Методическое указание по предмету “математика для экономистов”

Свойство 5. Ранг матрицы не изменится, если удалить из нее столбец, равный нулю.
Свойство 6. Ранг матрицы не изменится, если уда­лить из нее столбец, являющийся линейной комбинацией других столбцов.
В формулировках свойств 5 и 6, разумеется, столбцы можно заменить строками.
4.3. Элементарные преобразования матрицы. Простейший метод вычисле­ния ранга матрицы
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие пре­образования:

1. 
   перестановка двух любых столбцов (или строк);
   
2. 
   умножение столбца (или строки) на отличное от нуля число;
   
3. 
   прибавление к одному столбцу (дли строке) ли­нейной комбинации остальных столбцов (или строк).
   

Как было отмечено в п. 4.2, при элементарных преоб­разованиях матрицы ее ранг не меняется.
Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного мно­жества элементарных преобразований.
Эквивалентные матрицы не являются, вообще гово­ря, равными, но их ранги равны. Если матрицы и эквивалентны, то это записывается так: ~ .
Любая матрица при помощи элементарных преобразований только строк приводится к ступенчатой. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канониче­ской. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.
Простейший метод вычисления ранга матрицы с числовыми элементами состоит в приведении ее элементарными преобразованиями к ступенчатой или канонической матрице.
Пример 9. Найти ранг матрицы
.
Решение:
При помощи элементарных преобразований приводим эту матрицу к ступенчатому виду.
Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:
.
Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную, соответственно, на 2 и 5:

из третьей строки вычтем вторую; получим ступенчатую матрицу
,
которая эквивалентна матрице , так как получена из нее с помощью конечного множества эквивалентных преобразований.
Очевидно, что ранг матрицы равен двум, а, следовательно, и .
Матрицу легко привести к канонической. Вычитая первый стол­бец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обра­тим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем эле­менты остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй стол­бец, умноженный на подходящие числа, из последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим кано­ническую матрицу
.