользуются другими методами численного нахождения обратной матрицы. Одну из этих методов мы рассмотрим п. 4.4.
4. Ранг матрицы